2021年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1
．（4分）（2021?资阳）2的相反数是（）A．﹣2B．2C．D．2．（4分）（2021?资阳）下列计算正确的是（）A．a
2+a2＝2a4B．a2?a＝a3C．（3a）2＝6a2D．a6+a2＝a33．（4分）（2021?资阳）如图是由6个相同的小立方
体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）（20
21?资阳）如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°5．（
4分）（2021?资阳）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15
名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数6．（4分）（2021?资阳）若a，b，c＝2，则a，b，c的大小关系为（
）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．a＜b＜c7．（4分）（2021?资阳）下列命题正确的是（）A．每个内角都
相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积
分成1：2两部分8．（4分）（2021?资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和
一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB，EF＝1，则GM的长为（）A．B．
C．D．9．（4分）（2021?资阳）一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.
5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；②有一个容积为1.5升的
开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，
瓶内水的体积为y升；③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，点P从点A出发．沿AC→CD→DA路线运动至点A停止．设点P的运动
路程为x，△ABP的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（）A．3B．2C．1D．010．（4分）（2021?资阳）已
知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2
+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（）A．﹣4≤aB．﹣4≤aC．a＜0D．a＜
0二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2021?资阳）中国共产党自1921年诞生以来，仅用了10
0年时间，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党．请将数92000000用科学记数法表示为
．12．（4分）（2021?资阳）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类
的概率为．13．（4分）（2021?资阳）若x2+x﹣1＝0，则3x．14．（4分）（2021?资阳）如图，在矩形A
BCD中，AB＝2cm，ADcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为cm2．15．（4分）
（2021?资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展
开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为．16．（4分）（2021?资阳）如图，在菱形ABCD中，
∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①
AF＝CF；②AF2＝EF?FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：（本大题共
8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（9分）（2021?资阳）先化简，再求值：（），其中x﹣3
＝0．18．（10分）（2021?资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了
部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的
统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；（2）若D类职工中有3名女士和2名
男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．19．（10分）（2021?资阳）我市某
中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙
种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共
60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．20．（10分）（2021?资阳）如图，
已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y相交于A（m，3）、B（3，n）两点．（1）求直线AB的解析式；（2）连结AO并延长交双曲
线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．21．（11分）（2021?资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以A
B为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝6，tanE
，求AF的长．22．（11分）（2021?资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度
为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处
测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）（1）求D处的竖
直高度；（2）求基站塔AB的高．23．（12分）（2021?资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，
已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝9
0°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结
AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4，求sin∠BCD的值．24．（13分）（2021?
资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2
）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛
物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D''处，且DD''＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D''左侧的一点，MN∥y轴交
直线OD''于点N，连结CN．当D''N+CN的值最小时，求MN的长．2021年四川省资阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：
（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．（4分）（2021?资阳）2的相反
数是（）A．﹣2B．2C．D．【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．【解答】解：2的相反数
是﹣2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相
反数是正数，0的相反数是0．2．（4分）（2021?资阳）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．a2?a＝a3C．（3
a）2＝6a2D．a6+a2＝a3【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．【解答】解：A.a
2+a2＝2a2，因此选项A不正确；B.a2?a＝a2+1＝a3，因此选项B正确；C.（3a）2＝9a2，因此选项C不正确；D.a
6与a2不是同类项，不能合并计算，因此选项D不正确；故选：B．【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，掌
握合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是得出正确答案的前提．3．（4分）（2021?资阳）如图是由6个相同的
小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】由俯
视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案．【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为3个正方形，
右边的一列为一个正方形，因此选项C中的图形符合题意，故选：C．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法
是正确判断的前提．4．（4分）（2021?资阳）如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．80°
