R版九年级上第二十四章圆24．2点和圆、直线和圆的位置关系第3课时直线和圆的位置关系——切线的判定和性质1．下列四个命题：①与圆有公共点
的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径端点，且垂直于此直径的直线
是圆的切线．其中是真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．①④C2．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE
⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DOB．AB＝ACC．CD＝DB
D．AC∥ODAD4.【2019·包头】如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝
90°.若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．【点拨】连接OC，过点O作OE⊥AB于点E.由题
意可得四边形OEAC为矩形，∴AC＝OE，OC＝AE.根据勾股定理可求解．A6．【2019·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙
O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°B7．【2019·福建
】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于()A．55°B．70°C
．110°D．125°B8．【2019·泰安】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线
于点P，则∠P的度数为()A．32°B．31°C．29°D．61°A【答案】A10．【中考·嘉兴】如图，△ABC中，
AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为()A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
【答案】B11．【2019·雅安】如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE
的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DC是⊙O的切线；证明：如图，连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠A
CB.∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE
.又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD.∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠D
BO＝90°，即OC⊥DC.∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．12．【2
018·临沂】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证：AC是⊙O
的切线；证明：如图，连接OD，OA，作OF⊥AC于F，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.而OF⊥AC，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线．13．【2019·常德】如图，⊙O与△ABC
的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若BD＝4，
EC＝6，求AC的长．解：∵BD＝4，EC＝6，∴OD＝3，∴OB＝5，∴BE＝2，∴BC＝BE＋EC＝8.设AD＝AC＝y，在R
t△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴(4＋y)2＝y2＋82，解得y＝6，∴AC的长为6.14．【中考·宜昌】已知，四边形AB
CD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，B点在⊙O上，连接OB.(1)求证：DE＝OE；证
明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD＝90°.∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠
COD，∴DE＝OE.(2)若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．解：∵OD＝OE，DE＝OE，∴OD＝DE＝OE，∴△ODE
是等边三角形，∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，∴∠2＝∠1＝30°.∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，∴OA＝OB＝DE＝
EC.∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴△ABO≌△CDE，∴AB＝CD，3．如图，AB是⊙O的
直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是()①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B
；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．A．1B．2C．3D．4【答案】25．【2018·哈尔滨】如图，点P为⊙O外一点，
PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为()A．3B．3C．6D．99
.【2019·贺州】如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝O
D，AB＝12，则CD的长是()A．2B．2C．3D．4【点拨】由切线的性质得AC⊥OD，由AD＝OD可得AO＝2OD，
∠A＝30°，∴AB＝3OD＝12，∴OD＝4，AD＝4.由BD平分∠ABC可得OD∥BC，∴∠C＝90°.∴BC＝6.∴AC＝6
.∴CD＝2.【点拨】如图，设切点为D，连接CD.∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB.∴S△ABC＝AB·CD.在△ABC中，∵A
B＝5，BC＝3，AC＝4，∴AC2＋BC2＝42＋32＝52＝AB2.∴∠ACB＝90°.∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD
.∴CD＝＝＝2.4.∴⊙C的半径为2.4，故选B.解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△A
OC是等边三角形．∴∠COF＝60°，∴∠F＝30°.∴OF＝2OC＝8.∴CF＝4.解：设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r.则
OB＝r＋1.在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，∴r2＋()2＝(r＋1)2，解得r＝1，∴OD＝1，OB＝2，∴∠B＝3
0°，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝30°，(2)若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积．在Rt△AOD中，设AD＝x，则AO＝2
x，根据勾股定理有AD2＋DO2＝AO2，即x2＋12＝(2x)2，求得x＝(负值舍去)，∴AD＝.在Rt△AOD和Rt△AOF中
，OD＝OF，OA＝OA，∴Rt△AOD≌Rt△AOF.∴∠AOD＝∠AOF＝30°，S△AOD＝S△AOF，∴∠DOF＝60°.
∴阴影部分的面积＝2S△AOD－S扇形ODF＝2××1×－π×12×＝－.证明：如图，连接OD，CD，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠
ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°.在△AOD和△AOC中，∴△AOD≌△AOC(SAS)，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线．∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠DAE＝∠DOE＝30°，∴∠1＝∠DAE，∴CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形． |
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