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| 13.4 课题学习 最短路径问题 |
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13.4课题学习最短路径问题第十三章轴对称【学习目标】能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解
决最值问题中的作用，感悟转化思想．【学习重点、难点】如何选择最短路径．前面我们研究过一些关于“两点之间所有连线中线
段最短”的问题，我们怎么运用这些知识并结合轴对称的相关知识解决最短路径问题？下面我们就以上问题进行讨论学习．情景导入1.如图，
连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，
点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短新课引入3.在我们前
面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于
直线l的对称点？AlA′“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的
问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥
选址问题”.AB①②③PlABCD知识模块一最短路径问题(一)自主学习如图，牧马人从点
A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl
数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1现在假设点A,B分别是直线l
异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？AlBC根据是“两点之间，线段最短”，可知这
个交点即为所求.连接AB,与直线l相交于一点C.(二)合作探究问题2如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解
决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直
线l相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证
明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B
′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′
C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．ABl
B′CC′造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最
短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM知识模块二利用平移确定最短路径选址1.如图假定任选
位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？BAＭＮ2.利用线段公理解
决问题我们遇到了什么障碍呢？思考分析我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1.
把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮ思考分析各抒己见1
.把A平移到岸边.BA(Ｍ)ＮAM+MN+BN长度改变了2.把B平移到岸边.BAＭ（Ｎ）AM+MN+BN长度
改变了思考分析怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?BABAA1MN如图，平
移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N１，连接AM１，B
N１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN转化为ＡＡ
１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.问题解决证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,B
D∥CE,BD=CE,所以A，B两地的距离：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,C
D,DB,CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.AB
MNECD解决最短路径问题的方法1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问
题，从而作出最短路径的选择.2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答.归纳解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． |
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