4数据的离散程度
教学目标
【知识与技能】
1.理解方差与标准差的概念与作用.
2.灵活运用方差与标准差来处理数据.
3.能用计算器求数据的方差和标准差.
【过程与方法】
经历探索用方差与标准差来分析数据、做出决策的过程,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和“让数字来说话”的习惯.
【情感、态度与价值观】
1.通过生活学习数学,了解数学与生活的紧密联系.
2.通过生活学习数学,并通过用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
教学重难点
【重点】
方差和标准差概念的理解.
【难点】
应用方差和标准差分析数据,并做出决策.
教学过程
一、温故知新
创设问题情境(一):
两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽取10个进行测量,结果如下:
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
师:你认为两台机床哪台加工零件的精度更稳定?
为了判断两台机床加工零件的精度的稳定情况,我们先用上节课学习的特征量来判断,中位数都是20.0mm,平均数还是20.0mm.
如何反映这两组数据的区别呢?
二、讲授新课
探究解决问题(一):
让学生在学习小组中讨论、解释、交流自己的发现,教师可以参与到某个或几个小组中倾听,在小组学习中讨论、交流自己的发现,直观上机床B比机床A的精度好.
创设问题情境(二):
思考:你能获取什么信息呢?除了极差之外,还有什么数量可以刻画一组数据的离散程度呢?
师:通过计算,依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗?
探究解决问题(二):
机床A的数据:
xi 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 xi- 0 -0.2 0.1 0.2 -0.1 0 0.2 -0.2 0.2 -0.2
机床A每个数据与平均数的偏差和为:
(x1-)+(x2-)+…+(x10+)
=0+(-0.2)+0.1+0.2+(-0.1)+0+0.2+(-0.2)+0.2+(-0.2)
=0
机床B的数据:
xi 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 xi- 0 0 -0.1 0 -0.1 0.2 0 0.1 0.1 -0.2
机床B每个数据与平均数的偏差和为:
(x1-)+(x2-)+…+(x10-)
=0+0+(-0.1)+0+(-0.1)+0.2+0+0.1+0.1+(-0.2)
=0
这样计算,我们还是无法区分两台机床的精度.
如何求各个偏差的绝对值|xi-|的平均数呢?
机床A数据的平均偏差:
=0.14,
机床B数据的平均偏差:
=0.08,
显然,机床B加工零件的精度比较好.
一般地,平均偏差=
(n是数据的个数),可以用来表示一组数据的离散程度,但用这个公式计算绝对值,为避免涉及绝对值,统计学中常用的方法是以偏差的平方即(xi-)2代替|xi-|,于是有下面的方法:
设一组数据是x1,x2,…,x10,它们的平均数是,我们用s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]来衡量这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差.
下面来计算机床A、B的方差:
=0.026(mm2),
=0.012(mm2),
由于0.026>0.012,可知机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.
一组数据的方差越大,说明这组数据的离散程度越大,当两组数据的平均数相同或差异比较小时,可用方差来比较这两组数据的离散程度.
求方差的步骤为:
(1)求平均数.
(2)求偏差.
(3)求偏差的平方和.
(4)求平方和的平均数.
由于方差是各个数据偏差的平方的平均数,它的单位和原数据的单位不一致,因此,在有些情况下,需要用方差的算术平方根,即标准差来衡量数据的离散程度.
s=
本课尽量鼓励所有的学生参与,尤其是平时数学基础比较薄弱的学生,让他们发现数学也可以如此与生活接近,提高他们的学习兴趣,这部分内容不难理解,计算比较麻烦.
三、例题讲解
求一组数据的标准差和方差,用计算器更方便.
【例1】用计算器求下列数据的标准差和方差(结果保留2位小数):
138,156,131,141,128,139,135,130
【答案】按键方法:
(1)设定计算模式,在打开计算器后,先按“2ndf”,“MODE”1将其设定至“Stat”状态.
(2)按键“2ndf”,“DEL”清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据.
(3)输入数据,依次按以下各按键:
138“DATA”156“DATA”131“DATA”141“DATA”128“DATA”139“DATA”135“DATA”130“DATA”
(4)求标准差和方差,在计算器的键盘上,用ax表示一组数据的标准差.
按键“RCL”、“ax”显示标准差:
ax=8.302860953
而键盘上无表示方差的按键,所以要利用标准差与方差的关系来求方差.
按键“x2”、“=”显示方差:
ANS2=68.9375
由上可得,S≈8.30,S2≈69.94.
【例2】为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗,测得苗高如下(单位:cm):
甲:12,13,14,15,10,16,13,11,15,11;
乙:11,16,17,14,13,19,6,8,10,16.
哪种小麦长得比较整齐?
【答案】=×(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);
=×(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm).
=×[(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2+(10-13)2+(16-13)2+(13-13)2+(11-13)2+(15-13)2+(11-13)2]=3.6(cm2);
=×[(11-13)2+(16-13)2+(17-13)2+(14-13)2+(13-13)2+(19-13)2+(6-13)2+(8-13)2+(16-13)2]=15.8(cm2).
因为<,所以甲种小麦长得比较整齐.
【例3】张强和金佳两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?
测试成绩 1 2 3 4 5 张强 13 14 13 12 13 金佳 10 13 16 14 12
【答案】x1=(13+14+13+12+13)÷5=13,
x2=(10+13+16+14+12)÷5=13,
=(0+12+0+12+0)=0.4,
=(32+0+32+12+12)=4.
<,∴张强的成绩比金佳的成绩要稳定.
四、课堂小结
本课主要学习了用方差与标准差可表示出一组数据与其平均值的离散程度,即稳定性.方差越小,稳定性越好.注意:“用先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果.
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