R版九年级上第二十四章圆24．1圆的有关性质第4课时圆周角和圆心角、弧的关系1．【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是()C︵2
．如图，图中的圆周角共有______个，其中AB所对的圆周角是_________，CD所对的圆周角是__________．4︵∠C
与∠D∠A与∠BC︵4．【2019·吉林】如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB上一点，∠AOP＝55°，则
∠POB的度数为()A．30°B．45°C．55°D．60°︵B5．【2019·赤峰】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥A
B交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°【
点拨】如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°.∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴AC＝BC.∴∠AOC
＝∠BOC＝60°.︵︵【答案】D6．【2019·宜昌】如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A．
50°B．55°C．60°D．65°A︵︵7.【2019·贵港】如图，AD是⊙O的直径，AB＝CD，若∠AOB＝40
°，则圆周角∠BPC的度数是()A．40°B．50°C．60°D．70°︵︵【点拨】∵AB＝CD，∴∠COD＝∠AO
B＝40°.∴∠COB＝100°.∴∠BPC＝50°.【答案】B8．【2019·柳州】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠
A相等的角是()A．∠BB．∠CC．∠DEBD．∠DD9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下
列结论错误的是()A．AD＝DCB．AD＝DCC．∠ADB＝∠ACBD．∠DAB＝∠CBAD︵︵【答案】A11．如图，在⊙
O中，弦AB⊥弦CD于点E.求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.【点拨】利用圆周角定理可使问题转化，如本题中，利用圆周角定理，可把
证明“∠BOC＋∠AOD＝180°”转化为证明“∠BAC＋∠ACD＝90°”，而证明后者，利用“直角三角形的两锐角互余”即可轻松解
决．证明：连接AC，因为圆周角∠BAC与圆心角∠BOC同是BC所对的角，所以∠BOC＝2∠BAC.因为圆周角∠ACD与圆心角∠AO
D同是AD所对的角，所以∠AOD＝2∠ACD.在Rt△ACE中，∠BAC＋∠ACD＝90°，所以∠BOC＋∠AOD＝2∠BAC＋2
∠ACD＝2(∠BAC＋∠ACD)＝2×90°＝180°.︵︵12．【2019·自贡】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝
CD，连接AD，BC.求证：(1)AD＝BC；︵︵证明：∵AB＝CD，∴AB＝CD，即AD＋AC＝BC＋AC.∴AD＝BC.︵︵︵
︵︵︵︵︵(2)AE＝CE.︵︵证明：∵AD＝BC，∴AD＝BC.∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE(
ASA)．∴AE＝CE.13．【中考·台州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD
＝39°，求∠BAD的度数；解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39
°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.(2)求证：∠1＝∠2.证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.而∠
CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
14．【中考·德州】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状：_
_____________；等边三角形(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；解：PA＋PB＝PC.理由：如图
①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.∵∠APC＝60°，∴△PAD是等边三角形．∴PA＝AD，∠PAD＝60°.∵∠BAC＝60
°，∴∠PAD＝∠BAC.∴∠PAB＝∠DAC.又∵AB＝AC，∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC.∵PD＋DC＝PC，∴PA＋P
B＝PC.︵(3)当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．︵解：当点P为AB的中点时，四边形APBC的
面积最大．如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵△ABC是等边三角形，∴点F为AB的中点，且CF过
圆心O.︵3．【2019·白银】如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是()A．22.5°
B．30°C．45°D．60°10．【2019·眉山】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝
6，CD的长为()A．6B．3C．6D．12【点拨】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE.∵∠A＝22.5°，∴易得∠C
OE＝45°.∴∠OCE＝45°＝∠COE.∴CE＝OE.∵OC＝6，∴由勾股定理得CE＝3，∴CD＝6，故选A.本题容易忽视勾股
定理的应用而致错．∵S△PAB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．当点P为AB的中点时，点E与点F重合，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径．∴此时四边形APBC的面积最大．易求得AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝. |
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