级数之“比值审敛法”（Ratiotest）举例上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiK
eung提要：本文主要涉及极限与级数之收敛条件问题。特别注意为“比值审敛法”，此法为测试一级数是否收敛之最佳方法。关键词：极限絶
对收敛条件收敛比值审敛法本文乃笔者之“高等数学札记”之一，主要涉及级数之收敛性问题。问题来源乃笔者所学习之题目或习作，或自创之
题目。本文主要说明解题之心得。〈第一题〉试讨论以下级数之收敛性：++++….。解：今设其第n项为un，第
n+1项为un+1，因un必为正数，un+1亦必为正数，其比亦为正数。今先求，若<1﹝左右两直线表絶
对值﹞，则级数收敛，是为收敛级数(convergentseries)。此乃级数收敛之重要定义，亦为测试一级数是否收敛之最佳方法
。若>1，则级数发散(Divergentseries)。此即为“比值审敛法”（Ratiotest），是判别级数收敛或发散
性之一种方法，又称为“达朗贝尔判别法”（D’Alembert’stest）。判别一级数是否收敛有时及并用。以下证明一级数
是否收敛皆用此法。注意本题=。显然un=，un+1=。今先求，=×==。所以=<
1，所以已知级数絶对收敛(convergesabsolutely)。〈第二题〉试证明若∣r∣<1，则以下级数收敛：a+
(a+d)r+(a+2d)r2+(a+3d)r3+[a+(n–1)d]r(n–1)+…..
。证明：依上题所用之符号，可知un=[a+(n–1)d]r(n–1)，un+1=[a+nd]r
n。先求后项与前项之比===×r。所以=×r，因为=0及=0，所以所以×r=×r
=r。若r之絶对值小于1，即∣r∣<1，从上题可知，则已知级数收敛。证毕。本题是为条件收敛级数。显然若∣r∣>1则
成为发散级数(Divergentseries)。〈第三题〉试讨论以下级数之收敛性：×xn。解：今设α与β皆为非负数，若
α为负数，则分子至某一数必为0，以后皆为0；同理，若β为负数，则分母至某一数亦必为0，分数无义。只要将α与β设
成一负数并代入上式验证即可知。所以α与β为负数不合题目要求。仍依以上之符号可知：un+1=×xn。un=×
xn–1。依“比值审敛法”，后项与前项之比：=×xn××x×x。可得=×x=x。=∣x∣取
絶对值。所以当∣x∣<1，则题目级数收敛。当∣x∣>1，则题目级数发散。当∣x∣=1，则不作讨论。〈第四题〉试讨论以下无穷级
数之收敛性：1+mx+x2+x3+……。解：仍依以上之符号可知：un=xn–1，un+1=xn
。依“比值审敛法”得：=xn×=x=。所以=–。所以当∣x∣<1，则题目级数絶对收敛。当∣x∣>1，则
题目级数发散。因为=∣x∣，此式不含m，所以m可以为任何值，包括负整数或0。若m为0，题目级数=1，若m
为某一正整数，题目级数至某项为0，其余项亦为0，级数项数有限，则算作收敛。〈第五题〉若∣x∣<1，试证以下无穷级数收敛。1
+x+x2+x3+….+xn–1+….。证明：仍依以上之符号可知：un=xn–1，un+
1=xn依“比值审敛法”=xn×==。所以=x。取絶对值得=∣x∣，所以若∣x∣<1，题目之无穷
级数收敛。证毕。本题较为浅易亦容易明白。〈第六题〉若x为有限值，试证级数发散。证明：仍依以上之符号可知：un=，un
+1=。依“比值审敛法”得：=。今设a为正整数，若n为有限值，则分母必小于分子，即分数大于1。又=
，所以==1，比值不含x。如果=∣1∣，级数可能收敛但亦可能发散，但若n为有限，则分数大于1。综合以上结果
，所以x为有限值时，题目级数发散。证毕。〈第七题〉若x为非负整数，试证级数1–+2–+3–+……
收敛。证明：先加上括号如下：(1–)+(2–)+(3–)+……仍依以上之符号可知，很明显：un=–
=，un+1=–=。依“比值审敛法”得：=×=。因为(n+1)>n，同理[(n+
1)+x]>(n+x)，只要x为非负整数。所以若n为有限，必为真分数，即分子小于分母，即分数小于1。又
==﹝分子分母各除以n2﹞。所以=1。上题说过如果=∣1∣，级数可能收敛但亦可能发散，若n为有限，则分数小于1。综合以上结果，所以题目级数收敛，只要x为非负整数。(1) |
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