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上一讲我提过一句话，不知道你有没有注意，我说在20世纪70年代初的时候，芝加哥交易所对于交易股指期货的期权是没有什么流动性的，为什么呢？因为大家不能统一期权的价格应该是多少，没有办法进行大规模的场内交易。其实对于期权定价，从上世纪早期就有很多人开始研究，但是一直都没有给出一个特别好的答案。学完上一讲的二叉树模型之后，现在你知道怎么简单地解决期权的定价问题了。 在70年代的时候，第一个解决期权定价问题的是一个三人团队，他们介绍的模型是一个新的定价模型，也就是Black Scholes Merton模型，三个人，Black一个人，Scholes一个人，Merton是另外一个人。 看到这个模型的名字，你就觉得说这三个人是不是特别牛？这三个人果然就是特别特别牛，1997年其中的两个人凭借这个定价模型拿了当年的诺贝尔经济学奖，他们俩就是Myron Scholes和Robert Merton。第三个人是Fischer Black，他没有拿到诺贝尔奖，原因是什么呢？因为在诺贝尔奖当年颁发的时候，他已经去世了，但是诺贝尔奖只能发给健在的学者。 1. BSM模型是什么？ 好，我们现在来看看这个模型是怎么解出来的。 有意思的是，这个模型并不是三个人组成一个团队一块研究出来的，他们三个人是通过两种办法得到了同样一个结论，也就证明了这个模型的正确性。 他们三个人分成了两个小分队，一个是东部海岸队，一个是西部海岸队。西部海岸队包括了Black和Scholes，他们当时在斯坦福大学，当时想要解决公募基金经理想要给基金保值的问题。 我们之前已经讲过一个类似的例子，公募基金经理手上持有大量的资产，并不是随便想卖就能卖出去的。对于基金经理来说，在这种情况下，最大的心愿就是手上持有的这些资产能够保值，他们希望能够给基金产品买一个保险。意思就是当基金的价格往上升的时候我会很开心，但基金价格往下跌的时候我很不开心，但是我想要买一个保险规避一下下行的风险。 你听到这个是不是很熟悉？我们之前刚讲了一个运用期权进行保值的策略，叫做保护性的看跌期权。其实我们讲的这个例子很简单，如果你有底层资产，再买一个看跌期权，你就可以高枕无忧了。但是当时的情况是不一样的，当时并没有股票指数的看跌期权。 所以这个Black和Scholes，他们就想出了一招，想着说我如果能够动态地规避基金经理的风险，那又会怎么样呢？也就是说Scholes和Black这两个人做的期权定价模型用了一个非常简单的概念，就是如何动态地规避风险。 怎样动态规避风险呢？你应该还记得上一讲，我们买了一个看跌期权的话，当底层资产价格低于行权价格的时候，你可以行权来卖出底层资产。所以，看跌期权的价格取决于两个方面，一个是底层资产的价格，另外一个就是行权的价格。 Black和Scholes的思路是什么样的呢？他们就想我能不能构建一个投资组合，组合里面有两样资产，一个是底层资产，另一个就是无风险资产，我通过调节这两个资产上面的头寸，使投资组合的收益和看跌期权一模一样。 说到这里我就很得意地笑了，因为我们上一讲讲二叉树模型的时候，是不是讲过怎样人工地复制看跌期权？他们的想法其实是一样的，他们在这里面加入了底层资产，是因为看跌的期权的收益是随着底层资产的价格变动而变动。这跟我们上一讲的人工复制期权很像。我们当时就是用人工的投资组合，用二叉树模型得出了两个等式，计算得出了期权的价格。 但是Black和Scholes，他们的厉害之处是他们并没有借助二叉树模型，而是直接用数学的算法把这个期权的价格公式就算出来了。这个计算的过程非常复杂，我们在课程里面就不讲了。 在1973年Black和Scholes发表了一篇非常有远见卓识的文章，叫做《The Pricing of Options and Corporate Liabilities》，就是《期权和公司债务定价》。这篇文章里面就涵盖了这个B和S模型，当时还没有M，M在东部。Black和 Scholes是用人工复制期权的途径，得出了期权定价的模型。 下面我们来看一看Merton一个人在东部小分队是怎样做的。Merton这边的想法是跟西部不一样的，他不是通过投资组合的方式来发行期权的价格。相反，他是引进了一种当时非常不可思议的做法，有一个当时物理上面很抽象的概念，叫做伊藤定理。伊藤定理可以用来刻画连续时间的随机过程。 