B．70°C．60°D．50°【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠4＝40°，在根据三角形的外角性质即可得解．【解答】解：如图，
∵直线m∥n，∠1＝40°，∴∠4＝∠1＝40°，∵∠3＝∠2+∠4，∠2＝30°，∴∠3＝30°+40°＝70°，故选：B．【点
评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即三角形的外角性质是解题的关键．5．（4分）（2021?资阳）15名学生演讲赛的成
绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．方
差D．中位数【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位
数，比较即可．【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少
．故选：D．【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．6．（4分）（2021?资阳）若a，b，c＝2，
则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．a＜b＜c【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出
a、b的近似值，再进行比较即可．【解答】解：∵，∴12，即1＜a＜2，又∵23，∴2＜b＜3，∴a＜c＜b，故选：C．【点评】本题
考查实数的大小比较，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确判断的前提．7．（4分）（2021?资阳）下列命题正确的
是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角
形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即
可选出正确答案．【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
，故正确，是真命题；C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题；D、三角形的中位线将三角形的面积
分成1：3两部分，故错误，是假命题．（∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DEBC，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，∴S
△ADE：S△ABC＝1:4，∴S△ADE：S四边形DECB＝1：3．）故选：B．【点评】本题考查正多边形的定义、平行四边形的判定
、垂直平分线的定义和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握这些定理、定义．8．（4分）（2021?资阳）如图是中国古代数学家赵爽用
来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交
BC于点M．若AB，EF＝1，则GM的长为（）A．B．C．D．【分析】由大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形
EFGH组成，在直角三角形AEB中使用勾股定理可求出BF＝AE＝GC＝DH＝2，过点M作MN⊥FC于点N，由三角形EFG为等腰直角
三角形可证得三角形GNM也为等腰直角三角形，设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，由tan∠FCB，可解得a．进而可得GM
．【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故A
E＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，即13＝x2+(1+x)2，解得：x＝2．过点M作
MN⊥FC于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△
GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，∵tan∠FCB，解得：a．∴GM．故选：D．【点评】本题考
查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．9．（4分）（2021?资阳）一对变量
满足如图的函数关系．设计以下问题情境：①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/
分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空
瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；③在矩形ABCD中，AB＝
2，BC＝1.5，点P从点A出发．沿AC→CD→DA路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，△ABP的面积为y．其中，符合图中函
数关系的情境个数为（）A．3B．2C．1D．0【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可．【解答】解：①小明从家骑车以600米/
分的速度匀速骑了2.5分钟，离家的距离＝600×2.5＝1500（米）＝1.5（千米），原地停留＝4.5﹣2.5＝2（分），返回需
要的时间＝1500÷1000＝1.5（分），4.5+1.5＝6（分），故①符合题意；②1.5÷0.6＝2.5（秒），2.5+2＝4
.5（秒），1.5÷1＝1.5（秒），4.5+1.5＝6（秒），故②符合题意；③根据勾股定理得：AC2.5,当点P在AC上运动时，
y随x增大而增大，运动到C点时，y2×1.5＝1.5,当点P在CD上运动时，y不变，y＝1.5，当点P在AD上运动时，y随x增大而
减小，故③符合题意；故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义，注意单位换算．10．（4分）（
2021?资阳）已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线
y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（）A．﹣4≤aB．﹣4≤a
C．a＜0D．a＜0【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．求出抛物线经过点A时a的值即可．【解答】解：如图，由题意，抛物
线的开口向下，a＜0．当抛物线y＝a（x﹣1）2+2经过点A(3,﹣4)时，﹣4＝4a+2,∴a,观察图象可知，当抛物线与线段AB
没有交点或经过点A时，满足条件,∴a＜0．故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识，
解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2
021?资阳）中国共产党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为
世界第一大政党．请将数92000000用科学记数法表示为9.2×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥
10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：92000000＝9.2×107．故答案为：9.2×107．【点评】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．12．（4分）（2021?资阳）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类
的概率为．【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可．【解答】解：∵一共有2+4+6＝12本书籍，其中文学类有4本，∴小
陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数
÷事件A可能出现的结果数．13．（4分）（2021?资阳）若x2+x﹣1＝0，则3x﹣3．【分析】根据公因式法可以先将所求式子
化简，然后根据x2+x﹣1＝0，可以得到x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：3x3（x），∵x2+x﹣1＝0，x
+10，∴x1，当x1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求
值的方法．14．（4分）（2021?资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，ADcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点
E，则图中阴影部分的面积为(2π)cm2．【分析】连接BE．首先证明∠EBC＝30°，根据S阴＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣
S扇形AEB计算即可．【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BCcm，∠C＝∠ABC＝90°，CD∥AB，在
Rt△BCE中，∵AE＝BE＝2cm，BCcm，∴EC1cm，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠BEC＝60°,∴S阴＝S矩形AB
CD﹣S△BEC﹣S扇形AEB,＝21?π?22,＝(2π)cm2．故答案为:(2π)．【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式
、直角三角形30度角的判断等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（4分）（2021?资阳）将一张圆
