15.3分式方程
第1课时
【教学目标】
知识目标
1.理解分式方程的意义.
2.了解解分式方程的基本思路和解法.
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法.
能力目标
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.
情感目标
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.
【教学重难点】
重点:解分式方程的基本思路和解法.
难点:理解解分式方程时可能无解的原因.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,江水的流速为多少?
分析:设江水的流速为vkm/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v)km/h,逆流航行的速度为(30-v)km/h,顺流航行90km所用的时间为小时,逆流航行60km所用的时间为小时.可列方程=.
这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.
二、探究新知
1.教师提出下列问题让学生探究:
(1)方程=与以前所学的整式方程有何不同?
(2)什么叫分式方程?
(3)如何解分式方程=呢?怎样检验所求未知数的值是原方程的解?
(4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗?
(学生思考、讨论后在全班交流)
2.根据学生探究结果进行归纳:
(1)分式方程的定义(板书):
分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程
练习:判断下列各式哪个是分式方程.
(1)x+y=5;(2)=;
(3);(4)=0
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程.
(2)解分式方程=的基本思路是:将分式方程化为整式方程.具体做法是:“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.
3.仿照上面解分式方程的做法,尝试解分式方程=,并检验所得的解,你发现了什么?与你的同伴交流.
4.思考:上面两个分式方程中,为什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而=②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分组讨论产生上述结果的原因,并互相交流.
5.归纳:
(1)增根:将分式方程变为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,有可能产生不适合原方程的解(或根),这种根通常称为增根.
(2)解分式方程必须进行检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
三、巩固练习
1.在下列方程中:
①=8+;②=x;
③=;④x-=0.
是分式方程的有()
A.①和②B.②和③
C.③和④ D.④和①
2.解分式方程:(1)=;(2)=.
四、课堂小结
1.通过本节课的学习,你有哪些收获?
2.在本节课的学习过程中,你有什么体会?与同伴交流.
引导学生总结得出:
解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的解时,必须舍去.
五、布置作业
课本152页练习.
第2课时
【教学目标】
知识目标
会分析题意找出相等关系,并能列出分式方程解决实际问题.
能力目标
通过让学生经历分析相等关系列方程的过程,培养学生分析问题和解决实际问题的能力,进一步体会化归思想.
情感目标
通过学习,更加关注生活,增强用数学的意识,从而激发学习数学的热情.
【教学重难点】
重点:列分式方程解决实际问题.
难点:找出相等关系列出分式方程,将实际问题数学化.
【教学过程】
一、复习提问
1.解分式方程的步骤
(1)方程两边同乘以最简公分母,化分式方程为整式方程;
(2)解整式方程;
(3)验根.
2.列方程应用题的步骤是什么?
(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.
3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型?每种类型题的基本公式是什么?
在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种:
(1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间,
而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
(2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题
基本公式:工作量=工时×工效.
(4)顺水逆水问题
v顺水=v静水+v水,v逆水=v静水-v水.
本节课我们将学习列分式方程解决实际问题.
二、探究新知
例1:两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
(鼓励学生积极探究,当学生在探究过程中遇到困难时,教师应启发诱导,让学生经过自己的努力,在克服困难后体会如何探究)
分析:本题是一道工程问题应用题,基本关系是:工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量,工作量虚拟为1,工作的时间单位为“月”.
等量关系是:甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1.甲队一个月完成总工程的,设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的,乙队半个月完成总工程的,两队半个月完成总工程的+.
则有++=1.
(教师板书解答、检验过程)
讨论:列分式方程解应用题与以前学习的列方程解应用题有什么区别?
(学生讨论后回答)
区别:解方程后要检验.
归纳:列分式方程解应用题的方法和步骤如下:
1.审题分析题意;
2.设未知数;
3.根据题意找相等关系,列出方程;;
4.解方程,并验根(对解分式方程尤为重要);
5.写答案.
例2:从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时.用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度是多少?
【分析】这是一道行程问题的应用题,基本关系是:速度=.这题用字母表示已知数(量).等量关系是:提速前所用的时间=提速后所用的时间.
设提速前的平均速度为x千米/时,则
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时,提速后列车的平均速度为(x+v)千米/时,提速后列车行驶(s+50)千米所用的时间为小时.
列方程得:=.
(学生板书解答、检验过程,生生互相矫正完善)
引导学生注意:本题的检验中利用了问题的实际意义,根据字母的含义确定其取值的范围中不含负数和0,从而确定分式方程解的情形.
三、随堂练习
课本154页练习.
补充练习:
一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
(学生独立完成后,互相交流.三名学生板演解题过程,集体矫正.)
四、课堂小结
通过本节课的学习,你获得了哪些解决问题的方法?谈谈你的收获和体会.
温馨提示:对于列方程解应用题,一定要善于把生活语言转化为数学语言,从中找出等量关系.对于我们常见的几种类型题我们要熟悉它们的基本关系式.
五、布置作业
课本154~155页习题15.3第3、4、5、6、7、8题.
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