2021年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．2021B．﹣2021C
．D．2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）2020年6月23日，
我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方36000公里的天疆．数36000用科学
记数法表示为（）A．360×102B．36×103C．3.6×104D．0.36×1054．（3分）如图，△ABC中，∠A＝6
0°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（3分）在直角坐标系中，点P
（3，1）关于x轴对称点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）6．（3分）下列计算结果正
确的是（）A．﹣3x2y?5x2y＝2x2yB．﹣2x2y3?2x3y＝﹣2x5y4C．35x3y2÷5x2y＝7xyD．（﹣
2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y27．（3分）函数y的自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≠0D．
x＞0且x≠﹣28．（3分）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A
到公路的距离AB为（）A．100mB．100mC．100mD．m9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交
点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）
C．（，0）D．（2，0）10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′
BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°11．（3分）
为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，表是这10户居民2016年4月份用电量的调查结果：居民1234月用电量
（度/户）30425051那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50B．众数是51C．方差
是42D．平均数为46.812．（3分）已知图柱底面的周长为6dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上过点A与C嵌有一圈金属丝，则这
圈金属丝的周长最小为（）A．3dmB．6dmC．4dmD．5dm二、填空题（本大题共有4个题，每小题3分，共12分.不要求写出
解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则．14．
（3分）若关于x的方程3的解为正数，则m的取值范围是．15．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方
一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语
，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，
它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是尺．16．（3分）已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D
1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D2；过点D2作DE2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3
E3⊥AC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDn
En的面积为S1，S2，S3，…，Sn，设△ABC的面积为1，则Sn＝（用含n的代数式表示）．三、解答题（本大题共有8个小题
，共72分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）先化简，再求值：1（），其中
a是不等式组的最小整数解．（2）已知：a＝（）（）+|1|，b2sin45°+（）﹣1，求b﹣a的算术平方根．18．（6分）如图，
在?ABCD中，点O是边CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．求证：BC＝CE．19．（8分）恩施是中国三大后花园之一
，景色宜人，其中恩施大峡谷、咸丰坪坝营森林公园、宣恩狮子关景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，
B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点，两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．（1）若规定老同志相对偏多的部门选
中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由．（2）设选中C部门游狮子关的概率为P1，选中B部门游大峡谷或者坪坝营的概率为P
2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．20．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平
飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为3
0°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度A
M；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：1.41，1.73）21．（8分）如图，一次函数y＝x+5
的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+5
的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，求b的值．22．（10分）一大型商场经
营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函
数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的
取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场
销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐
赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．23．（10分）如图，
△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x
，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出
发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t
的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似
时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）2021年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷答案
与解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前
的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（3分）﹣2021的相反数是（）A．2021B．﹣2021C．D．【分析】相反数的概念：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．【解答】解：﹣2021的相反数是2021．故选：A．2．（3分）如图是由5个相同
的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上
面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．故选：B．3
．（3分）2020年6月23日，我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方3600
0公里的天疆．数36000用科学记数法表示为（）A．360×102B．36×103C．3.6×104D．0.36×105【分析
】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：36000＝3.6
×104，故选：C．4．（3分）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）A．50°B．
60°C．70°D．80°【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质求出∠AED即可．【解答】解：∵∠C＝180°﹣
∠A﹣∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠C＝80°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝80°，故选：D．5．（3分）在直角坐标系
中，点P（3，1）关于x轴对称点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据题意可
设平面直角坐标系中任意一点P，其坐标为（x，y），则点P关于x轴的对称点的坐标P′是（x，﹣y）．【解答】解：点P（3，1）关于x
轴对称点的坐标是（3，﹣1）．故选：C．6．（3分）下列计算结果正确的是（）A．﹣3x2y?5x2y＝2x2yB．﹣2x2y3
?2x3y＝﹣2x5y4C．35x3y2÷5x2y＝7xyD．（﹣2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2【分析】A、原式利用单项式乘