形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．
若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为135°．【分析】根据翻折可以知道∠OAB∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求
出∠AOB和∠OAB的度数即可求∠OBA的度数．【解答】解：由题知，∠AOB180°＝30°，有翻折知∠OAB∠DCE，CD＝CE
，∵∠CDE＝75°，∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠OAB∠DCE15°，∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠O
AB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，故答案为：135°．【点评】本题主要考查剪纸问题，熟练掌握剪纸中的翻折是解题的关键．16
．（4分）（2021?资阳）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E．连结AE交BD于点F，交C
D于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF；②AF2＝EF?FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH．其中
所有正确结论的序号为①②③④．【分析】由菱形ABCD的对称性可判断①正确，利用△CFG∽△EFC,可得CF2＝EF?GF,从
而判断②正确，设AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE中，CE＝CD?cos60°CDm,BEm,可得,设AF＝2n，则CF＝AF＝2
n,EF＝3n,可得FGn,EG＝EF﹣FGn,从而FG:EG＝(n):（n)＝4:5,可判断③正确，设CE＝t,Rt△CDE中，
CD＝2t＝AD,DEt,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,可求出DFBDt,Rt△DFH中，FHDFt,Rt△ADE中，AEt
,即可得EFAEt,FGEFt,Rt△FHG中，cos∠GFH,即可判断④正确，【解答】解：∵菱形ABCD，∴对角线BD所在直线是
菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折，A与C重合，∴AF＝CF,故①正确，∠FAD＝∠FCD,∵AD∥BC,∴∠FAD＝∠FEC,
∴∠FCD＝∠FEC,又∠CFG＝∠EFC,∴△CFG∽△EFC,∴,∴CF2＝EF?GF,∴AF2＝EF?GF,故②正确，∵菱形
ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，∠CBD＝∠CDB＝30°，AD＝CD＝BC,设AD＝CD
＝BC＝m,∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，Rt△CDE中，CE＝CD?cos60°CDm,∴BEm,∵AD∥BE,∴,设AF＝
2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n,又CF2＝FG?EF,∴(2n)2＝FG?3n,∴FGn,∴EG＝EF﹣FGn,∴FG:EG
＝(n):（n)＝4:5,故③正确，设CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DEt,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,∵A
D∥BE,∴,∴DFBDt,Rt△DFH中，FHDFt,Rt△ADE中，AEt,∴EFAEt,∵FG:EG＝4:5,∴FGEFt,
Rt△FHG中，cos∠GFH,故④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及菱形的轴对称性、三角形相似的判定
及性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形性质，从图中找出常用的相似三角形模型解决问题．三、解答题：（本大题共8个小题，共8
6分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（9分）（2021?资阳）先化简，再求值：（），其中x﹣3＝0．【分析】
首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案．【解答】解：原式＝（）???,∵x﹣3＝0,∴x＝3,此时
，原式．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．18．（10分）（2021?资阳）目前，全国各地正在有序推进
新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）
、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）求C类职工所对应扇形的
圆心角度数，并补全条形统计图；（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一
名女士和一名男士的概率．【分析】（1）由B类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；（2）画树状图，共有20种等可能的结
果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）调查的职工人数为：150÷75%＝200（人
），∴C类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°27°，A类的人数为200﹣150﹣15﹣5＝30（人），补全条形统计图如下：（2
）画树状图如图：共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率为．【点评】此
题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（10分）（202
1?资阳）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件
甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需
甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【分析】（1）设甲种奖品
的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70
元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品
的总费用为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可
得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/
件，依题意，得：，解得，答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60
﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，∴m(60﹣m)，∴m≥20．依题意，得：w＝
20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w随m值的增大而增大，∴当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用
最小，最小费用是800元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．20．（10分）（2021?资阳）如图
，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y相交于A（m，3）、B（3，n）两点．（1）求直线AB的解析式；（2）连结AO并延长交双
曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．【分析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数
法即可求得直线AB的解析式；（2）根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利
用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3,根据勾股定理求得CD、BD的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比
求得△ABD的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y相交于A（m，3）、B（3，n）两点．∴3m＝3n＝6
,∴m＝n＝2,∴A(2,3),B(3,2),把A(2,3),B(3,2)代入y＝kx+b得,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+
5；(2)∵AC经过原点O,∴A、C关于原点对称，∵A(2,3),∴C(﹣2,﹣3),设直线CB的解析式为y＝mx+n,∴,解得,
∴直线BC为y＝x﹣1,令y＝0,则x＝1,∴D(1,0),∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝21×3＝3,∵BC5,BD2,
∴CD＝BC﹣BD＝3,∴,∴S△ABDS△ACD＝2．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的
解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键．21．（11
分）（2021?资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F
