手把手推导Back Propagation

520jefferson 2022-05-13

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撰文｜月踏

BP（Back Propagation）是深度学习神经网络的理论核心，本文通过两个例子展示手动推导BP的过程。

链式法则

链式法则是BP的核心，分两种情况：

1. 一元方程

在一元方程的情况下，链式法则比较简单，假设存在下面两个函数：

那么x的变化最终会影响到z的值，用数学符号表示如下：

z对x的微分可以表示如下：

2. 多元方程

在多元方程的情况下，链式法则稍微复杂一些，假设存在下面三个函数：

因为s的微小变化会通过g(s)和h(s)两条路径来影响z的结果，这时z对s的微分可以表示如下：

这就是链式法则的全部内容，后面用实际例子来推导BP的具体过程。

只有一个weight的简单情况

做了一个简单的网络，这可以对应到链式法则的第一种情况，如下图所示：

图1

其中圆形表示叶子节点，方块表示非叶子节点，每个非叶子节点的定义如下，训练过程中的前向过程会根据这些公式进行计算：

这个例子中，我们是想更新w1、b1、w2三个参数值，假如用lr表示learning rate，那么它们的更新公式如下：

在训练开始之前，b1、w1、w2都会被初始化成某个值，在训练开始之后，参数根据下面两个步骤来进行更新：

先进行一次前向计算，这样可以得到y1、y2、y3、loss的值
再进行一次反向计算，得到每个参数的梯度值，进而根据上面的公式（13）、（14）、（15）来更新参数值

下面看下反向传播时的梯度的计算过程，因为梯度值是从后往前计算的，所以先看w2的梯度计算：

再继续看w1的梯度计算：

最后看b1的梯度计算：

把w2、w1、b1的梯度计算出来之后，就可以按照公式（13）、（14）、（15）来更新参数值了，下面用OneFlow按照图1搭建一个对应的网络做实验，代码如下：

import oneflow as ofimport oneflow.nn as nnimport oneflow.optim as optim

class Sample(nn.Module): def __init__(self): super(Sample, self).__init__() self.w1 = of.tensor(10.0, dtype=of.float, requires_grad=True) self.b1 = of.tensor(1.0, dtype=of.float, requires_grad=True) self.w2 = of.tensor(20.0, dtype=of.float, requires_grad=True) self.loss = nn.MSELoss()

def parameters(self): return [self.w1, self.b1, self.w2]

def forward(self, x, label): y1 = self.w1 * x + self.b1 y2 = y1 * self.w2 y3 = 2 * y2 return self.loss(y3, label)

model = Sample()

optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005)data = of.tensor(1.0, dtype=of.float)label = of.tensor(500.0, dtype=of.float)

loss = model(data, label)print('------------before backward()---------------')print('w1 =', model.w1)print('b1 =', model.b1)print('w2 =', model.w2)print('w1.grad =', model.w1.grad)print('b1.grad =', model.b1.grad)print('w2.grad =', model.w2.grad)loss.backward()print('------------after backward()---------------')print('w1 =', model.w1)print('b1 =', model.b1)print('w2 =', model.w2)print('w1.grad =', model.w1.grad)print('b1.grad =', model.b1.grad)print('w2.grad =', model.w2.grad)optimizer.step()print('------------after step()---------------')print('w1 =', model.w1)print('b1 =', model.b1)print('w2 =', model.w2)print('w1.grad =', model.w1.grad)print('b1.grad =', model.b1.grad)print('w2.grad =', model.w2.grad)optimizer.zero_grad()print('------------after zero_grad()---------------')print('w1 =', model.w1)print('b1 =', model.b1)print('w2 =', model.w2)print('w1.grad =', model.w1.grad)print('b1.grad =', model.b1.grad)print('w2.grad =', model.w2.grad)

这段代码只跑了一次forward和一次backward，然后调用step更新了参数信息，最后调用zero_grad来对这一轮backward算出来的梯度信息进行了清零，运行结果如下：

------------before backward()---------------w1 = tensor(10., requires_grad=True)b1 = tensor(1., requires_grad=True)w2 = tensor(20., requires_grad=True)w1.grad = Noneb1.grad = Nonew2.grad = None------------after backward()---------------w1 = tensor(10., requires_grad=True)b1 = tensor(1., requires_grad=True)w2 = tensor(20., requires_grad=True)w1.grad = tensor(-4800.)b1.grad = tensor(-4800.)w2.grad = tensor(-2640.)------------after step()---------------w1 = tensor(34., requires_grad=True)b1 = tensor(25., requires_grad=True)w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True)w1.grad = tensor(-4800.)b1.grad = tensor(-4800.)w2.grad = tensor(-2640.)------------after zero_grad()---------------w1 = tensor(34., requires_grad=True)b1 = tensor(25., requires_grad=True)w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True)w1.grad = tensor(0.)b1.grad = tensor(0.)w2.grad = tensor(0.)

以conv为例的含有多个weights的情况

用一个非常简单的conv来举例，这个conv的各种属性如下：

如下图所示：

图2

假定这个例子中的网络结构如下图：

图3

在这个简单的网络中，z节点表示一个avg-pooling的操作，kernel是2x2，loss采用均方误差，下面是对应的公式：

前传部分同上一节一样，直接看反传过程，目的是为了求w0、w1、w2、w3的梯度，并更新这四个参数值，以下是求w0梯度的过程：

下面是求w1、w2、w3梯度的过程类似，直接写出结果：

最后再按照下面公式来更新参数即可：

用OneFlow按照图3来搭建一个对应的网络做实验，代码如下：

import oneflow as ofimport oneflow.nn as nnimport oneflow.optim as optim
class Sample(nn.Module):    def __init__(self):        super(Sample, self).__init__()        self.op1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(2,2), bias=False)        self.op2 = nn.AvgPool2d(kernel_size=(2,2))        self.loss = nn.MSELoss()
    def forward(self, x, label):        y1 = self.op1(x)        y2 = self.op2(y1)        return self.loss(y2, label)
model = Sample()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005)data = of.randn(1, 1, 3, 3)label = of.randn(1, 1, 1, 1)
loss = model(data, label)print('------------before backward()---------------')param = model.parameters()print('w =', next(param))loss.backward()print('------------after backward()---------------')param = model.parameters()print('w =', next(param))optimizer.step()print('------------after step()---------------')param = model.parameters()print('w =', next(param))optimizer.zero_grad()print('------------after zero_grad()---------------')param = model.parameters()print('w =', next(param))

输出如下（里面的input、param、label的值都是随机的，每次运行的结果会不一样）：

------------before backward()---------------w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583], [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)------------after backward()---------------w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583], [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)------------after step()---------------w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642], [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)------------after zero_grad()---------------w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642], [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)

参考资料：

1.http://speech.ee./~tlkagk/courses.html

2.https://speech.ee./~hylee/index.php

3.https://www./c/HungyiLeeNTU