人教版八年级第9讲等腰直角三角形和直角三角形培优训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号
：___________1．如图，在中，，的角平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于点，．过点作交的延长线于点，交的延长
线于点，连接并延长交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．如图，在中
，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点．则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（）．A．①②③B．①
②④C．①③④D．①②③④3．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD
相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF＝AC；（2）求证：CE＝BF．4．已知：在△ABC中，
AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求
证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．5．已
知是线段上一点，和都是等腰直角三角形，．（1）如图①，连接，点，分别是，上一点，且，，探索，，之间的数量关系，并说明理由．（2）如
图②，延长，交于点，连接，于点，连接，与相交于点，，延长到点，使得，探索，的关系，并说明理由．6．在中，，，为线段上一点，，垂足为
点，和交于点，过点作的平行线交于点，连接．（1）若点在线段上（如图①），求证：．（2）若点在的延长线上（如图②），求证：．7．以的
两边，为腰向外作等腰，等腰，，连接，是的中点．当为直角三角形时，与的位置关系及数量关系．8．如图，在中，，，平分交于点，于点，于
点，连接．则下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．49．如图①，在等腰三角形中，，，点在上，
，垂直于直线于点．（1）求的度数．（2）求证：．（3）如图②，若点是的中点，请直接写出，，三条线段之间的数量关系．10．在平面直角
坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．（1）求证：．（2）如图①，沿直线翻折得到，将绕点旋转到处，连接，作平分交于点，连接，
求的度数．（3）如图②，若，于点，且满足，试求线段的长度．参考答案1．A【解析】【分析】（1）根据三角形的外角定理及角平分线的性质
即可判断①；根据直角的关系证明，即可判断②；根据，得到，，即可判断③；根据为等腰直角三角形，得到，又得到，故可判断④的正确性.【详
解】平分，平分的外角，，故①对。，。又，，，，故②对。易证，，，，，故③对。由②知为等腰直角三角形，，，又，，，故④错。【点睛】此
题主要考查全等三角形的综合，解题的关键是熟知直角三角形性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质.2．D【解析】【分析】①根据角
平分线的性质与平角的性质即可判断；②易证证，即可判断；③证明即可判断；④过点作于点，于点，得到，故可判断.【详解】，分别为，的平分
线，，，故①对。，，∴∠F=∠BAP∴，，故②对。由②可知，，，故③对。过点作于点，于点，又，，点在的平分线上，故④对故选D.【点
睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质及全等三角形的判定.3．（1）详见解析；（2）详见解析.【解
析】【分析】（1）利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得
出CE=AE=AC，再由BF=AC，利用等量代换即可得结论.【详解】（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角
形，∴BD=CD，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠CDA=90°，∠BEC=∠BEA=90°，∴∠DBF=90°-∠BFD
，∠DCA=90°-∠EFC，又∵∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，，∴Rt△DFB≌Rt
△DAC（ASA），∴BF=AC；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，∴Rt△BEA≌
Rt△BEC（ASA），∴CE=AE，∵CE+AE=AC，∴CE=AC，又由（1）知BF=AC，∴CE=BF.【点睛】本题考查了等
腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关的判定定理与性质定理是解题的关键.4．解：（1）
见解析（2）见解析．【解析】【详解】解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BC
D=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=
90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG，（2）BE=CM，证明：∵CH⊥HM，
CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=4
5°，在△BCE和△CAM中，∴△BCE≌△CAM，∴BE=CM．5．（1），理由见解析；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1
）在上截取，连接，证得，得，故，证得，得到，即可得到结论；（2）利用直角的性质得到，求得，证得，即可得到结论.【详解】.（1）。理
由如下：在上截取，连接，∵，EC为公共边，∴，，，，（2），理由如下：，，，，。，，即，，，，【点睛】此题主要考查全等三角形的判定
与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.6．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出∠3=∠4，∠1
