第一章勾股定理
1探索勾股定理
第1课时勾股定理(1)
教学目标
【知识与技能】
经历勾股定理的发现过程,了解并掌握勾股定理的内容.
【过程与方法】
通过对勾股定理的探索,学生在探索实践中理解并掌握勾股定理.
【情感、态度与价值观】
培养学生在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力.
教学重难点
【重点】
勾股定理的内容及探究.
【难点】
勾股定理的探究.
教学过程
一、创设情境,引入新课
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言.这个事实说明了勾股定理的重大意义.尤其在两千年前,这是非常了不起的成就.
让学生画一个直角边分别为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出斜边的长.
勾股定理是三千多年前我国古代一个叫商高的人发现的,他说:“将一把直尺折成直角,两段连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC,用刻度尺量出斜边的长.
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.
再画出几个三角形,分别测量它们的三条边,看看它们是否也有这个性质.
二、操作实验,探求新知
1.多媒体演示课件,引导学生观察并思考:
(1)图1中三个正方形之间会有什么样的关系?你是用什么方法得到的?试说一说你的方法.(关注每一个学生,给学生提供充分思考的空间与时间)
(2)以等腰直角三角形的两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么样的关系?
归纳:等腰直角三角形三边之间的特殊关系:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
2.组织学生小组合作学习.
思考:其他一般的直角三角形三边之间是否也具备这种特殊关系呢?(多媒体演示,引导学生观察发现)
问题:计算图2中三个正方形的面积,它们之间有什么关系?试说一说你的想法.
引导学生用数格子的方法初步体验结论.
归纳验证,得出定理:
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
3.命名“勾股定理”,介绍“勾,股,弦”的含义,即在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦.
三、例题讲解
【例1】勾股定理的具体内容是:.?
【答案】如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
【例2】已知在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.
(1)若a=1,b=2,求c;
(2)若a=15,c=17,求b.
【答案】(1)根据勾股定理,得c2=a2+b2=12+22=5.∵c>0,∴c=.
(2)根据勾股定理,得b2=c2-a2=172-152=64.∵b>0,∴b=8.
【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90°,它的主要性质是:(用几何语言表示)
(1)两锐角之间的关系:;?
(2)若D点为斜边中点,则斜边中线与斜边的关系是;?
(3)三边之间的关系是.?
【答案】(1)∠A+∠B=90°;(2)CD=AB;(3)AC2+BC2=AB2.
【例4】已知△ABC的三边长分别为a、b、c,若满足b2=a2+c2,则=90°;若满足b2>c2+a2,则∠B是角;若满足b2
【答案】∠B钝锐
四、巩固练习
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
(1)c=(已知a、b,求c);?
(2)a=(已知b、c,求a);?
(3)b=(已知a、c,求b).?
【答案】(1)(2)(3)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a
3,4,5 32+42=52 5,12,13 52+122=132 7,24,25 72+242=252 9,40,41 91+401=412 …… …… 19,b,c 192+b2=c2
【答案】则b=,c=;当a=19时,b=180,c=181.
3.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=10cm,一动点P沿BC边从B向C以每秒2cm的速度移动,问:当P点移动多少秒时,PA与腰垂直?
【答案】5秒或10秒
五、课堂小结
师:本节课学到了什么数学知识?你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗?你还有什么困惑?
学生发言,并提出问题,老师点评,对学生提出的问题给予解答.
第2课时勾股定理(2)
教学目标
【知识与技能】
勾股定理的面积证法;会用勾股定理进行简单的计算.
【过程与方法】
1.数形结合,鼓励学生运用数形结合的方法对进一步探究勾股定理,并让学生在做题时,尽量画出图形,逐渐做到灵活运用.
2.分类讨论,让学生画好图后进行标示,从不同角度考虑条件和图形,考虑问题要全面,在讨论的过程中提高学生灵活应用的能力.
【情感、态度与价值观】
1.树立数形结合的思想和分类讨论思想.
