数序收敛性之级数比较证明法举例上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本
文主要涉及以级数比较(comparisonseriestest)证明法证明级数之收敛或发散。关键词：收敛发散级数比较本
文乃笔者多年前之“高等数学札记”之一，主要涉及级数之收敛或发散之证明。所采用之法为级数比较(comparisonseries
test)证明法。〈第一题〉今有级数-----------------------------------------(1
)(a)若p=1，试证级数发散至+∞(divergesto+∞)。证明：本题可用级数比较(comparis
onseriestest)证明法证明。级数(1)可写成++++……-------------------
--------------------(2)将(2)式分组成以下形式：(+)+(+)+(+++
)+(+++++++)+(++……-------------------(3)从上式
(3)可知第1组有两项。第2组有22–1项，即2项。第3组有23–1项，即4项。第4组有
24–1项，即8项。……第r组有2r–1项。从式(3)可知：第1组=+；第2组>
+=﹝因为>，以下类推﹞；第3组>+++=；第4组>+++++
++=；……第n组=+++……+>++…+=；第n组有2n–1项
﹝元素﹞。从以上可知，第1至4组之和=1+×4，容易推得第1至n组之和=1+n；所以当n
→∞，1+n→∞，所以从以上之级数比较法可知发散至+∞。证毕。(b)若p<1，试证级数发散。证明
：本题亦可用级数比较证明法，就是与作比较。若p<1，则>﹝因为np，所以若p<1，则一定发散。证毕。(c)若p>1，试证级数收敛。证明：将已知式写成级数后并作以下之分组：+(
+)+(+++)+……第1组有20，即1项﹝1元素﹞。第2组有21项，即2项。第
3组有22项，即4项。第4组有23项，即8项。……第n组有2n–1项。以下为n组之项：+
++……+。首项是为最大之项﹝元素﹞，所以第n组之和必少于2n–1×==。今设=u
n，即一级数之第n项。即：u1=，u2=，u3=，u4=，……则可知是一几何级数，级数每项皆正，而其公比为
，又因为p>1，所以<1，即其公比小于1，在此情况下，几何级数收敛。于是，若p>1，从比较法可知级数收敛，
而且絶对收敛。证毕。〈第二题〉若有一级数，试证明：(i)级数收敛若∣x∣≦1(ii)级数发散若∣x∣>1。证明：
(i)先将已知式写作第n+1项，即un+1=。若∣x∣≦1，则≦，即∣un+1∣≦，但<
，从上题可知若p>1，级数收敛，而且絶对收敛。所以若p=2>1，级数亦收敛。所以若∣x∣≦1，从比较法可
知絶对收敛。(ii)若∣x∣>1，则un+1=及un=。以下为“比值审敛法”（Ratiotest）：=
×=x=x，x=x，取絶对值得：=∣x∣>1，依“比值审敛法”定义，所以级数发散。〈第三题〉今有一级数
作如下之形式：++++……，试讨论其收敛性。(a)若p>1，今先与级数比较。若p>1，从〈第一题〉(c)
可知级数收敛。设已知级数第n项为，但<，从比较法可知所以原级数收敛。即收敛。(b)若p=1，则=
++++……++……今试与级数比较，即与++++……++……比较，可知>×
，例如n=1得1>；n=2得>；……从〈第一题〉(a)可知若p=1，级数发散至+∞，所以
从比较法可知亦发散至+∞。(c)若p<1，则与级数比较，即与++++……++……比较，可知>，因为(2n–1)p<2n–1。从上题(b)可知若p=1，级数发散至+∞。所以从比较法可知亦发散至+∞。(1) |
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