Merton当时在念书的时候数学特别好，所以他把股票价格和期权价格的关系用偏微分方程刻画了出来，然后他借鉴了伊藤定理，借鉴了物理学，了解的微分方程的解决方式，也就发现了期权的定价公式。然后算出来的价格跟Black和Scholes之前定价公式算出来的一模一样。 其实我在这里还得先插入一下，他这个解偏微分方程的方式跟咱们之前讲的风险中性折现的概念是非常相似的。好，那么现在这两支队伍会师以后，发现他们得出来的期权公式完全是一模一样的，这就是我们后来广为应用的Black Scholes Merton模型。 在BSM模型发表之后，芝加哥的衍生品交易所当年的期权合同交易量就突破了历史新高。因为这个模型非常好用，芝加哥的交易员人手一个计算器，把所有的数据输进去，根据模型的公式马上就能得出期权的公平价格。 讲了这么多背景资料，让我们来具体看一看期权的BSM模型到底长成什么样。
我们这里以看涨期权为例，看涨期权的价格是一个函数，看涨期权叫做Call，也就是C。它的参数包括底层资产的价格、行权价格、当前的时间、到期日、无风险利率，还包括了一个圆圆的带尾巴的东西。这个圆圆的带尾巴的东西，它叫做Sigma，也就是西格玛，表示波动性。如果手上我们有这六个参数，我们只要通过BSM模型，我们就可以马上算出看涨期权的价格。 这个公式看起来好像很复杂，但是相对于别人发现的公式来说，这个公式提供了一个很简单的公平的价格，它所需要的六个参数几乎每个都很容易发现。所以，你拿一个Excel的表格，把这六个参数全部输进去，就可以直接算出期权的价格。因为这个公式如此的正确，大家都认为它得来的价格是最公平的，交易就可以大量快速地进行。 我们来看一个简单的例子，假设我们有一个欧式期权，底层资产是不发红利的谷歌公司的股票，底层资产的现价是1359，行权价格是1355，无风险利率是8%，假设它的波动率是30%，那么这个期限是一个月。在这种情况下，我们直接用Black Scholes Merton模型把这些参数全都导进去，我们就可以算出来看涨期权的价格是53.5块，对吧？你用手敲进去这些数，直接就导出来一个最终的价格，非常简单。 当然，虽然我们刚刚一直都在说的都是看涨期权，但是看跌期权的价格也可以通过公式简单地算出来，只不过看跌期权的公式和看涨期权不太一样。这个就是看跌期权的计算公式，你可以看一下。
2. 如何算出波动率？ 我刚才说了有六个参数，几乎都可以很容易地发现。我很机智地埋下了一个伏笔，我说了“几乎”。因为有一个参数是不能直接被观测到的，是哪一个呢？就是那个长尾巴的，股票价格的波动率。 股票价格的波动率怎么算呢？它不是你看着股票价格就直接说波动率是50%，不是这样的，你必须算一下才能得出来。 我们怎么算？两种办法，第一种，是通过历史价格的波动率。比如说我拿过去一年的日波动率来算一下它的标准差就可以得出来。 另外一种办法，就是用已经在市场上进行交易的其他期权合同，流动性很好，交易量大的期权合同，拿出它的价格，用这个BSM模型倒推回去，推出来一个隐含的波动率，然后把它放到我要计算的公式里面去。 这个就不是那么直接简单的了，我用什么样的期权合同来倒推隐含波动率呢？我们会挑流动性最好的期权合同。一般来说就是平值看涨期权，也就是行权价格和底层资产价格基本一致的看涨期权，然后近期内会到期的看涨期权来倒推出来这个隐含波动率。 我们如果用历史价格来算波动率，好处就在于我直接就能看得见，简单明了容易算。坏处是什么呢？这是历史波动率，是过去发生的事情，它不能反映你对将来的预测。 另一方面，如果我们用隐含波动率，它的好处在哪呢？它是从现在的当期的期权价格里面推导出来的，它代表了整个市场对底层资产未来波动率，它是往前看的未来波动率的预期情况。但是缺点是什么呢？缺点是隐含波动率是从另外一个期权合同里面推导出来的，另外一个期权合同有不同的到期日和行权价格，所以跟你现在要进行定价的期权合同可能是不可比的。 这两个方法不管是历史的还是隐含的波动率，都各有利弊。在现实生活当中，大家选择什么呢？大部分专业的交易者都会使用隐含波动率，是往前看而不是往后看的。 3. BSM模型的经济学含义 好，我们从BSM这个模型里面还能看出来什么样的经济学含义呢？ 我们再回到模型的本身，这是一个投资组合的动态调整，我们可以看到对于看涨期权来说，这个公式分为两个部分，第一部分是底层资产乘上一个大写的N，然后括号里面是d1。这个N(d1)是什么呢？