形式逻辑和数学逻辑的区别

( 本来是写成回答的，但是发现回答无法支持 Markdown 格式 Copy，于是又发成图文了！)

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问题：形式逻辑和数学逻辑有什么区别吗？

（遇到感兴趣的问题，小石头总是标记一下留在草稿箱里，于是积累的问题就会越来越多。已经很长时间注意力都在图文写作上了，但最近推荐量太低，实在打击写作热情。自己想一想：反正也没啥推荐，与其写要求最高的图文，还不如这段时间准备清一清之前积累的回答！）

（这个问题，从去年三月份左右小石头被邀请到现在，已经一年零三个月了，竟然没有一个人回答，估计大家不敢兴趣，但小石头觉得这是个好问题，感谢题主提问，接下来自己会认真回答的！）

A. 什么是形式逻辑？

逻辑学研究的对象是：可以区分正确推理和错误推理的方法和原理。那些独立于意义的、可以在形式上明确区分正确推理或错误推理的部分，就是形式逻辑，而除此之外的都是非形式逻辑。

演绎逻辑 ，例如，

大前提： 人都会死小前提： 苏格拉底是人 ────────────────结论： 苏格拉底会死

和 归纳逻辑 ，例如，

前提： 没有人见过黑天鹅────────────────结论： 世界上没有黑天鹅

是人类的两大逻辑推理模式。

其中 演绎逻辑 可以保证 从 前提 到 结论 的 有效性，故属于 形式逻辑，而 大部分归纳逻辑则不能，故 他们不属于 形式逻辑。

形式逻辑用三大律，确保推理的有效性，

• 同一律：推理过程中的任何思维形式必须保证确定性和一致性，即，A 是 A；
• 矛盾律：两个矛盾命题不能同时为真，即，非 'A 且 非A' ；
• 排中律：两个矛盾命题必要有一个是真，即， A 或 非A；

• 充足理由律：用于论证，论题的 论据 必须是 真实有效的，即，由 A 和 '若A则B' 可推出 B。

B. 什么是数学逻辑？

数学逻辑并不是一种逻辑类型，而是指：数学所包含的所有逻辑的总和。具体来说，数学逻辑有，

• 首先，数学使用的大部分的形式逻辑；

• 其次，形式逻辑不包含意义，而数学还使用部分与数学意义相关的逻辑；

• 最后，数学还反过来成为了研究形式逻辑的工具，也就是说数学会去研究逻辑。

也就是说，数学逻辑分为：数学使用的逻辑（前两者） 和 数学研究的逻辑（后者）。

数学的本质是，从公理（使用数学逻辑）推导出定理的过程。

C. 形式逻辑和数学逻辑之间的关系？

演绎逻辑，分为，古典逻辑 和 现代逻辑 两个流派，数学使用后者。

现代逻辑，具有自己的逻辑语言，

• 值：F 假，T 真；
• 运算：¬ 非，∧与，∨或， →蕴含，↔等价，⊤ 恒真， ⊥ 恒假；

• 量词：∃存在，∀全称；
• 模态词：□ 必然 ◇ 可能；
• 谓词：P(x), ...；
• 变量：x, y, ...;
• 兰姆达表达式：λx. P(x)；

同时，又分为很多子类，这些子类对逻辑语言的使用广度不同，如下图所示，

其中，（非模态的）一阶谓词逻辑（包括命题逻辑），被证明具有 可靠性 和 完全性（详见后文），所以被数学当做可靠的逻辑工具使用，也就是说，数学使用的逻辑包含 仅仅包含 现代逻辑 中的 一阶谓词逻辑。

反过来，现代逻辑 就是 以数学为工具 进行研究的，也称为 数理逻辑，所以说，现代逻辑 属于 数学研究的逻辑，也就是说，数学用了一部分可靠的 现代逻辑 为基础 研究了 整个 现代逻辑。

数学在一阶谓词逻辑的基础上，加入了 归纳逻辑 中的 完全归纳逻辑：

• 若谓词P(x) 满足，
• P(0) 成立；
• 对于任意 n∈ℕ，若 P(n) 成立，则 P(n 1) 成立；

则，对于 自然数集合 ℕ 中的任意元素 n，P(n) 都成立。

作为新的逻辑工具来使用，这称为 数学归纳法。

数学还发展了 概率论，于是 部分 不完全归纳逻辑 ，可用概率来表达 归纳推理的 可靠性后，就变成 统计归纳法，例如，

总体S的n个样本m个样本是 P剩下的个样本不是 P────────────────S有m/n的概率是P

这样，这部分归纳逻辑就成为了有一种数学工具，被数学（特别是统计学）广泛使用。而 科学归纳法 是对 不完全归纳逻辑 的科学使用，它只能作为 数学家 在研究数学时 的方式，不能作为逻辑工具被数学使用。