以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用单项式除以单项式法
则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、﹣3x2y?5x2y＝﹣15x4
y2，故A选项错误；B、﹣2x2y3?2x3y＝﹣4x5y4，故B选项错误；C、35x3y2÷5x2y＝7xy，故C选项正确；D、
（﹣2x﹣y）（2x+y）＝﹣（2x+y）2＝﹣4x2﹣4xy﹣y2，故D选项错误．故选：C．7．（3分）函数y的自变量x的取值范
围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≠0D．x＞0且x≠﹣2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可
得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0，故选：B．8．（3分）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测
得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100mB．100mC．100mD．
m【分析】根据题意求出∠AOB，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，∴ABOA＝
100（m），故选：A．9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其
部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）【分析】根据抛物线
的对称性和（﹣1，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标．【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2
，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故
选：B．10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对
应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°【分析】根据旋转可得∠A′BA＝
∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA''＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA''的度数．【解答】解：
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′
BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，∴∠BAA′＝∠BA′A（180°﹣40
°）＝70°，∴∠CAA''＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．故选：D．11．（3分）为了解某社区居民的用电情况，随
机对该社区10户居民进行调查，表是这10户居民2016年4月份用电量的调查结果：居民1234月用电量（度/户）30425051那么
关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50B．众数是51C．方差是42D．平均数为46.8【分
析】根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．【解答】解：10户居民2015年4月份用电量为30，42
，42，50，50，50，51，51，51，51，中位数为50；众数为51，平均数为（30+42+42+50+50+50+51+5
1+51+51）＝46.8，方差为[（30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2]
＝42.96，故选：C．12．（3分）已知图柱底面的周长为6dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上过点A与C嵌有一圈金属丝，则这圈
金属丝的周长最小为（）A．3dmB．6dmC．4dmD．5dm【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段
最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的
长度．∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，∴AB＝3dm，BC＝BC′＝3dm，∴AC2＝32+32＝18，∴AC＝3．∴这
圈金属丝的周长最小为2AC＝6（dm）．故选：B．二、填空题（本大题共有4个题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案
直接填写在答题卷相应位置上）13．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则﹣1．【分析】根据x1，x2
是方程x2+px+q＝0的两根时x1x2＝q，得出x1x2＝﹣1，代入计算可得答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2
x﹣1＝0的两根，∴x1x2＝﹣1，则1，故答案为：﹣1．14．（3分）若关于x的方程3的解为正数，则m的取值范围是m＞﹣3且m
≠﹣2．【分析】先将原方程去分母，化为整式方程，用含m的式子表示出x，再考虑方程的解为正数及出现增根的情况即可解．【解答】解：由
3得2x+m＝3x﹣3∴x＝m+3∵解为正数∴m+3＞0∴m＞﹣3∵当m＝﹣2时，x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）＝0∴x＝1
为原方程的增根故答案为m＞﹣3且m≠﹣2．15．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）
生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一
个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池
边的水面，则水池里水的深度是12尺．【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x
2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．16．（3分）已知：如图，在Rt△ABC中，点
D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D2；过点D2作DE2⊥AC于点E2，连接BE2交C
D1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2
，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…，Sn，设△ABC的面积为1，则Sn＝（用含n的代数式表示）．【分
析】根据△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，再利用相似三角形的性质得出D1E1BC，CE1AC，S1S△ABC，同理表示
出S2、S3的面积，发现规律可得答案．【解答】解：∵D1E1⊥AC，D2E2⊥AC，D3E3⊥AC，∴D1E1∥D2E2∥D3E3
∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1BC，CE
1AC，S1S△ABC，∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1BE1，∴D2E2BC，CE2AC，S2S△ABC，∵D2E2：D
1E1＝2：3，D1E1：BC＝1：2，∴BC：D2E2＝2D1E1：D1E1＝3，∴CD3：CD2＝D3E3：D2E2＝CE3：
CE2＝3：4，∴D3E3D2E2BCBC，CE3CE2ACAC，S3S△ABC…；∴Sn1．故答案为：．三、解答题（本大题共有8
个小题，共72分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）先化简，再求值：1（）
，其中a是不等式组的最小整数解．（2）已知：a＝（）（）+|1|，b2sin45°+（）﹣1，求b﹣a的算术平方根．【分析】（1）
先算括号里，再算括号外，然后解不等式组确定a的值，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答；（2）先分别求出a，b的值，然后再
求出b﹣a的值即可解答．【解答】解：1（）＝1＝1?＝1，，解不等式①得：a≥2，解不等式②得：a＜4，∴原不等式组的解集为：2
≤a＜4，∵a是不等式组的最小整数解，∴a＝2，当a＝2时，原式；（2）a＝（）（）+|1|＝3﹣11＝1，b2sin45°+（）
﹣1，＝222＝222，∴b﹣a2﹣11，∴b﹣a的算术平方根是：1．18．（6分）如图，在?ABCD中，点O是边CD的中点，连接
AO并延长，交BC的延长线于点E．求证：BC＝CE．【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，再证明△AOD≌△EOC
（ASA）即可解决问题．【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠
D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE，∴BC＝CE．19．（8分）恩施是中国三大后
花园之一，景色宜人，其中恩施大峡谷、咸丰坪坝营森林公园、宣恩狮子关景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下
设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点，两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．（1）若规定老同志相对偏多
的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由．（2）设选中C部门游狮子关的概率为P1，选中B部门游大峡谷或者坪坝营的
概率为P2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．【分析】（1）计算各个部门的被选中的概率，得出答案；（2）用列表法或树状图列举出
