第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5序列的Z变换Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变
换求解差分方程利用Z变换分析信号和系统的频响特性2.5.1Z变换及其收敛域的定义序列x(n)的Z变换定义双边Z变换单边Z变
换因果序列的Z变换:因果序列的单边Z变换与双边Z变换相同Z平面:Z变换定义式中z所在的复平面z是一个连续复变量，具有实部和
虚部变量z的极坐标形式|z|=1为单位圆：Z变换的收敛域收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集
合组成的区域。根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域收敛半
径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域序列Z变换与序列傅里叶变换关系对比傅里叶变
换定义式：得到：单位园上的Z变换就是序列的傅里叶变换，但z的收敛域必须包含单位圆。例:求序列的Z变换例2.5.3求序列
的Z变换。解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义分析收敛性：X(z)是无穷
项幂级数。当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为例:求序列的Z变换例
2.5.4求序列的Z变换。解：序列x(n)是一个左序列,X(z)存在要求2.5.2序列特性对收敛域的影响对比例2.5.
3和例2.5.4结果：结论：Z变换相同，收敛域不同，对应的序列也不同。序列的X(z)与其收敛域是一个不可分离的整体，求Z变换就要
包含其收敛域。例：求有限长序列的Z变换例2.5.2求序列的Z变换及收敛域。解：根据Z变换的定
义讨论：X(z)有一个z=1的极点，但也有一个z=1的零点，所以零极点对消，X(z)在单位圆上收敛。收敛域为0＜|z|
≤+∞。右边序列右边序列只在有限区间n≥n1内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换上式中第一项为有限长序列
，收敛域为，第二项为因果序列，收敛域为，共有收敛域为
。左边序列左边序列只在有限区间n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换
如果，z=0点收敛，但z=∞点不收敛，收敛域为如果，收敛域为双边序列双边序列指n从-∞
到+∞都具有非零的有限值，可看成左边序列和右边序列之和Z变换讨论：X1(z)收敛域为|z|＜Rx+；X2(z)收敛域为R
x-＜|z|。双边序列Z变换的收敛域是二者的公共部分。如果满足Rx-Rx+；如果满足Rx-≥Rx+，则X(z)无收敛域。有限长序列有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零的有限值，在此区
间外序列值都为零：Z变换收敛域与n1、n2取值情况有关：例：求双边序列的Z变换例2.5.5己知序列
，a为实数，求其Z变换及其收敛域。解：上式第一项收敛域为：上式第一项收敛域为：如果如果无公共收敛域，
不存在当时，x(n)和的图形如右图所示2.5.3逆Z变换逆Z变换:由
X(z)及其收敛域求序列x(n)的变换求逆Z变换的方法:围线积分法(留数定理)部分分式展开法幂级数法(长除法)图2.5.3围线积
分路径用留数定理求逆Z变换序列的Z变换逆Z变换c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线用F(z)表示被积函数：F(z)
=X(z)zn-1如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有式中,Res［F(z),zk］表示被积函数F(z)
在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。1、如果zk是单阶极点，则根据留数定理有2、如果zk是N阶极点，则根据
留数定理有逆Z变换对于N阶极点，需要求N－1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理
改求c外的所有极点留数之和。如果F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上的极点分成两部分：一部分c是内极点
，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，下式成立：成立的条件
:F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分别是M与N阶多项式。成立的条
件是N－M－n+1≥2因此要求n点留数之和，最后加一个负号。【例2.5.6】已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z变换x(n)。解
分析F(z)的极点：1、n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；2、n<0时，F(z)在c内只有2个极点：z1=a
,z2=0是一个n阶极点。所以，应当分段计算x(n)n≥0时，n<0时，z=0是n阶极点，不易求留数。采用留数
辅助定理求解，先检查n≤N-M-1是否满足。可以采用留数辅助定理求解，改求圆外极点留数，但对于F(z)，该例题中圆外没有极点。故
n<0,x(n)=0。最后得到该例题的原序列为x(n)=anu(n)事实上，该例题由于收敛域是|z|>a，根据前面分析的序
列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果序列，这样n<0部分一定为零，无需再求。本例如此求解是为了证明留数辅助定理法的正确性。
【例2.5.7】已知,求其逆变换x(n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z
)，有两个极点：z=a和z=a－1，这样收敛域有三种选法，它们是1（1）|z|>|a－1|，对应的x(n)是因果序列（
2）|z|<|a|，对应的x(n)是左序列（3）|a|<|z|<|a－1|，对应的x(n)是双边序列下面分别按照不同的收敛域
