数学广角——数与形[课程内容]人教版六年级上册第107页例1和例2及相关练习。[教学目标]1.通过观察、操作、归纳等活动直观感受“
形”与“数”之间的关系，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。2.经历用数与形结合的方式分析、思考、解决问题的探究过程，感悟数
形结合的思想和极限思想，提高解决问题的能力。3.在数与形的对应与比较中感受数学的魅力与美感。[教学重难点]经历用数与形结合
的方式分析、思考、解决问题的探究过程，感悟数形结合的思想和极限思想，提高解决问题的能力。[脚本正文]同学们，大家好!今天我们要学
习的是有关“数与形”的知识。一、情境导入，揭示课题提到“数学”，你会想到什么？有同学想到了数字，分数，小数，长方形、正方形、圆等等
。如果把刚提到的内容进行分类，一类可称为“数”，一类可称为“形”。“数”与“形”是数学中两类最主要的研究对象。其实，数与形之间还蕴
藏着许多的秘密！这节课，我们一起走进“数与形”的世界。二、数形结合，探索规律同学们，屏幕上一共有多少个小正方形呢？有同学说，数出来
有9个小正方形。还有同学说，按照颜色列出算式为：1+3+5，也等于9个。请同学们用这9个小正方形拼摆出一个图形：想一想，怎样拼摆能
很快看出小正方形的总个数呢？想好后，开始你的探索吧！老师选取了两位同学的作品，你认为哪种摆法比较好？有同学认为第二种比较好，这
种摆法非常直观地看出1、3、5的位置，有顺序地摆在一起，这样摆非常有规律。那么就来听听他的摆放过程吧。他说：我先摆1个红色的小正方
形，在它的外围摆上3个黄色小正方形，接着再在它的外围摆上5个蓝色的小正方形，这样就拼成一个大的正方形。这位同学把9个散乱的小正方
形有规律地拼成了一个大正方形。屏幕前的同学们可以伸出手指，指一下算式里的1、3、5在图形中哪部分。那么图中小正方形的个数，除了一开
始同学汇报的加法算式，还可以怎样计算呢？有同学说，因为拼出来的这个大正方形每边的小正方形个数是3，所以可以用3×3计算，还可以写成
32，也就是9个小正方形。同学们用两种不同的算法分别表示了小正方形的个数，都是9个，因为把1红3黄5蓝的小正方形拼成了一个每行有3
个，一共有3行的大正方形，所以列式为1+3+5=32，算出结果等于9。那么这个图里的小正方形个数如何用算式表示呢？你能结合算式说一
说它所对应的图形的拼摆过程吗？有同学说，列式为1+3=22=4，把1红3黄的小正方形摆在一起，拼成了一个每行有2个，一共有2行的大
正方形，所以列式为1+3=22=4。那么只有1个小正方形呢?用算式表示就是：1=12=1。如果我还想拼一个稍大一点的正方形，至少在
这9个小正方形拼成的大正方形外围加几个小正方形呢?有同学说7个。那我们来验证一下，看看是不是在外围摆了7个小正方形，1,2,3,
4,5,6,7，确实是7个。这个图里的小正方形个数又如何用算式表示呢？你能结合算式说一说它所对应的图形的拼摆过程吗？有同学说，把1
红，3黄，5蓝，7绿的小正方形摆在一起，拼成了一个每行有4个，一共有4行的大正方形，所以列式为1+3+5+7=42=16。如果还想
拼一个更大的正方形，请同学们想象一下，这个正方形是什么样子的？有同学说，我想象的这个大正方形每边的小正方形个数是5，也就是可以拼成
每行有5个，一共有5行的大正方形，那么需要在外围摆9个小正方形。这个图形中小正方形的个数所对应的算式为1+3+5+7+9=52=2
5。同学们用算式表示出了小正方形的个数。请同学们仔细观察，图和对应的算式之间有什么关系？开始你的探索吧！来听听同学们的想法吧
！有同学说，他发现加数都是奇数，而且是从1开始的连续奇数。每个正方形图里左下角的红色小正方形，都对应着算式中的1这个加数。正方形图