所有可能出现的结果情况，从中找出C部门游狮子关的频数，B部门游大峡谷或者坪坝营的”的频数，进而求出相应的概率，比较得出答案．【解答
】解：（1）C部门，理由：∵PA，PB，PC，∴选择C部门的可能性大；（2）P1＝P2；用列表法表示所有可能出现的结果如下：ABC
C大峡谷（D）ADBDCDCD狮子关（E）AEBECECE坪坝营（F）AFBFCFCF共有12种可能出现的结果，其中选中C部门游狮
子关的有2种，选中B部门游大峡谷或者坪坝营的的也有2种，∴P1，P2，因此，P1＝P2．20．（8分）鄂州市某校数学兴趣小组借助无
人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行
50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα
＝2，MC＝50米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：1.41，1
.73）【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50米，可求出AM即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，B
N＝100米，可求出DN，进而求出DM和CD即可．【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝3
0°，AB＝MN＝50米，（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50米，∴AM＝2MC＝100BN，答：无人
机的飞行高度AM为100米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN，即：tan30°，∴DN＝300米，∴DM＝DN+MN＝30
0+50＝350（米），∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50264（米），答：河流的宽度CD约为264米．21．（8分）如图，一次函数
y＝x+5的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数
y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，求b的值．【分析】（1）根据
一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；（2
）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一
个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象
相交于A（﹣1，m），∴m＝4，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y；（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个
单位（b＞0），∴y＝x+5﹣b，∵平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，∴x+5﹣b，∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，解得b＝9或1，答：b的值为9或1．22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3
元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据
：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销
售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别
为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该
商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）
根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x
的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意
列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx
+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过
程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元
，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.
5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，且x为正整数∴当x＝12时，w取最大值
为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元
；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000
m，∴对称轴为x13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于1
5元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴13.5+0.5m＞14.5，解得m＞2，∵1≤m≤6
，∴2＜m≤6．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE∠
BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90
°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得
．【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD∠BA
C，∵∠CDE∠BAC．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CD
E＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3B
D，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴，即∴
DE＝4，x，∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为
直线x，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从
A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之
停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上
，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MD
B相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【分析】（1）利用待定系数法，对称轴公式构
建方程组求出a，b即可，再求出点A点C的坐标即可得出结论．（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．利用全等
三角形的性质求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可．（3）分6种情形首先确定点P的坐标，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】
解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为yx2x+1，令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），令
x＝0，得到y＝1，∴C（0，1），∴OA＝OC＝1，∴∠CAO＝45°．（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥A
B于F．∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，∴∠NME＝∠MDF，∵NM＝DM，∴△MEN≌△DFM（AAS），∴NE＝MF，EM＝DF，∵∠CAO＝45°，ANt，AM＝3t，∴AE＝EN＝t，∴EM＝AM﹣AE＝2t，∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，∴D（4t﹣1，2t），∴（4t﹣1）2（4t﹣1）+1＝2t，∵t＞0，故可以解得t，经检验，t时，M，N均没有达到终点，符合题意，∴D（2，）．（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，∵M（，0），D（2，），B（4，0）∴FM＝2，DM，BM，BD，∴DF＝2MF，∵OC＝2OE，∴tan∠OCE＝tan∠MDF，∴∠OCE＝∠MDF，∴∠OCP＝∠MDB，∴∠ECG＝∠FDB，∴tan∠ECG＝tan∠FDB，∵EC，∴EG，可得G（，），∴直线CP的解析式为yx+1，由，解得或，∴P（，），C（0，1），∴PC，当或时，△QCP与△MDB相似，可得CQ或，∴Q（0，）或（0，）．如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，∴OK＝2OC＝2，∴点K与F重合，∴直线PC的解析式为yx+1，由，解得或，∴P（5，），∴PC，当或时，△QCP与△MDB相似，可得CQ或，∴Q（0，）或（0，）．当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（，），Q（0，）或（0，），当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得P（，），Q（0，）或（0，），当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（，），Q（0，）或（0，）． |
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