7用二元一次方程组确定一次函数表达式
教学目标
【知识与技能】
掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系.
【过程与方法】
1.经历应用问题多种解法的探究过程,在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.
2.在对作图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化,灵活运用数形结合的思想.
3.通过对二元一次方程组与一次函数的探究,培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
在探究的过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.在合作交流的活动中发展学生的合作意识和团队精神,在探究活动中获得成功的体验.
教学重难点
【重点】
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【难点】
理解并掌握数形结合的思想.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:同学们还记得二元一次方程组有哪些解法吗?
生:代入消元法、加减消元法、用一次函数的图象求解二元一次方程组.
师:很好!在同一直角坐标系中,两个一次函数的交点的坐标就是这两个一次函数的表达式组成的二元一次方程组的解,也就是说通过两个一次函数的图象的交点坐标就可以得到相应的二元一次方程组的解,那么反过来,我们能不能根据二元一次方程组确定一次函数的表达式呢?今天这节课我们就一起来探究这个问题.
二、讲授新课
师:我们首先来看一下下面这个问题:
A、B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数,1h后乙距离A地80km;2h后甲距离A地30km.问经过多长时间两人将相遇?
师:请同学们先独立思考,并动手做一做,然后与同伴进行交流自己的方法.
学生思考,并交流.
师:教材中提供了三位同学的解法:
小明:可以分别画出两人之间的距离与骑行的时间t之间的图象(如图所示),找出交点的横坐标即可.
小颖:对于乙,s是t的一次函数,可以设s=kt+b.当t=0时,s=100;t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式.同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式,再联立这两个表达式,求解方程组就行了!
小亮:1h后乙距离A地80km,即乙的速度是20km/h;2h后甲距离A地30km,也即甲的速度是15km/h,由此可以求出甲、乙两人的速度和……
师:同学们能理解他们的做法吗?请大家也用他们的方法做一做,看看和你的结果是否一致.
学生尝试用上面三位同学的方法解题,然后交流讨论.
三、例题讲解
【例1】某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60kg的行李,交了行李费5元;张华带了90kg的行李,交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
【答案】(1)设y=kx+b,根据题意,得
②-①,得30k=5,k=,
将k=代入①,得b=-5.
所以y=x-5.
(2)当x=30时,y=0.所以旅客最多可免费携带30kg的行李.
师:像本例这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.
【例2】某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量分段收费办法,若某户居民应交水费y(元)与用水量(x)吨的函数关系如图所示.
(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式;
(2)若某用户十月份用水量为10吨,则应交水费多少元?若该用户十一月份交了51元的水费,则他该月用水多少吨?
【答案】(1)当0≤x≤15,设y=k1x,根据题意得27=15k1,解得k1=,所以当0≤x≤15时,y=x;当x>15时,设y=k2x+b,根据题意,可得方程组解这个方程组,得所以当x>15时,y=x-9.
(2)当x=10时,代入y=x中,得y=18.当y=51时,代入y=x-9中,得x=25.
四、课堂小结
师:本节课主要学习了用二元一次方程组确定一次函数的表达式,同学们通过这节课的学习,有哪些收获?请与大家分享一下.
学生发言,教师予以点评.
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