 又到  2022 五月五日午 送君一枝艾 又到端午艾叶香，全国人民吃粽忙。我说甜粽加糖香，你说咸粽云腿王。作为数学人的你，今天吃的粽子是咸？是甜？ 是什么形状？ 发自灵魂的好奇之问了哈哈。问君粽子是甜是咸？ 肯定会掀起一场激烈的口水战。 可问君粽子几何形状？ 大体回答有：竹筒形、长方形、圆锥形、金字塔形、三角形等。但是最常见的还是“四角粽子”，也就是四面体形状的粽子，接下来我们就从数学中的几何角度，来解析一下粽子形状的门道。  四面体在现实生活中不太常见，仅仅听名字也难以想象它的形状，其实它还有个更容易被接受的名字——三棱锥。所有三棱锥都有六条棱，四个顶点、四个面，每个面都是三角形，每个三角形面都与一个角相对，底面是正三角形，其他三个面相等（一定是等腰三角形）的三棱锥，被称为正三棱锥，如果底面和其他三个面完全相等，此时四个面一定都是正三角形，那么这就叫做正四面体。 那粽子为啥包成是这个形状呢？  数学人会说：三角形最具有稳定性。 吃粽人会说：三角形粽子能一口吃到馅！ 哈哈，其实吃粽人、数学人专门研究了粽子的形状，并从实用的角度分析了其形状的原因。 用少量的材料就可以做出来。 各地包粽子材料不太一样，但大体都是植物的叶子，叶宽而长韧，但毕竟叶子来源自然生产“散漫”，于是宽度有限。三角形包法只用一片叶子或二片叶子就能包成，而长方形大概就要的三四片叶子。 形状比较合理 三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形。包法简单，表面积大，容易煮熟。 关于粽子形状还有个传说： 最开始，人们纪念屈原，都是直接将米投入河中，后来有人得到屈原托梦说米都被鱼鳖吃掉了，于是人们就想到用粽叶将米包好，包出棱角像菱角一样，鱼鳖就不会吃了。这样做后，屈原托梦说谢谢他。久而久之，这种包法就流传下来了。 无论是从实用角度还是传说来看，很容易明白粽子包成三角形状的由来。 数学人的思考粽子做成正四面体有什么好处？ 长方体、立方体等平行六面体，切下一个角都可以构成四面体。 但是为什么大多数人都不把粽子做成长方体，而是做成有些奇怪的四面体呢？ 首先，不同于平行六面体的不稳定性（例如立方体框架可以左右摇晃），四面体的神奇性质非常稳定，只要确定六条棱的长度，就能拼出一个唯一的四面体。因此四面体的粽子不容易变形。预示人们追求生活的和平与身心安康的稳定！ 四角粽子虽然不一定是正四面体，但通常四个面也是相同的等腰三角形，将这个四面体的表面积拆开，可以得到两个相等的菱形，这就意味着用两片相似的细长叶子，正好可以将其包裹住，做到了物尽其用！吃粽子预示着能人尽其才，物尽其用，各得其所。 正四面体还有个特点，就是拥有四条三重旋转对称轴，六个对称面，每两条对边都是相互垂直的，这就表明，不管在容器中怎样摆盘，粽子们看上去都是整整齐齐的平躺着，不会给人横躺侧卧的感觉，预示吃粽子，则无论如何折腾，人们都象粽子一样，昂首站立永远不倒。  正三棱锥还有一个重心，同时也是它的外接球体和内切球体的球心，就在顶点与底面重心的连线（高）上，将这条高分为3：1，也就是距离地面四分之一处。所以说，如果用牙签或筷子将粽子扎起来，找准这个点，就最能保证受力均匀，不容易掉下或者碎裂。预示着吃过粽子，来年怎么折腾，人们都不会损坏 ！  粽子从外观上看，不太容易看出它的体积。虽然四面体的体积和圆锥形一样，是三分之一的底面积乘以高，但底面积和高也是不容易拿着直尺就测出来的。 阿基米德测王冠体积的“排水法”当然可以帮您快速地测出体积，但显然操作起来非常麻烦，要准备的材料包也不是太常见，而且粽子湿了之后，剥皮仿佛会更麻烦一些。  其实，对于数学人来说，这时候用到一个特殊的公式，只要知道六条棱的长度，就能知道四面体的体积。这个公式名字叫海伦—秦九韶公式。 这个公式由古希腊和古中国两位数学家分别发现的。 公式的第一位发现者，传说是古希腊是海伦二世。古希腊西西里岛（现属于意大利）上的锡拉库萨（又译为叙拉古）城邦国的国王，同时也是一位数学家、测量学家和机械工程师。他在著作《度量论》中就提到了用三角形的三条边求其面积的公式。此书曾经一度失传，直到1896年，有人在君士坦丁堡发现了它的手抄本，并在1903年出版。但是五年后的1908年，就有人提出，这条公式其实是阿基米德发现的，只是假托海伦国王的名字，不过还没有证实。  （海伦的公式） 不管在古希腊是哪位发现了这个公式，在中国1247年的南宋时期，数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”，主要用来测量三角形的土地面积，和海伦公式基本相同，只是证明方法不太一样。这个公式是S等于  （秦九韶的公式） 但是，无论是海伦还是秦九韶得公式都是用来算面积的，要想算体积还需要进一步推演。但是，算出了底面积之后算出高也并不难，假设六条棱分别是a、b、c、d、e、f，经过推演，最后可以得出如下公式：   是不是非常有趣？ 小小一个四面体的粽子，竟然有这么多几何学知识在其中！ 让我们边吃边学、边学边吃，果然唯有美食和几何学问者让人倾倒 ~ |
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