D.形式逻辑系统的具体定义是什么？

在一阶谓词逻辑基础上，我们用 L 表示一个逻辑系统使用的 符号的 总体，称为 一门 语言，例如：

• 群语言： L = {◦, e}

语言 L 中的 符号是抽象的，我们需要对它具体化，例如：

• 整数加法群：ℤ = {ℤ, , 0}

• 自然数乘法群：ℕ = {ℕ, × , 1}

这些成为 语言L的 结构。

同一个 L 语言的公式（即，命题） φ ，在 L 的不同结构中 可能 逻辑 真假不同。又设 Γ 语言 L 的公式组成的集合。对于任意 L的结构M，若 Γ中的所有公式在M中为真，则 φ 在M中一定为真，我们称 Γ 重言蕴含 φ，记为 Γ ⊨ φ。

一阶谓词逻辑的 推演系统 PF，包括：

• 一组一阶谓词逻辑公式，称为 推演公理，记为 Λ ，例如：A → (B → A)；
• 一组推理规则，例如：分离规则 A∧(A→B) ⇒ B （充足理由律）；

对于 Γ 和 φ，若 存在 一组 公式序列 a₀ a₁ a₂ ... aᵣ=φ，满足 ：

• aᵢ ∈ Γ ∪ Λ ；

或

• aᵢ 由 aᵤ, aᵥ（u, v < i） 经过 推理规则 得到；

则称 φ 是 Γ 的 定理， Γ 是 公理。

E.数学系统的逻辑缺陷是什么？

我们在之前已经说过，一阶谓词逻辑具有 可靠性 和 完全性，因此被数学逻辑所使用。

• 可靠性 是说，一个公理系统 Γ 的任何定理 φ 都是 Γ 重言蕴含，即，若 Γ ⊢ φ 则 Γ ⊨ φ；

• 可靠性的逆命题，任意 Γ 重言蕴含 φ 都是 Γ 的定理 ， 就是 完全性，即，若 Γ ⊨ φ 则 Γ ⊢ φ；

后者被哥德尔首先证明，称为哥德尔完全性定理。

但是，这只是 一阶谓词逻辑系统，而数学逻辑系统，又加入了 完全归纳逻辑，由前面的定义看出，这是建立在 算术系统之上的，因此，这要求 数学必须先加入 算术系统 ℕ ，这就出现了问题。

对于由 L语言 公式组成的公理系统 Γ ，

• 一致性（自洽性）：若 存在公式 φ ，同时有 Γ ⊢ φ 和 Γ ⊢ ¬ φ，则称 Γ 是不一致的，否则 称 是一致的 ；（满足 矛盾律）

• 完全性（完备性）：对于 任何 公式 φ ，总有 Γ ⊢ φ 或 Γ ⊢ ¬ φ，则称 Γ 是 完全的，否则 称 不完全的；（满足 排中律）

而哥德尔证明了，哥德尔第一不完全性定理：

• 含有 ℕ 的 Γ 不能同时保证 一致性 和 完全性；

于是，数学只能牺牲 完全性 而 让位于 一致性，但是遗憾的是，

哥德尔同时又证明了，哥德尔第二不完全性定理：

• 一致系统 Γ 的 一致性 不能在Γ内被证明；

这就是数学系统的两大逻辑缺陷。

第一个缺陷告诉我们，数学永远不可能搭建一个可以证明任何命题的公理系统，哥德巴赫猜想很可能是当前数论系统的不完全实例。

第二个缺陷告诉我们，对于公理系统的 一致性，我们只能在没有发现矛盾时，被迫承认。

再回到最初，让我们看看，数学逻辑 对于 形式逻辑 的 四大律 的支持：

• 同一性：完全支持，数据概念是精确的；
• 矛盾律：支持，但无法证明支持（第二不完全性定理）；
• 排中律：大部分情况支持，存在不支持的可能（第一不完全性定理）；
• 充足理由律：数学是从 公理 到 定理 的 演绎推导 过程，在这个过程中完全支持，但是，数学无法 给出 公理 正确性 的 论据。严格的来说，演绎的前提，必须 归纳得到，公理的 归纳 不是 完全归纳法，其可靠性是一个 概率，数学不能无法保证其值是1，而且公理的正确性来自（数学之外的）实践。