中以颜色区分的“横折”形图中的小正方形数在对应的算式中也都能找到相对应的加数。第2个图是在第1个图中的红色小正方形的基础上又增加了
黄色的横折形图，这时的大正方形是由每行有2个，一共有2行的小正方形拼成的。这个黄色横折形图中的小正方形数正好对应着算式中的3这个加
数。第3个图则又增加了蓝色的横折形图，这时的大正方形是由每行有3个，一共有3行的小正方形拼成的。这个蓝色的横折形图中的小正方形数正
好对应着算式中的5这个加数。第4个图则又增加了绿色的横折形图，这时的大正方形是由每行有4个，一共有4行的小正方形拼成的。这个绿色的
横折形图中的小正方形数正好对应着算式中的7这个加数。有同学说，算式左边有几个从1开始的连续奇数，大正方形的每边就有几个小正方形。如
第二个图形，加法算式是1+3，有2个连续奇数，大正方形每边就有2个小正方形。又如第三个图形，加法算式是1+3+5，有3个连续奇数，
大正方形每边就有3个小正方形。以此类推，从1开始，有几个连续的奇数相加，每边的小正方形数就是几。还有同学说，他发现，算式左边的加数
是每个正方形图左下角的小正方形和其他横折形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每边小正方形个数的平方，也就是说，每
个正方形图中每边的小正方形数是几，和就是几的平方。如第2个图，大正方形图中每边的小正方形数是2，和就是2的平方。如第3个图，大正方
形图中每边的小正方形数是3，和就是3的平方。有同学产生了疑问，为什么连续的奇数要从“1”开始呢？因为我们是在第1个红色正方形的基础
上往上加的，如果不是从“1”开始，也就是说没有第1个小正方形的话，就会缺一个角，就不能拼成一个更大的正方形了，所以加数必须从“1”
开始。同学们的发现可真不少，老师将同学们的发现，总结成一句话：从1开始，有几个连续的奇数相加，每边的小正方形数就是几，和就是几的平
方。具有这样规律的式子，同学们能不能再写出几个？老师把几位同学的算式展示出来，出示：1+3+5+7+9=52=25，1+3+5+7
+9+11=62=36，这两位同学的算式都是正确的。如果将这个规律进行引申，从1开始有n个连续奇数相加，那结果怎么表示呢？同学们的
回答是正确的，答案是n2。老师把这几个图以及所对应的小正方形个数展示出来，像1、4、9、16……这样的数叫平方数，也称正方形数，这
是伟大的数学家毕达哥拉斯最先发现的。同学们找出了图与对应算式之间的关系，还发现了数与形之间的巧妙规律，看来，有些复杂的数学问题借助
图形解决会更直观，更简便，这便是数形结合的美妙之处。数中有形，形中有数，数形之间有着千丝万缕的关系，是密不可分的，数形结合是一种非
常重要的数学思想。那么你能用所学方法来解答下面的问题吗？第1题，利用规律写一写：1+3+5+7+9+11+13=()2=（
）。有同学说，算式左边是从1开始的7个连续奇数相加，可以想象成每边的小正方形数是7的大正方形，所以是72，结果是49。第2题，
你能像刚才那样，用连续的几个奇数的和表示82吗？出示：82=。有同学说，这道题给出了一个每边的小正方形数是8的大正方形，小正方
形的个数也给出了是82，说明是从1开始的8个连续奇数相加，所以答案是1+3+5+7+9+11+13+15。第3题，请同学们利用规律
算一算：1+3+5+7+9+7+5+3+1=（）。有同学说，这道题中算式可以分成两部分，1+3+5+7+9=52即25，可以想
象成每边的小正方形数是5的大正方形，7+5+3+1=42，即16，可以想象成每边的小正方形数是4的大正方形，最后25+16的和是4
1。同学们，你们已经在不知不觉中发现了数与形之间的规律并能灵活运用了。请看这道题：计算。请同学们先观察这个算式，你发现了什么规律？
