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这是高考数学一道比较基础的立体几何真题，关于直线与平面垂直以及平面与平面垂直，和四棱锥的体积问题。立体几何题最重要的是把定理公式记牢，并能灵活运用。如果连最基本的定理公式都记不清楚，那就完蛋了。老黄已经快30年没有接触到这些定理了，但是仍可以在解题过程中把它们恢复出来。不过语言表达上，和课本里描述的可能大相径庭，内容保证是完全正确的。如果不是把定理公式内化为自己的语言，又怎么能一记就记30年，甚至是一辈子呢？我们先来看题吧。 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)证明：平面PAM⊥平面PBD； (2)若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积.  分析：(1)求证平面PAM垂直于平面PBD。我们只需要找到其中一个平面内的一条直线，垂直于另一个平面就可以了。注意观察。平面APM内的直线AM，极有可能满足这个条件。因为已知PB垂直于AM，又可证PD垂直于AM，从而一条直线垂直于平面内的两条相交线，直线就垂直于这个平面。这是一个逆向思维的过程，几何证明题，逆向思维能力是非常重要的。 (2)若四棱锥的高PD和底面矩形的一边DC都等于1，要求四棱锥的体积。显然，我们只要求得底面矩形的另一条边的长度就可以了。为此，我们可以构造一组相似三角形，利用相似三角形的边成比例的关系，来求矩形另一条边的长。 下面组织解题过程： (1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM， 【依据的定理是：垂直于平面的直线垂直于平面内的任何直线。】 又PB⊥AM，∴AM⊥平面PBD， 【依据的定理是：一条直线同时垂直于平面内的两条相交线，则这条直线垂直于这个平面。】 ∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD. 【依据的定理是：平面内一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面互相垂直。这道题一共应用了立体几何关于直线与平面垂直，以及平面与平面垂直的三个重要定理】  (2)解：如图记AM交BD于Q，由1)可知∠AQB=90⁰，【依据与上面第一个定理相同】 ∴在Rt△ABQ中，∴∠1+∠2=90⁰， 又在Rt△ABD中，∠3+∠2=90⁰，∴∠1=∠3，【同角等余】 ∴Rt△AMB∽Rt△DBA，【有一组锐角相等的两个直角三角形相似】 设AD=BC=x,∵M为BC的中点，∴BM=x/2， 又BM/AB=AB/DA，即x/2=1/x, ∴x=根号2.【已经舍去了负根】 ∴V四棱锥p-ABCD=AD·CD·PD/3=根号2 /3.【四棱锥的体积公式V=Sh/3】 可以看到，第二小题运用的全是初中的知识，而第一小题运用的定理都非常基础，所以这是一道相当基础的立体几何题，对你来说，应该只是小菜一碟吧。不论如何，仍有一些同学会觉得完成起来比较困难。老黄讲得这么哆嗦，这么详细，主要就是为这些有困难的同学服务的。 |
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