2021年内蒙古包头市中考数学真题含解析姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（共12题
）1、据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学
记数法表示为，则n等于（）A．6B．5C．4D．32、下列运算结果中，绝对值最大的是（）
A．B．C．D．3、已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段A
D的长为（）A．1B．3C．1或3D．2或34、柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出
2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（??）A．B．C．D．5、如图，在中，，，，以点A为圆心，
AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E
，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6、若，则代数式的值为（）A．
7B．4C．3D．7、定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（）
A．B．C．1D．28、如图，直线，直线交于点A，交于点B，过点B的直线交于点C
．若，，则等于（）A．B．C．D．9、下列命题正确的是（）A．在函数中，当时，y随
x的增大而减小B．若，则C．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形10、已知二次函数的
图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11、如
图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于
点E．若，，则的值为（）A．B．C．D．12、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA
边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D
，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；
③；④．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共8题）1、因
式分解：_______．2、化简：_____．3、一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为______
_．4、某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10，若这组数据的中位数为8，则这组数据的
方差为________．5、如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，
过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．6、如图，在中，，以AD为直径的与B
C相切于点E，连接OC．若，则的周长为____________．7、如图，BD是正方形ABCD的一条
对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为_____
_____．8、已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物
线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．三、解答题（共6题）1、为了庆祝中国
共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚
不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足．请根据所给信息，解答下列问题：甲组2
0名学生竞赛成绩统计表成绩（分）708090100人数3ab5（1）求统计表中a，b的值；（
2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出
正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．2、某工程队准备从
A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，B
D长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离：（2）求隧道
AB的长度．3、小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，
于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均
速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，
他能否在上课前赶回学校？请说明理由．4、如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的交A
B于点E，交AC于点F，过点F作，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，
DF．（1）求证：；（2）若，，，求HF的长．5、如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，
连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P
在上时，连接AP，在BC边的下方作，，连接DP，求的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且
，当时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：；（3）如图3，M是AC边上一点，当时，连
接MP．若，，，的面积为，的面积为，求的值（用含a的代数式表示）．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，①求点M的坐
标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C
作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K
，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，
G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．============参考答案===
=========一、选择题1、B【分析】把46.61万表示成科学记数法的形式，即可确定n．【详解】46.61
万=466100=4.661，故n=5故选：C．【点睛】本题考查把一个绝对值较大的数用科学记数法表示，科学记数
法的形式为，其中，n为绝对值较大的数的整数数位与1的差．2、A【分析】计算各个选项的结果的绝对值，比较即知．
【详解】∵1+(?4)=?3，(-1)4=1，(-5)-1=，而，，，，且∴的绝对值最大故选：
A．【点睛】本题考查了实数的运算、实数的绝对值等知识，掌握实数的运算法则是关键．3、C【分析】先分C在AB
上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【详解】解：如图：当C在
AB上时，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB
+BC=6,∴AD=AC=3故选C．【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运
用分类讨论思想成为解答本题的关键．4、A【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，取出的鞋是同一双有4个，再由概率
公式求解即可．【详解】解：设两双鞋的型号分别为：，其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，画树状
