第二十四章圆24．1圆的有关性质第2课时垂直于弦的直径1．【2019·泰安】下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是()A．①②B
．②③C．②④D．③④A2．下列说法正确的是()A．直径是圆的对称轴B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆
的对称轴D．与半径垂直的直线是圆的对称轴B3．【2018·张家界】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD
＝8cm，则AE＝()A．8cmB．5cmC．3cmD．2cmAB【答案】C6．【2019·嘉兴】如图，在
⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．C8．【2019
·广西北部湾经济区】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《
九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面
图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸．2610．如图，AB是⊙O的直
径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE，其中，一定正
确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个错解：D诊断：根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为CD不一定平分OB，所
以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特殊，因而误认为CD平分OB.正解：C11．【中考·湖州】已知
在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB
的距离为6，求AC的长．12．如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12.(1)
求线段OD的长；(2)求⊙O的半径．14．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型
运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越
大．若一辆重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；解：如图，过
点A作AD⊥ON于点D.∵∠NOM＝30°，AO＝80米，∴AD＝40米，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．4．【2018·遂宁】如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦
AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是()A．5B．6C．7D．85.【2019·梧州】如图，在半
径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是()A．2B．2C．2D．4【点拨】如图，
过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE.则CF＝DF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG－AE＝3－1＝
2.在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG.∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2.∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°.∴O
F＝OE＝.在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2.【点拨】连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝
，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，∴CD的最大值为＝AB＝×1＝.【答案】7．如图，△ABC
的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为()A.B．3C．2D．49.【2019·德州
】如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝BF，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为________．【点拨】连接O
A，OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OA＝r，在Rt△O
AE中，32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，∵AB＝BF，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2＋OG2＝52，①在
Rt△ABG中，AG2＋(5－OG)2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝.【答案】解：如图，连接OA，OC
，由(1)可知，OE⊥AB，∵圆心O到直线AB的距离为6，∴OE＝6.∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8.∴AC＝AE－CE＝8－2.解
：如图，连接OB.∵OD过圆心，且D是弦BC的中点，∴OD⊥BC，BD＝BC＝6.在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2
＝BO2，∴OD2＋62＝82，∴OD＝2.(2)当EO＝BE时，求ED的长．解：设BE＝x，则EO＝x，ED＝6－x.在Rt△
EOD中，由勾股定理得OD2＋ED2＝EO2，∴(2)2＋(6－x)2＝(x)2.解得x1＝－16(舍去)，x2＝4.∴ED＝2.
13．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.(1)求AB的长；解：连接AC，∵CD为⊙O的
直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB，∴AB＝BC＝2.解：由(1)知AB＝BC
＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，易知AF＝，可求得OA＝2，即⊙O的半径为2.解：由题意可知
，如图，以A为圆心，50米长为半径画圆，分别交ON于B，C两点，连接AB，AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC.在Rt△ABD中
，AB＝50米，AD＝40米，由勾股定理得BD＝＝＝30(米)，故BC＝2×30＝60(米)．∵重型运输卡车的速度为18千米/时，即＝300(米/分)，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300＝0.2(分)＝12(秒)．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒． |
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