中考数学第二轮复习----题型五与圆有关的证明与计算类型一与切线性质有关的证明与计算如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与A
B的延长线交于点E，点C是的中点．（1）求证：AD⊥CD；（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-
EC-爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥A
B交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC=ED；（2）如果OA=4，EF=3
，求弦AC的长．如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE
的延长线于点A．（1）求证：∠ABG=2∠C；（2）若GF=3，GB=6，求⊙O的半径．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直
径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE⊥AC；（2）若DE+E
A=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．类型二与切线判定有关的证明与计算如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦M
N∥BC交AB于点E，且ME=3，AE=4，AM=5．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的直径AB的长度．如图，AB是⊙O
的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．???????（1）求证：CD是⊙O的切线；（2
）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、
BN于点D、C，且DA=DE．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）求证：OA2=DE?CE．如图，在△ABC中，AB=AC，以
AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2
=4CF?AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°
，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2
=EF?ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．如图，在矩形ABCD中，CD=2，AD=4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B
恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF=CE，点F是线
段BC的黄金分割点吗？请说明理由．类型三与切线性质有关的探究问题探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在
直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB==2，kAC==2，发现kAB=kAC，兴趣小组提出猜想：若直
线y=kx+b（k≠0）上任意两点坐标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ=是定值．通过多次验证和查阅资料得
知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y=kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．请你应用以上规律直接写出过S（-2，-2）
、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST=______．探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两
条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F
（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．综合应用如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5
），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．答案和解析1.【答案】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴O
C⊥CD，∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥C
D；（2）解：∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得，∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=
3，==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．【解析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行
线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆
的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．2.【答案】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，OC是⊙O的半径，∴OC⊥C
E，∴∠OCA+∠ACE=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠ACE+∠A=90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A=90°
，∵∠ODA=∠CDE，∴∠CDE+∠A=90°，∴∠CDE=∠ACE，∴EC=ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=9
0°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF=90°，∠DCE=∠CDE，∴∠CDE+∠ECF=90°，∵∠CDE+∠F=90°，∴
∠ECF=∠F，∴EC=EF，∵EF=3，∴EC=DE=3，∴OE==5，∴OD=OE-DE=2，在Rt△OAD中，AD==2，在
Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A=∠A，∠ACB=∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC=．【解析】（1）连接
OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理
求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切
点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．3.【答案】（1
）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A=∠OEC，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，
∴∠A=∠C，∵∠ABG=∠A+∠C，∴∠ABG=2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG=90°，∵GF=3，GB=6，∴BF
==3，∴，∴，则∴，∴⊙O的半径为6．【解析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A=∠OEC，
根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠C，求得∠A=∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BF==3，根据
的性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4.【答案】（1）证明：
∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DE是⊙O的切线，O
D是半径，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC；（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，∴四边形ODE
H是矩形，∴OD=EH，OH=DE．设AH=x．∵DE+AE=8，OD=10，∴AE=10-x，OH=DE=8-（10-x）=x-
2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x-2）2=102，解得x1=8，x2=-6（不合题意，舍去