图如下：共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，则取出的鞋是同一双的概率为：，故选：A．【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树
状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5、D【分析】利用勾股定理可求出AC
的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S阴影=S△ABC-S扇形BEF
-S扇形ACD即可得答案．【详解】∵，∴∠A+∠B=90°，∵，，∴=1，∴S阴影
=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD=BC·AC-=×1×2-=1-，故选：D．【
点睛】本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．6、C【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．
【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
7、B【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，
可得出等式，即可求得m．【详解】解：由，∴，得：，∵解集为，∴∴，故选：B．【点睛】题目
主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．8、B【分析】根据平行线性质计
算角度即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线性质，熟练识
别同位角、内错角，同旁内角是解决本题的关键．9、D【分析】分别根据相关知识点对四个选项进行判断即可．【详解】A、当
时，反比例函数在时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误；B、当a<0时，-a>0，故-a>
a，从而1-a>1+a，故此选项错误；C、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项错误；D、由于
圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为，由此可得四边形的对角线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项正确．
故选：D．【点睛】本题分别考查了反比例函数的性质，不等式的性质，切线的定义，圆与正多边形等知识，关键是要对这些知识熟练掌
握．10、C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得；根据二次函数的性质，得，从而得，通过计算即可得到答案．【详解】
∵点在第一象限∴∴∵二次函数的图象经过第一象限的点∴∴∴当时，，即和y轴交点为：当时，，即
和x轴交点为：∵，∴一次函数的图象不经过第三象限故选：C．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标
系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．11、D【分析】根据，和关于直线
BC对称，证明出四边形ABDC是菱形，再根据菱形的性质得到BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，最后由
勾股定理求出结果．【详解】解：∵，和关于直线BC对称，∴AB=AC=CD=BD，∴四边形A
BDC是菱形，∴BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，∵，，∴OC=OB=3，OA
=OD=4，在Rt△COD中，OC=3，OD=4，∴DC=，∴AB=AC=CD=
BD=5，∵，∴，，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质
、菱形的判定与性质以及勾股定理，关键在于利用等腰三角形与折叠的性质证明出四边形是菱形，再用菱形的性质与勾股定理进行求解．12、
A【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，，，只需证明即可证明结论①；先求出直线OB的解析式，然后求直线
OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论②；分别求出和，进行比较即可证明结论③；只需证明，即可求证结论④．
【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0
，2)，根据反比例函数，当时，，即D点坐标为(1，2)，当时，，即F点坐标为(4，)
，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，故结论①正确；设直线OB的函数解析式为：，点B代入则有：
，解得：，故直线OB的函数解析式为：，当时，(舍)即时，，∴点E的坐标为(2，1)，
∴点E为OB的中点，∴，故结论②正确；∵，∴，由②得：，，∴，故结论③正确；在
和中，，∴，∴，故结论④正确，综上：①②③④均正确，故选：A．【点睛】本题主要考查矩形的性质，
相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．二、填空题1、【分析】首
先将公因式a提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】，故填：．【点睛】本题考查提公因式因式分解，公式法
因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．2、1【分析】直接按照分式的四则混合运算法则计算
即可．【详解】解：====1．故填1．【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则
成为解答本题的关键．3、2【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b
代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．【详解】∵和是正数a的平方根，∴，
解得，将b代入，∴正数，∴，∴的立方根为：，故填：2．【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求
一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．4、3.6【分析】根据中位数的性质，得；再根据方差的性质计
算，即可得到答案．【详解】根据题意，∴5次射击命中的环数分别为5，10，7，8，10∴这组数据的平均
数为：∴这组数据的方差为：故答案为：3.6．【点睛】本题考查了数据分析的知识；解题的关键是熟练掌握中位数、方差的性质
，从而完成求解．5、【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出
关于MN的方程，即可求出MN的长．【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，
∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两
组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．6、【分析】连接OE，作AF⊥BC于F，先证明为矩形，进而证明
Rt△ABF≌Rt△OCE，得到BF=CE=3，利用勾股定理求出OC=，即可求出的周长．【详解】解：
如图，连接OE，作AF⊥BC于F，∵BE为的切线，∴∠OEC=∠OEB=90°，∵AD∥
BC，∴AF∥OE，∴四边形AFEO为平行四边形，∵∠OEF=90°，∴为矩形，∴AF=
OE，EF=AO==6,∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，BC=AD=12，∵
AB=OC∴Rt△ABF≌Rt△OCE，∴BF=CE=3，∵OE=OA=6，∴在R
t△OCE中，，∴AB=CD=OC=，∴的周长为为（）×2=．故答案为：【点睛】本题考查了圆
