【原】2022徐汇二模25题解法分析(圆背景下相似三角形存在性问题)

2022徐汇二模25题的图形背景是圆，解题路径围绕着相似三角形的性质、垂径定理、构造A型基本图形和锐角三角比展开。题型主要围绕着证明“直径所对的角为圆周角”；矩形和直线与圆相切背景下求线段长度和相似三角形存在性下的线段比值问题。

2022徐汇二模25题解题背景：

本题的第一问是圆周角的证明。

引例采用了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题进行证明，这里也需要强调若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半时，只能利用“等边对等角”，导出90°，而不能根据OP=OB，OA=OB，推导∠APB=90°，这也是在中考证明中常见的错误，此处应该尤其注意！

关注到题目的背景是圆，而O又是AB的中点，因此可以联想利用垂径定理和三角形的中位线证明∠APB=90°。垂径定理的书写一定要注意“过圆心+垂直→中点”。

知识链接：垂径定理

本题的第二问增加了圆的切线和矩形的相关性质。对于切线问题，往往联结切点和圆心，就可以得到半径垂直切线。

如左图，联结OK后，可得OK⊥CD，同时CPBD为矩形，得OL⊥PB，即L为BP中点，则OL为△ABP中位线；如右图，利用△CAO∽△OLB，即可建立数量关系。

本题的第三问是相似三角形的存在性问题，根据题意，需要进行两次分类讨论。一次是M的位置，即M在线段AP或线段CP上；由于△PAB与△PMF都是直接三角形，因此从角的角度进行分类，即讨论与∠B相等的角。

本题的难度在于①已知条件是比例关系，最后所求的结论也是比例关系。因此需要设出合理的未知数标注相关线段；②图中有着丰富的基本图形，需要能够挖掘出相关的基本图形及数量关系，才能解决问题。

1° 当M在线段AP上时，

①当∠PFM=∠B时，此时利用两组A型基本图形，先求出MF的长度，再求出PM和AP的数量关系，从而利用AC=3AM，得出AP和AC的比值。

②当∠PFM=∠A时，此时由角的关系，可得△CMF为等腰三角形，即P、M为AC的三等分点，迅速求出AP和AC的比值。

2° 当M在线段CP上时，此时只有∠MFP=∠B的情况

解法1：利用两组斜A型基本图形以及等角的三角比相等求解。

解法2：构造中位线，利用A型基本图形和相似三角形的性质求解。