．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝6，tanE，求AF的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠
OBD＝∠ODB，可证OD∥AC，可得OD⊥DE，可得结论；（2）由锐角三角函数可求DE＝4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求
OE＝5，通过证明△AEF∽△OED，可得，即可求解．【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵O
B＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACB，∴AC∥OD，∴∠DFC＝∠ODF，∵DE⊥AC，∴∠DFC＝∠ODF＝90
°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AC＝6＝AB，∴AO＝OB＝3＝OD，∵OD⊥DE，tanE，∴，∴DE＝4，∴O
E5，∴AE＝OE﹣OA＝2，∵AC∥OD，∴△AEF∽△OED，∴，∴，∴AF．【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数
，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．22．（11分）（2021?资阳）资阳市为实
现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡
脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内
）（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．【分析】（1）通过作垂线，
利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△
ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．【解答】解：（1）如图，过点C、D分
别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CF，垂足为M，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴，即，设DM＝5k，则
CM＝12k，在Rt△CDM中，CD＝13，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，
∴DM＝5，CM＝12，答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠A
CF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝1
2a，AE＝7+12a，∵tan∠ADE＝tan53°，∴，解得m，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE
＝5a（米），∴AB＝AE﹣BE＝28（米），答：基站塔AB的高为米．【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用
直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．23．（12分）（2021?资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB
＝AC．（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在
BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已
知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4，求sin∠BCD的值．【分析
】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），进而求解；（2）证明四边形ADHE为正方形，则BH＝BD+DH＝2+6＝8,CH＝HE﹣
CE＝6﹣2＝4,在Rt△BCH中，tan∠CBH,在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝21，进而求解；（3）由DE2＝2
AD2＝DH2+EH2，得到（3﹣x）2+（x）2＝2×（4），求出BD＝x＝1，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，B
D＝1，用解直角三角形的方法，即可求解．【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠
BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°,BD＝CE，∴∠BCE＝
∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴BD＝CE且BD⊥CE；（2）延长BD和CE交于点H，由（1）知BD⊥CE，即∠H＝
90°，CE＝BD＝2，而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°,故四边形ADHE为矩形，而AD＝AE，故四边形ADHE为正方形，在R
t△ACE中,AE6＝DH＝EH＝AD，则BH＝BD+DH＝2+6＝8,CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4,在Rt△BCH中，tan∠C
BH,在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝21，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连
结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，由作图知，△ADE为等腰直角三角形，设C
E＝BD＝x，在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BCAB2，则CHBC，BH＝BCcos30°＝3，则DH＝BH﹣x＝3﹣x,E
H＝CH+CE＝x，则DE2＝2AD2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2+（x）2＝2×（4），解得x＝2（舍去）或1，即BD＝x＝
1，过点D作DN⊥BC于点N，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝1，则NDBD＝1,BN＝BDcos30°，则C
N＝CB﹣BN＝2,则tan∠BCD，则sin∠BCD．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等、解直角三角形、勾股定理的
运用等，综合性强，难度较大．24．（13分）（2021?资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B
（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当P
E：BE＝1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D''处，且DD''＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D''左侧的一点，MN∥y轴交直线OD''于点N，连结CN．当D''N+CN的值最小时，求MN的长．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决．(2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T,过点P作PQ∥OC交AC于Q．设P(m,﹣m2+2m+3),求出BT,PQ,利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可．（3）如图2中，连接AD,过点N作NJ⊥AD于J,过点C作CT⊥AD于T．证明AD′⊥x轴，由OD′3,推出sin∠OD′A,推出NJ＝ND′?sin∠OD′AD′N,可得D''N+CN＝CN+NJ,根据CN+NJ≥CT,可得结论．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣1，0），C（0，3），∴,解得,∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．(2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T,过点P作PQ∥OC交AC于Q．设P(m,﹣m2+2m+3),对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0,可得x＝3或﹣1，∴A(3,0),∵C(0,3),∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3,∵B(﹣1,0),∴T(﹣1,4),∴BT＝4,∵PQ∥OC,∴Q(m,﹣m+3),∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m,∵PQ∥BT,∴,∴﹣m2+3m＝2,解得m＝1或2，∴P(1,4)或（2,3）．（3）如图2中，连接AD,过点N作NJ⊥AD于J,过点C作CT⊥AD于T．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D(1,4),∵C(0,3),∴直线CD的解析式为y＝x+3,CD,∵DD′＝2CD,∵DD′＝2,CD′＝3,∴D′(3,6),∵A(3,0),∴AD′⊥x轴，∴OD′3,∴sin∠OD′A,∵CT⊥AD′,∴CT＝3,∵NJ⊥AD′,∴NJ＝ND′?sin∠OD′AD′N,∴D''N+CN＝CN+NJ,∵CN+NJ≥CT,∴D''N+CN≥3,∴D''N+CN的最小值为3．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用垂线段最短，解决最值问题，属于中考压轴题． |
|