2.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值.
教学重难点
【重点】
勾股定理的面积证法.
【难点】
勾股定理的灵活运用.
教学过程
一、复习导入,讲授新课
1.复习勾股定理的文字叙述、勾股定理的符号语言及变形.
2.用割补法验证勾股定理.
前面我们用测量和数方格的方法验证了勾股定理,实际上对于勾股定理的证明,到目前为止,已有几百种之多,下面,我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的.
①用多媒体演示课件.
②小组合作探究:
a.以直角三角形ABC的两条直角边a、b为边作两个正方形,你能通过剪、拼把它拼成下图的样子吗?
b.它们的面积分别怎样表示?它们之间有什么关系?
c.利用学生自己准备的纸张拼一拼,摆一摆,体验古人赵爽的证法.想一想:还有什么方法?
3.学习勾股定理重在应用.
(1)在解决问题时,需知道每个直角三角形的几个条件?
(2)直角三角形中哪条边最长?
(3)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC的长.
问题:
①在长方形ABCD中,AB、BC、AC之间的大小关系是怎样的?
②Rt△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求Rt△ABC斜边上的高.
③已知△ABC的三边分别为a、b、c且a+b=4,ab=1,求斜边c的长度.
二、例题讲解
【例1】已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
求证:a2+b2=c2.
分析:(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.
(2)拼图如图所示,其等量关系为:4S三角形+S小正方形=S大正方形,(a+b)2-4×ab=c2,化简可证.
(3)发挥学生的想象力拼出不同的图形,进行证明.
(4)勾股定理的证明方法达300余种.这个古老的精彩的证法,出自我国古代数学家之手,激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.
【例2】填空题.
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=8,b=15,则c=;?
(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,a=3,b=4,则c=;?
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=10,a∶b=3∶4,则a=,b=;?
(4)一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为.?
【答案】(1)17(2)(3)68(6)6、8、10
【例3】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知a=b=5,求c;
(2)已知a=1,c=2,求b;
(3)已知c=17,b=8,求a;
(4)已知a∶b=1∶2,c=5,求a.
分析:刚开始使用定理时,让学生画出图形,并标示出已知条件,理清边之间的关系.(1)已知两直角边,求斜边,直接用勾股定理.(2)(3)已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的公式.(4)已知一边和两边比,求未知边.通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边.后两题让学生明确已知一边和两边间的关系,也可以求出未知边,学会“见比设参”的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想.
【答案】(1)5(2)(3)15(14)
【例4】已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边的长.
分析:已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进行计算.让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想.
【答案】或13
【例5】已知等腰三角形的腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积.
【答案】由题意可知该等腰三角形的高为=6,∴该等腰三角形的面积为×16×6=48.
【例6】如图,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.
(1)求梯子的底端B距墙角O多少米?
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算底端滑动的距离是多少.
【答案】(1)OB==(米).
(2)OD==(米),BD=OD-OB=(-)米.
【例7】我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
分析:根据题意,可以画出图,其中点A表示小王所在位置,点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
【答案】由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108km/h.
【例8】根据下图,利用面积法证明勾股定理.
【答案】∵S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA,又∵S梯形ABCD=(a+b)2,S△BCE=S△EDA=ab,S△ABE=c2,(a+b)2=2×ab+c2,∴a2+b2=c2,∴勾股定理得证.
三、巩固练习
1.填空题.
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如果a=7,c=25,则b=;?
(2)如果∠A=45°,a=3,则c=;?
(3)如果c=10,a-b=2,则b=;?
(4)如果a、b、c是连续整数,则a+b+c=;?
(5)如果b=8,a∶c=3∶5,则c=.?
【答案】(1)24(2)3(3)6(4)12(5)10
2.如图,四边形ABCD中,已知AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=45°,CD=1cm,求BC的长.
【答案】2cm
四、课堂小结
1.进一步探究勾股定理.
2.学会利用勾股定理解决简单的问题.
3.体会数形结合的思想.
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