R版九年级上第二十一章一元二次方程21．2解一元二次方程第5课时因式分解法解方程1．【中考·山西】我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，
可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝
2.这种解法体现的数学思想是()A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想A2．用因式分解法解方程，下列过程正确的是
()A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1C．(x
－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0A3．【2019·扬州】一元二次方程x(x－2
)＝x－2的根是_______________．x1＝2，x2＝14．【2019·十堰】对于实数a，b，定义运算“”如下：a
b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)(m－3)＝24，则m＝________.－3或45．【2019·怀化】一元二次
方程x2＋2x＋1＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝－1
D．x1＝－1，x2＝2CC7．【2019·内江】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，
则此三角形的周长是()A．16B．12C．14D．12或16【点拨】解方程x2－8x＋15＝
0，得x＝3或x＝5，若腰长为3，则三角形的三边长为3，3，6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5，5，6，此时三
角形的周长为16.故选A.【答案】A8.【2019·通辽】一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8
，则该菱形的面积为()A．48B．24C．24或40D．48或80【点拨】∵(x－5)(x－3)＝0，∴x1＝3，x
2＝5.∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5.∴菱形的另一条对角线为6.∴菱形的面积为24.【答案】B9．解方程(5x－1)2
＝3(5x－1)的最适当的方法是()A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法D①④⑥③⑤②11．【2018·齐齐哈尔
】解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．【点拨】解方程时千万不能将方程两边同时除以x－3，否则方程会漏掉一解．12．已知x为实数，
且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为()A．1B．－3C．－3或1D．－1或3错解
：C诊断：设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0，分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y2＝1.当
y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实数x是否存在而
错选C.正解：A13．解下列方程：(1)【2019·无锡】x2－2x－5＝0；(3)x2－8x＋4＝0.14．【中考·湘潭】由多项
式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋
b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试：
分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；24(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.【点拨】阅读材
料，用类比法确定a，b的值，从而用因式分解法解方程．解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0
，∴x1＝－1，x2＝4.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现
了转化的数学思想；换元16．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．(1)求a的值及方程的另一个
根；解：将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程，得
x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)一个三角形的三边长都
是此方程的根，求这个三角形的周长．解：∵三角形的三边长都是这个方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为
9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．综上，三角形的周长
为3或9或7.6．【中考·凉山州】若关于x的方程x2＋2x－3＝0与＝有一个解相同，则a的值为()A．1B．1或－3C．
－1D．－1或310．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．①2(x－1)2＝6；②(x－2)2＋x2＝4
；③(x－2)(x－3)＝3;④x2－2x－1＝0；⑤x2－x＋＝0;⑥x2－2x－98＝0.(1)直接开平方法：____
________；(2)配方法：________________；(3)公式法：________________；(4)因式分解法
：____________．解：移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0.整理，得(x－3)(2－3x)＝0.x－3＝0或2－3x
＝0.解得x1＝3，x2＝.解：x2－2x－5＝0，(x－1)2＝6，∴x1＝1＋，x2＝1－.解：x2－(＋)x＋＝0，(x－)
(x－)＝0，∴x1＝，x＝.(2)x2－(＋)x＋＝0；解：x2－8x＋4＝0，x2－8x＋16＝12，(x－4)2＝12，x
－4＝±2，∴x1＝4＋2，x2＝4－2.15．阅读材料：为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作
一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2
，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.(2)请利用以上知识
解方程：－＝1.【点拨】本题运用了换元法和整体思想，先设＝y，原方程可以化为y－＝1，解方程求出y的值，再代入＝y就可以求出x的值
．解：设＝y，则原方程可化为y－＝1，解得y1＝－1，y2＝2.经检验，y1＝－1，y2＝2都为方程y－＝1的解．当y＝－1时，＝－1，∴x2＋x＋1＝0，∵Δ＝1－4＝－3<0，∴＝－1无实数解；当y＝2时，＝2，∴2x2－x－1＝0，∴x1＝－，x2＝1.经检验，x1＝－，x2＝1是方程＝2的解．∴原方程的解为x1＝－，x2＝1. |
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