）．∴AH=8．∵OH⊥AF，∴AH=FH=AF，∴AF=2AH=2×8=16．【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定
与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，
构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10-x，OH=DE=8-（10-x）=x-2．在Rt△AOH中，由勾股定
理知：x2+（x-2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．5.【答案】（1）证明
：∵在△AME中，ME=3，AE=4，AM=5，∴AM2=ME2+AE2，∴△AME是直角三角形，∴∠AEM=90°，又∵MN∥B
C，∴∠ABC=∠AEM=90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在R
t△OEM中，OE=AE-OA=4-r，ME=3，OM=r，∵OM2=ME2+OE2，∴r2=32+（4-r）2，解得：r=，∴A
B=2r=．【解析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠AEM=90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC=90°，然后根据切
线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2=32+（4-r）2
，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定
理和勾股定理的逆定理．6.【答案】（1）证明：连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠
ACO=∠A=30°．∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠CO
B=2∠A=60°．∴S扇形BOC=，在Rt△OCD中，CD=OC，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．【解析】（1）连接OC．只需证
明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．此题综合考查
了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．7.【答案】解：（1）连接OD，OE，如图1，在△OAD和△OED中，，∴
△OAD≌△OED（SSS），∴∠OAD=∠OED，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，∴∠OED=90°，∴直线CD是⊙O的
切线；（2）过D作DF⊥BC于点F，如图2，则∠DFB=∠RFC=90°，∵AM、BN都是⊙O的切线，∴∠ABF=∠BAD=90°
，∴四边形ABFD是矩形，∴DF=AB=2OA，AD=BF，∵CD是⊙O的切线，∴DE=DA，CE=CB，∴CF=CB-BF=CE
-DE，∵DE2=CD2-CF2，∴4OA2=（CE+DE）2-（CE-DE）2，即4OA2=4DE?CE，∴OA2=DE?CE．
【解析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD是切线；（2）过D作DF⊥BC于点F
，得四边形ABFD为矩形，得DF=20A，再证明CF=CE-DE，进而根据勾股定理得结论．本题主要考查了圆的切线的性质与判定，勾股
定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．8.【答案】解：（1）如图所示，连接
OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而OB=OD，∴∠ODB=∠ABC=∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C=90°，∴∠CDF
+∠ODB=90°，∴∠ODF=90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB=AC，则DB=DC=，∵∠C
DF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠CDF=∠DCA，而∠DFC=∠ADC=90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2=C
F?AC，即BC2=4CF?AC；（3）连接OE，∵∠CDF=15°，∠C=75°，∴∠OAE=30°=∠OEA，∴∠AOE=12
0°，S△OAE=AE×OEsin∠OEA=×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA=4，S阴影部分=S扇形OAE-S△OA
E=×π×42-4=-4．【解析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB=90°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA
，则CD2=CF?AC，即BC2=4CF?AC；（3）S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE即可求解．本题为圆的综合题，涉及到解直角
三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大．9.【答案】（1）解：∵AD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵AB=AC，∠BAC=3
6°，∴∠ABC=∠ACB=×（180°-∠BAC）=72°，∴∠AFB=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CB
D=∠ABC=72°=36°，∴∠D=∠CBD=36°，∴∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-36°-36°=108°，
∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-36°-72°=72°，∴∠DAF=∠DAB-∠FAB=108°-72°=36°
；（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，∴∠FAC=36°=∠D，∵∠AED=∠AEF，∴△AEF∽△DEA，∴=，
∴AE2=EF·ED；（3）证明：连接OA、OF，?∵∠ABF=36°，∴∠AOF=2∠ABF=72°，∵OA=OF，∴∠OAF=
∠OFA=×（180°-∠AOF）=54°，由（1）知∠DAF=36°，∴∠DAO=36°+54°=90°，即OA⊥AD，∵OA为
半径，∴AD是⊙O的切线．【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行
推理是解此题的关键．（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即
可求出答案；（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可.10.【答案】解
：（1）连接OP，则∠PAO=∠APO，而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得：故AE=AB=4，∠OAP=∠PAB，∴∠BAP=∠
OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）CF=CE=AC-AE=-4=2-2，=，故：点F是线段BC的
黄金分割点．【解析】（1）通过“连直径、证垂直”的方法，证明∠BAP=∠OPA，即可求解；（2）CF=CE=AC-AE=-4=2-
2，即可求解．本题考查了圆的切线的性质与证明、黄金分割的应用，题目的关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．11.【答案】【解析】解：
（1）∵S（-2，-2）、T（4，2）∴kST==故答案为：（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．∴kDE==-2，kDF==，∴kDE×kDF=-2×=-1，∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1．（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y=kPQx+b∵M（1，2），N（4，5），∴kMN==1，∵PQ为⊙M的切线∴PQ⊥MN∴kPQ×kMN=-1，∴kPQ=-1，∵直线PQ经过点N（4，5），∴5=-1×4+b，解得b=9∴直线PQ的解析式为y=-x+9．（1）直接利用公式计算即可；（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF=-1；（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．本题主要考查了圆的切线性质，待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键． |
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