有同学发现了，从左往右看这些分数越来越小。这些分数的分子都是1，分母都是偶数。并且从第二个数开始，每个数是前一个数的。如何计算这道
题？有同学说，可以先通分再计算。我一个一个加下去看看，计算出这道题的结果是，观察我每一步的算式，这些算式的结果，分子与分母都越来越
大，说明等分的份数越来越多，取的份数也越来越多，但分子与分母始终相差1，也就是说分子比分母只少一份。有同学说，不妨借助图形来思考，
可能会找到更加简便的计算方法。我们能不能用一个正方形、一个圆或一条线段表示整体“1”，来帮助我们分析这道题呢，请同学们自己动手试一
试吧！来听听同学们的想法吧！有同学说，用一个正方形来表示整体“1”。先取它的一半就是正方形的，那么空白部分也是正方形的。涂色部分的
这，就可以用“1”减去空白部分这来表示。再取空白部分的一半就是这个正方形的，剩下的空白部分也是这个正方形的，那么涂色部分，即，也可
以用“1”减去空白部分这来表示。接着又取空白部分的一半，就是这个正方形的，剩下的空白部分也是这个正方形的，那么涂色部分，即，也可以
用“1”减去空白部分这来表示。往后又再取空白部分的一半，就是这个正方形的，剩下的空白部分也是正方形的，那么涂色部分，即，也可以用“
1”减去空白部分这来表示。以此类推，，也可以用1-来表示。这位同学借助图形为我们找到了简便算法，观察这些算式，你还有什么发现？有同
学发现了，涂色部分是用1减去空白部分来表示，那么空白部分又与算式中的最后一个加数是相等的。所以，求每个算式的结果，用1减去该算式中
最后一个加数即可。那么如果像这样的规律，无穷的加下去，结果会是多少呢？课件出示：计算+。有同学认为，照这样的规律，如果一直加下去，
算式的结果会越来越接近1。有同学认为，和越来越接近1，但不等于1。还有同学认为，和就是等于1的。虽然同学们的意见不一致，但通过刚才
的探究都发现了，这个算式的和是与1有关系的，那么这个算式的结果到底是多少呢？同学们不妨也借助图形来探究这个问题吧！来听听同学们的想
法！有同学也是借助刚才的正方形来分析的，把这个正方形看作整体“1”，把它平均分成2份，涂色部分和空白部分各占它的，所以。再把空白部
分的这平均分成2份，每份就是这个正方形的，所以，再把空白部分的这平均分成2份，每份就是这个正方形的，所以，像这样一层层分下去，空白
部分这，也就是算式中的第二个，又可以分成两个相加。按这样的规律继续分下去，是分不完的，能分无数个，没有尽头，所以我们可以用省略号
表示，出示：1=+，+这个算式是由1分出来的，那么+的结果就是1。图形帮助我们发现按照这样的规律加下去，和越来越接近1，数又帮助我
们通过推理得出和就等于1。看来数与形之间的关系真的很密切，数与形之间是互帮互助的！还有同学借助圆或者线段进行分析的，也得到了同样的
结论。从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就1。有些问题通过画图，解决起来更直观。三、回顾反思，畅谈收获我国的一位伟大的数学家——华罗庚先生，对数与形的关系是这样描述的：数缺形时少直观，形少数时难入微。看来，数与形真是一对有意思的好朋友，看到数我们要思考形的问题，看到形要多多的想数，数形结合是一种非常重要的思想，能帮助我们解决许多的问题。通过这节课的学习，相信同学们一定感受到了数形结合的魅力。希望同学们在数学的学习上也能像伟人一样努力奋斗，刻苦钻研，为祖国建设贡献自己的一份力量。课后同学们可以通过书籍或网络，收集一些有关数形结合的知识，丰富自己的思维。 |
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