的切线的性质，矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形等知识，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线是解题关键．7、
【分析】首先连接AE，由题可知，DE=DC=AD,所以△DEC,△AED,△EFC是等腰三角形，
由正方形的性质得∠EBC=∠ADE=∠EDC=45°，求出,得出=22.5°，,,所以,得出∠
AEF=90°，再证明,则,所以△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，减去∠BAE即可．
【详解】连接AE,如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE
=45°，,∵DE=CD,∴AD=DE=CD，∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE
=67.5°，∴,,又∵EF=EC,∴,∴,∴,∴,在△DAE和△DEC中：
∵∴△DAE≌△DEC(SAS),∴AE=EC，又∵EC=EF,∴AE=EF，∴△
AEF为等腰直角三角形，∴∠FAE=45°，∴,故填：22.5°．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角
形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形．8、4【分析】根据题意画出函数图像，要使
的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．【详解】解：根据题意可求出，抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，连接AD与交于点E，此时的值最小，过D点作x轴垂线，
垂足为F，设抛物线对称轴与x轴交点为G，∵，∴，∴，∴，过点C作的垂线，垂足为H，所以
四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，即，则S四边形ACHE-，故答案为：4．【点睛】
本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关
键．三、解答题1、（1）；（2）不正确，87.5分；（3）甲组成绩好，见解析【分析】（1）根据总人数
为20人与，求出a，b的值；（2）根据加权平均数公式判断出原结果是错误的，计算出正确结果；（3）算出甲
乙两组的平均成绩进行比较，得出结论．【详解】解：（1）根据题意，得，解得，（2）不正确．正确的算法：甲组20
名学生竞赛成绩的平均分是：（分）（3）根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100
分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%．所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：（
分）因为，所以甲组竞赛成绩较好．【点睛】此题主要考查了扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数的意义是正确解答
的前提．2、（1）；（2）3km【分析】（1）过点A作，垂足为E，在中，可利用特殊角的三角函数
值和已知分别求出AE，CE及DE，则可由勾股定理求得A、D两点之间的距离；（2）利用（1）中所求结果
，可判断出△ADE是等腰直角三角形，结合已知角度可推出△ABD是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的长度．【
详解】解：（1）如图，过点A作，垂足为E，．在中，，，，．，．，．在中，，．A、
D两点之间的距离为．（2），，∴△ADE是等腰直角三角形，，，，是直角三角形．在中，，，．
隧道AB的长度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是
解题的关键．3、（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】（
1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，
与上课时间20分钟作比较即可．【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1
.6x米/分，根据题意，得，解这个方程，得，经检验，是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/
分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为（分），骑自行车所用时间为（
分），在家取作业本和取自行车共用了3分，所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）．因为，所以小刚不能在上课前赶回
学校．【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．4、（1）见解析；（2）【分析】
（1）是的直径，可以得到，推出，再用平行线的判定和性质可求出；（2）连接OF，得到，由于是的直径，
得到，，，用平行线的判定得到，再用角之间的关系证明，再用相似三角形的性质，证明就可求出HF．【详解】如图解：
（1）证明：是的直径，．，，，，．，．（2）连接OF，AD是BC边上的高，．，．
．是的直径，，，．，．．．，．，，．，，．在中，，，，，，，，．在中，
，，，，，，，，．【点睛】此题考查圆的性质和相似三角形的证明的综合运用，熟悉掌握相似三角形的性质和灵活作辅助线
是解题的关键．5、（1）30°；（2）见解析；（3）【分析】（1）连接BD，易证，则由全等三角形
的性质可得△DBP是等边三角形，则可得∠BPD=60゜，再由BC边是直径即可求得结果；（2）连接AP并
延长交BC于点G，则由垂直平分线的性质可得AG⊥BC，且BG=CG，设，则CE、EG、BC、
AB、BP均可用x的代数式表示，这样在由勾股定理可求得PG的长，在中，由正切的三角函数可求得∠GEP=6
0゜，从而可得，根据相似三角形的性质即可得结论；（3）延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂
足为N，则由已知易得∠MHA=90゜，由直角三角形的性质及勾股定理可得AH、MH的长，从而可求得△PAB
的面积，在Rt△MNP中，由直角三角形的性质可得PN的长，从而可求得△PAC的面积，而，从而可求得结果．【详
解】（1）如图，连接BD是等边三角形，，．，，，，．，，，是等边三角形，．BC为半圆O的
直径，，．（2）如图，连接AP并延长交BC于点G，，，．设，则，．，．，．，．在
中，由勾股定理得：，．在中，，，．，，，．（3）如图，延长MP交AB于点H，连接AP
，过点P作，垂足为N，，．，．，．在中，，，，．，．，在中，，，．．．【点
睛】本题是一个几何综合题，考查了圆的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三
角形的性质，勾股定理，图形面积的计算，锐角三角函数等知识，题目不算太难，但涉及的知识点多，关键是要灵活运用这些知识．6、（1
）①；②，见解析；（2）见解析【分析】（1）①直接将点代入解析式，又有，即可解出坐标；②相等，
先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．【详解】解：（1）如答案图6.①点在抛物线上，且，，解得，（舍去），，．②，点在该抛物线上，，．设直线MB交x轴于点H，解析式为，解得当时，，，．过点M作轴，垂足为R，，，，根据勾股定理得，，．，，，，，．（2）如答案图7.证明：对称轴，，，，．过点M作轴，垂足为Q，，，．当时，解得，，．，，，．，．设直线EM的解析式为，解得．设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P．当时，．．当时，，，，．，，．，，，，．设，则．在中，，．（负值舍去），，，．，，射线FE平分．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… |
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