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关于函数的学习问题，一直以来都想写一篇文章。 从高中的角度来看，的确有很多高一孩子在初中时对函数的理解不够到位，以至于高一上学期学习函数时总是非常吃力，感觉这不是理解力的问题，毕竟学生也不是很差的孩子，似乎是之前在初中学习函数时就没有形成一个正确的概念，甚至会因为一些固有的观念拖后腿。 这就会出现什么情况呢？ 1、对特殊函数认识上的困难 对函数的认识过于片面，比如把解析式与函数划等号，认为函数就应该有解析式，对于图像、列表所表达的函数关系认识模糊，对于分段函数、常数函数等特殊函数无法判别或者应用。 2、不能区分函数的本质特征和非本质特征 不能认识到函数的本质是对应关系，而是纠结于函数的外在形式，比如认为自变量必须是x，因变量（函数值）必须是y。 根据函数概念的定义，函数的本质特征是变量间的对应关系，一个自变量 x 有唯一的 y 与之对应。 判断一个数学对象是否具有函数关系主要看它是否具有此本质特征。 但是许多学生在判断时，经常用函数的非本质特征作为判断的依据： 比如会认为图像连续是函数的本质特征，离散的点构成的图像不表示函数，因为它的图像不连续； 比如教材中的大部分函数举例都是有解析式的，于是学生认为学过的表达式的特征是函数的本质特征，认为没学过的函数解析式就不表示函数。、 3、对函数的理解和认识依赖于学过的基本初等函数 只认为自己学过的一元一次、一元二次、反比例等函数为函数，其他形式则认为非函数。 认为只有直线、抛物线、双曲线表示的是函数，其他图形表示的就不是函数。 4、对方程与函数认识不到位 在判定关系式时，如果以方程的形式出现，变量 x ，y 没有分离，确切地说不是用 x 表示 y 的表达式，学生认为此关系式就不是函数，而是方程。 5、对变量的错误理解 比如过于强调形式，认为解析式中变量必须用 x ， y 表示，解析式中出现别的变量就不表示函数关系。 比如对自变量和因变量的关系的误解，在给出的符号关系中，学生只认为 x 是自变量，y 是因变量， y 是 x 的函数。 比如只识别显现变量表示的函数关系，对符号关系式中既有自变量也有因变量的情况容易识别，如果是常数函数就不太好判断。 6、过于强调规律性 无论是解析式还是表格给出的对象，若 x ， y 的值之间对应有规律，一定具有函数关系，若无规律，就不具有函数关系。 7、函数图像理解与绘制上的困难 在绘制图像时，尤其是图像变换时，很难画到位，尤其是关键点、区间等要素容易顾此失彼。 与 x 轴垂直的直线、离散的点、分段图像、折线、曲线等运用函数概念判断比较困难，熟悉的图像如抛物线等的判断比较容易，其实并不是依据函数概念的本质属性，而是依据他们的经验。 孩子们尤其是到了高中学不好函数，其根源究竟在哪里？ 首先是函数概念本身的复杂性。 相较于其他概念，函数的概念包含的要素较多，如定义域、值域、对应、关系、自变量、因变量、常数、函数的符号式、函数的图像、最大（小）值、极大（小）值、零点等。 还有各种各样的函数，如一次函数、二次函数、三角函数、对数函数、指数函数、反函数、连续函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数等。 同时函数概念具有多个层面，比如函数的表现方式，既有解析式，又有列表，还包括图像；再比如函数的概念，既有初中的运动过程观点，又有高中的静态对应观点；还有学生对于函数的认识，从简单的代值计算，到将函数看成是一个单独的对象，也可以划分出许多层面。 这就导致学生在认识“函数”这个概念时，会遇到各种问题，很难有一个简单直接的概括。 其次是函数的抽象性。 虽然数学概念都具有抽象性，但函数概念是中学数学概念最抽象的一个。 从历史的角度来看，函数概念从描述数量依赖关系的一种方法，逐步演化为一般化的抽象数学结构，甚至“推广到失去实在性”。
而教育心理学研究表明，学生对抽象概念的学习必须借助于一定的经验，通过特殊实例的分析，抽象出概念的本质属性，再推广到一般的概念中去。 由于函数往往用解析式符号表示，这就造成学生从生活经验过渡到函数概念很困难，而数学符号形式化的特征使学生对函数概念的理解就更加困难。 再次，初高中函数教学内容的不连续。 初高中函数的内容是有一定区别的，不仅仅是函数概念的不同，研究方法和对象也存在着一定区别，这就导致学生在初中学习函数概念的过程中，容易形成一些错误的固有观念，也不适应高中函数的教学以及学习。 再再次，学生的认知水平发展。 学生的认知水平发展会影响到其对函数概念的认知，有一个调查表明： 从总体上说，随着年级的增长，初中生对函数概念的认识水平在逐渐提高。 7、8 年级的学生对函数概念的认识没有显著差异，但与 9 年级学生有显著差异，9 年级的学生对函数概念的认识水平明显高于 7、8 年级。 大部分初中生对函数的认识在运算阶段和符号阶段，部分同学达到综合认识阶段有一定的困难，还不能用运动、变化、联系的辩证观点来理解函数概念。 史宁中教授将初中生对函数概念的认知划分为三个水平： 层次 1：运算阶段——指出与自变量对应的函数值或与函数值对应的自变量； 层次 2：符号阶段——对于用不同背景给出的函数问题，运用不同的表示方法表示变量间的函数关系； 层次 3：综合阶段——运用函数概念对函数进行判断与解释，举出正例与反例。 但实际上，大部分学生都停留在层次一和层次二上，除了之前所说的原因之外，这其实也和初中函数教学、考察方式有一定关系——看上去是贴合初中生认知规律，过多的与几何结合，让初中函数教学几乎成了解析几何教学，而忽视了研究函数本身。 以至于学生到了高中，仍然拿初中函数的观点经验对待高中函数，自然南辕北辙了。 如何解决这些问题？对于新高一孩子来说，为时未晚。 重头做起，摒弃自己初中时所形成的一些错误观念，认真的去学习高中函数概念，多接触研究函数不同的形式与性质，这一切在暑假还来得及。 |
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