求其x(n)。（1）收敛域为|z|>|a－1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n<0时的x(n)。当n≥0时，
F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an－a-n)u(n)。（2）收敛域为|z|<|a
|:这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况。实际上，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n<0时，c内只有
一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n<0时,最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(a-n－an)u(－
n－1)（3）收敛域为|a|<|z|<|a－1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n<0
两种情况分别求x(n)。n≥0时，c内只有1个极点：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=ann<0时，c内极
点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n
最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|部分分式展开法对于大多数单阶极点的X(z)，常用部分分式展开法求逆
Z变换。方法：将有理分式X(z)，展开成简单常用的部分分式之和，求各简单分式的逆Z变换，再相加得到x(n)。假设
有N个一阶极点，可展成如下部分分式:部分分式展开法观察上式，/z在z=0的极点留数等于系数，在极点
的留数就是系数。求出系数后，查表2.5.1可求得序列x(n)最后得到的原序列为：2.5.4Z变换的性
质和定理１．线性：满足叠加原理Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)，R-＜|z|＜R+(2.20)
例2.12求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z变换。由于出现零极点抵消，收敛域增大了。由于x(n)是n≥0的有限长
序列，收敛域是除|z|=0之外的全部z平面。Z变换性质２．序列的移位：证明３．乘以指数序列：证明Z变换性质４．序列的线性加权
（乘以n的ZT）：证明5．复共轭序列的ZT设X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|X(z)Rx－<|z|明：x(n)是因果序列，有显然若x(n)是逆因果序列，即x(n)=0，n＞0，有Z变换性质－－终值定理７．终值定理：若
x(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z=1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则证明：由移位性质可得x(n)
是因果序列，则有Z变换性质８．时域卷积定理：W(z)=Z[x(n)y(n)]=X(z)·Y(z)，R-＜|z|＜R+
证明交换求和次序，并代入m=n-k得【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|<1,网络输入序列
x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解y(n)=h(n)x(n)（1）直接求解线性卷积（2）Z变换
法由收敛域判定y(n)=0n<0n≥0时，将y(n)表示为：Z变换性质9．复卷积定理如果ZT［x(n)
］=X(z)Rx－<|z|则（2.5.24）W(z)的收敛域为Rx－Ry－<|z|.25)（2.5.24）式中υ平面上，被积函数的收敛域为证明由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此W(
z)的收敛域为|a|<|z|≤∞；被积函数υ平面上的收敛域为max(|a|,0)<|υ|上极点：a、a－1，c内极点：z=a。令则：【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)
y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］，0＜a＜1。解Z变换性质10．帕斯维尔（Parseval）定理设X(z)
=ZT［x(n)］Rx－<|z|x+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理2.5.5利用Z
变换求解差分方程N阶线性常系数差分方程（2.5.30）a0=1x(n)是系统的输入序列y(n)是系统的输出序列ak和bk均为常
数y(n－k)和x(n－k)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，N阶线性常系数差分方程的求解时域求解（递推解）Z变换求解差分方
程输出序列Z变换移位性质逆Z变换解方程代数方程Z变换式1．求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y
(n)是稳态解，对（2.5.30）式求Z变换，得到：X(z)式中：2．求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始
条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始条件:y(－1),y(－2),,y(－N)。设-(n-m)（2.5.33）（2.5.30）（2.5.34）零状态解:上式第一部分(与系统初始状态无关)零输入解:上式第二部分(与输入信号无关)求零状态解时，可用双边Z变换求解也可用单边Z变换求解，求零输入解却必须考虑初始条件，用单边Z变换求解。Z变换求差分方程例2.5.11已知一个线性时不变系统的差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，设初始条件y(-1)=2，输入求系统的输出y(n)。解：于是零输入解和零状态解分别为， |
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