所以说，数学逻辑是有限的支持形式逻辑的四大律的。

虽然，完全归纳法的引入，给数学引起了不小的麻烦，但是数学确实离不开这个逻辑，所以也就只能这样了。

F. 数学逻辑有哪些演变？

演变1：

数学 将 概率本身 直接 作为逻辑工具的一部分使用，开创了一个新的数学分支—— 模糊数学， 概率 可认为是 模态词 的 数学化，于是 模糊数学 可认为纳入了 模态逻辑 的数学 。

演变2：

无穷是数学中引入的一个逻辑概念，对于 无穷 有两种认识：

• 潜无穷：认为 无穷是一个 变化过程，而非数学对象，以此建立了 标准分析；
• 实无穷： 认为 无穷是一种 对象，以此建立了 非标准分析；

而 集合论 也是 实无穷 思想的体现。

演变3：

有一部分数学家，认为数学是一种构造，称为直觉主义。而，反证法：

• 由 Γ 证明 φ 比较难，于是 将 ¬ φ 加入 Γ 中，组成 Γ' = Γ ∪ {¬ φ}，然后找出 Γ' 的不一致性，这样就说明，¬ φ 与 Γ 不兼容，¬ φ 不是 Γ 的定理， Γ ⊢ ¬ φ 不成了， 然后 排中律，得出 Γ ⊢ φ 成立。

的证明 并没有，从 Γ 构造出 φ，因此 被 直觉主义 否认。直觉主义 将 排中律 从形式逻辑中拿掉，从而 建立的 直觉逻辑。

G. 如何学习形式逻辑和数学逻辑？

数理逻辑 就是用 数学的方法来研究 形式逻辑，而在 数理逻辑之前，人们使用 传统的 哲学方式来研究 形式逻辑，这称为 经典逻辑。

早期，与经典逻辑，同时出现的 还有 印度的 因明 和 中国的 名/墨辩，但时间进入 19 世纪 中叶，数理逻辑 的出现，标志着 形式逻辑 从 传统 走向 现代，而 因明 和 名辩 至今并没有 长足发展。黑格尔的辩证逻辑，虽然 和 传统逻辑有少部分重合，但它也没有进入现代化。

学习 《数理逻辑》需要很好的数学基础，这就把很多人拒之门外，为了让更多的人学习形式逻辑，逻辑学家，尽量 去除 现代形式逻辑 中 数学部分，得到了 《普通逻辑学》 比较基础 和 数学关系不大。《普通逻辑》（或《逻辑学》）是 形式逻辑的入门 教材，以经典逻辑为主要内容，包含一些数理逻辑 的初期的结论（以哲学方式来论述）。由于学习 数理逻辑 需要很好的数学基础，所有 这样编写教材的好处是，不至于把文科生拒之形式逻辑的大门外。

虽然，理科生的 形式逻辑入门教材 是 《离散数学》，其中包括 数理逻辑，但是 看看《普通逻辑》依然有好处。

这里必须吐槽一句：有些辅导机构，以中国没有单独的开设逻辑学课，来抹中国基础教育，从而达到销售其课程的目的，的作法，是非常不厚道的。实际上，数理逻辑，在 高中数学 中 就引入了，而 从小学 开始 语文 就 潜移默化 的 培养 孩子 的 传统逻辑 能力了。

当然，不管是 文科 还是 理科，要研究形式逻辑，最终都要去 啃 像《数理逻辑教程》这样，砖一样的书，因为数理逻辑是 现代形式逻辑的 唯一形式。

《数理逻辑》主要包括：《公理集合论》《证明论》《模型论》《递归论》，今年来也加入了 《范畴论》的支持。

其实，数学逻辑 也可以指 数学思维，那么就包括：逻辑推理、数字计算、结构搭建、空间想象、概念抽象、... 等 多种思维能力。这其中只有 逻辑推理 和 形式逻辑 直接相关，算是 形式逻辑 的应用，所有大家不要仅仅将眼光集中在形式逻辑上！

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（最后，小石头用 图对以上 回答 进行总结，希望大家能喜欢，感谢各位阅读！）

逻辑学-形式逻辑-数学逻辑 概貌