=∠2，根据ASA推出△ACH≌△BCD，推出CH=CD，∠H=∠CDB，根据SAS推出△CHF≌△CDF,推出∠H=∠CDF即可
；（2）求出∠3=∠4，∠1=∠2，根据ASA推出△ACH≌△BCD，推出CH=CD，∠H=∠CDB，根据SAS推出△CHF≌△C
DF,推出∠CHF=∠CDF即可；【详解】（1）∵在中，，，∴∠BAC=∠ABC=45°，∠ACH=90°，∵CF∥AB，∴∠4=
∠BAC=45°，∠3=∠ABC=45°，∴∠3=∠4在Rt△ACH中，∠1+∠H=90°，在Rt△BEH中，∠2+∠H=90°，
∴∠1=∠2，又AC=BC，∴，∴，。，，又，，，。（2）∵在中，，，∴∠BAC=∠ABC=45°，∠ACH=90°，∵CF∥AB
，∴∠4=∠BAC=45°，∠3=∠ABC=45°，∴∠3=∠4在Rt△ACH中，∠1+∠ADE=90°，在Rt△BEH中，∠2+
∠ADE=90°，∴∠1=∠2，又AC=BC，∴，∴，，，，又，，，，【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是数轴
全等三角形的判定定理.7．，，理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AM到G，使MG=AM,连接BG,则四边形ABGC是平行四边形
，再结合已知条件证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA,再延长MG交DE于H，因为∠
BAG+∠DAH=90°，故∠HDA+∠DAH=90°,得到AM⊥ED.【详解】延长AM到G，使MG=AM,连接BG,则四边形A
BGC是平行四边形，再延长再延长MG交DE于H，∴AC=BG,∠ABG+∠BAC=90°又∠DAE+∠BAC=180°，∴∠AB
G=∠DEA∵AE=AC=BG，∴△DAE≌△ABG∴DE=2AM,∠BAG=∠EDA,再延长MG交DE于H，∵∠BAG+∠DA
H=90°，∴∠HDA+∠DAH=90°,∴AM⊥ED.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线
进行求解.8．D【解析】试题分析：过E作EQ⊥AB于Q，∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，∴CE=EQ，∵∠ACB=90°，A
C=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ⊥AB，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ，∴∠QEB=45°=
∠CBA，∴EQ=BQ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴①正确；作∠ACN=∠BCD，交AD于N，∵∠CAD=∠CAB=22.5
°=∠BAD，∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，∴∠DBC=∠CA
D，∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，∴△ACN≌△BCD，∴CN=CD，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90
°，∴∠CND=∠CDN=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，∴AN=CN，∴∠NCE=∠AEC=67.
5°，∴CN=NE，∴CD=AN=EN=AE，∴②正确，③正确；过D作DH⊥AB于H，∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠MCD=∠DBA，∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，∴DM=DH，在△DCM
和△DBH中∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，∴△DCM≌△DBH，∴BH=CM，由勾股定理得：AM=AH，
∴，∴④正确；故选D．考点：1.等腰直角三角形；2.三角形内角和外角性质；3.全等三角形的判定与性质；4.直角三角形斜边上的中线．
9．（1）22.5°；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）过点作于点，先证
，再得到，即可求解；（3）延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，证明，即可进行求解.【详解】（1），且，。，。。（2）过点作于点
，∵AD=AC,∴∵∠FAD+∠ADF=90°=∠ACD+∠DCB∴∠FAD=∠ECB，又AD=CB,⊥∴，，。（3）。延长至点
，使，连接，延长至点，使，连接∵∠DCO=67.5°-45°=22.5°=∠G，∠F=∠CBA=22.5°，∠DCB=90°-∠A
CD=22.5°，∴∠G=∠F，∠GCD=∠FCD，又CD=CD∴，【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题
意作出辅助线进行求解.10．（1）证明见解析；（2）90°；（3）6.【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性即可求出a,b的
值，即OA=OB，即可求证；（2）过点作于点，于点，设，则，求出∠DNA=45°，设，易证。设，则，进而求出∠BNA的度数；（3）
过点作的延长线于点，在的延长线上截取，易证，再证，设，则，由，列出方程解出x即可.【详解】（1）依题意有，。（2）如图①，过点作于
点，于点，，设，则，，，设，∵∠OBC+∠DOA=90°=∠DOA+∠AOD,∴∠OBC=∠AOD,又BO=OA∴。设，则。，又，。（3）如图②，过点作的延长线于点。在的延长线上截取，∵AF=AO∴，∴AG=AE∵∴∠DAG=∠DAO+∠GAO=∠DAO+∠EAF=45°=∠EAD∴，设，则。，，解得，线段的长度为，【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。试卷第1页，总3页答案第1页，总2页试卷第1页，总3页答案第1页，总2页 |
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