它是一个特别复杂的函数，你不要被干扰了，我们先把这个大写的N(d1)当成一个参数，它在0和1之间。 底层资产乘上在0到1之间的参数，这就是说在你动态调整的投资组合里面，应该持有的底层资产的数量，这个N(d1)就是你要有多少股底层资产的数量。 你复制看涨期权投资组合里面的另外一部分，就是后面跟着一长串无风险资产的投入。无风险资产的投入是第二项，你持有价格K的无风险资产乘上一个时间的折现值，然后再乘上一个大写的N(d2)，这就表明你投在无风险资产里面的钱就是K，你的行权价的现值乘上了一个因子N(d2)，这个N（d2）其实也是在0和1之间的。 所以总结来说，如果你想用动态的投资组合来复制一个看涨期权的话，分为两部分，第一部分是你在底层资产上面投多少钱，头寸取决于N(d1)。第二个部分是无风险资产，你在无风险资产上面投多少钱呢？它取决于负的K的现值乘上一个N(d2)。为什么有一个负号呢？因为对于看涨期权来说，你复制它的时候，你是从银行借钱的。 听到这里，你的头是不是有点变大？不用着急、不用担心，我们马上就讲完了，下面都很简单。我总结一下，对于一个看涨期权来说，你想要复制它，你需要买底层资产，从银行借钱才能完美地复制一个看涨期权。那么你想复制一个看跌期权的话，你就需要做空底层资产，而且投资无风险资产。 我们之前讲到的六个参数是不断地随着时间变化的，所以相当于你是不断地改变你持有的底层资产和无风险资产的数量来复制这些期权的，也就是动态的调整策略。 4. 案例：苹果公司的期权 好，现在我们学习了BSM模型以后，想不想拿到市场上去试一下？我们来看一看苹果公司股票的欧式看涨看跌期权。
大家看一下PPT，比如说6月24号苹果公司股票的价格是360块，我们想计算一个月后到期的欧式看涨期权的价格，这个期权的行权价是330块钱，目前市场上这只期权大概卖30块钱一股。 我们用美国一年期国债收益率做无风险利率，因为最近由于疫情，美联储放松了货币政策，现在利率水平是很低的，大概在0.17个百分点。好，那我们用公式来计算一下这个苹果股票期权的价格。现在只缺一个了，就是底层资产的波动率了。 在这里，我们用隐含波动率来计算波动率。隐含波动率是多少呢？我挑了一只流动性比较好的平值期权，它的价格是10块6毛钱，行权价360块，和底层资产价格360块非常非常接近。我们用这只期权算一下隐含波动率，隐含波动率年化为25.5%。有了这个数据以后，我们再用一次BSM模型，就能计算行权价格是330块。 一个月以后到期的欧式看涨期权的理论价格大概是31块5毛1。市场的交易价格是多少呢？30块1毛8，我们算的价格稍微有点高。【P3】如果我们拿BSM模型做基准，那么我们就会得出目前看涨期权市场价格比较便宜的结论。如果你觉得未来股票价格会上涨，你可以在期权比较便宜的时候进行买入，然后进行投机。 同时，我们也可以算出来一个月以后到期行权价格是330块的看跌期权的价格。我就不在这儿啰嗦中间的过程了，因为有之前的参数，带入公式就特别简单。这个看跌期权的价格是从公式上得出来是1块4毛7，交易所交易的价格是多少呢？5块5毛钱，比我们之前计算的高了很多。如果我们的理论价格是对的，这个看跌期权就有点太贵了，那么对于投机或者想要套期保值的人来说，现在买入是不划算的。 好，到这里，这两讲很烧脑，可能会有同学问，如果我就是一个普通的投机者，我也没有能力独立地把这些数值算出来，我为什么还要学二叉树模型和BSM模型呢？ 我想要告诉你的是，其实这两个模型本身就告诉了你很多风险管理的原理。比如说二叉树模型就告诉你怎样去复制一个投资产品。学了BSM模型以后，你就会知道金融涉及的不只是钱，想要做好风险管理，你可能还要结合高科技，把物理学里面的东西用到金融方面。 好的，到现在为止，关于期权的定价我们也全部讲完了，这个模块我们详细了解了期权这种工具应用的策略是什么，以及如何算出期权的价格，从而进行投机或者套期保值。下一讲开始，我们进入第三模块，进阶的期权工具，看看期权还能给你带来什么样的惊喜。 之前我们说过，用BSM模型需要有一个带风险的Sigma的参数。在美国有一个指数叫做恐慌指数，我给大家留的思考题就是大家去看一下这个恐慌指数和这个Sigma有什么关系？欢迎留言跟我交流。 划重点 BSM模型告诉我们，金融涉及的不只是钱，想要做好风险管理，还要把科技、物理学等知识运用进来。 |
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