研究生必须掌握的数学

每个学习阶段，都有对数学的要求，对于研究生，同样如此；不同的是，作为学院教育的最后阶段，研究生的数学要求虽然很高，却不这么明确，需要根据研究问题的不同，不断地提高数学能力。

以下是研究生需要掌握的数学分支。对大多数研究生来说，需要了解或熟悉这些数学，在需要的时候掌握，精通部分数学。更深入的使用，可以跟数学相关专业的专业咨询合作。

线性代数

线性代数研究线性变换和向量空间，或者说，研究矩阵乘法与向量空间。你应该知道如何在抽象向量空间的语言和矩阵的语言之间进行转换。特别是，给定向量空间的基，你应该知道如何将任何线性变换表示为矩阵。此外，给定两个矩阵，你应该知道如何确定这些矩阵是否实际表示相同的线性变换，但在基的不同选择下线性代数的关键定理是一个陈述，它给出了矩阵可逆时的许多等价描述。你还应该知道为什么特征向量和特征值在线性代数中自然出现。

实分析

极限、连续性、微分和积分的基本定义应该从和的角度来理解。使用此和的语言，您应该熟悉函数一致收敛的思想。

微分向量值函数

逆函数定理的目标是证明可微函数局部可逆当且仅当其导数的行列式为非零时。对于向量值函数可微的含义，您应该很容易理解，为什么导数必须是线性映射（因此可以表示为矩阵Jacobian）以及如何计算Jacobian矩阵。此外，你应该知道隐式函数定理的陈述，并了解为什么隐函数定理与逆函数定理密切相关。

点集拓扑

您应该了解如何用开集定义拓扑，以及如何用开集表达连续函数的思想。R上的标准拓扑必须很好地理解，至少要达到海涅-博雷尔定理的水平。最后，你应该知道什么是度量空间，以及如何使用度量定义开集，从而定义拓扑。

经典斯托克斯定理

你应该知道向量场的微积分。特别是，你应该知道如何计算旋度和发散，并知道旋度和发散背后的几何解释向量场、函数的梯度和沿曲线的路径积分。然后你应该知道微积分基本定理的经典扩展，即发散定理和斯托克斯定理。你应该特别了解，为什么这些确实是微积分基本定理的推广

微分形式和斯托克斯定理

流形是自然出现的几何对象。微分k-形式是在流形上进行微积分的工具。您应该知道定义流形的各种方法，如何定义和思考微分k-forms。以及如何求k-型的外导数。你还应该能够将k-形式和外部派生的语言翻译成关于向量场、梯度、卷曲和发散的语言。最后你应该知道斯托克斯定理的陈述，理解为什么它是一个关于（k+1）维流形边界上k-型积分与流形上k-型外导数积分相等的尖锐定量陈述。

曲线和曲面曲率

在其所有表现形式中，试图测量几何对象相切空间方向的变化率。你应该知道如何计算平面曲线的曲率、空间曲线的曲率和扭转以及空间中曲面的两个主曲率。

几何

不同的几何学是由不同的公理系统构建的。给定直线和不在上的点，欧几里德几何假定只有有一条直线通过平行于，双曲几何假定有多条直线通过平行于，椭圆几何假定没有直线平行于。你应该知道双曲几何、单椭圆几何和双椭圆几何的模型。

复分析

理解函数何时可以进行分析的各种等价方法。这里我们关注函数，其中U是复数C中的一个开集。你应该知道，如果这样一个函数满足以下任何一个等价条件，那么它就是可分析的。

（1）对任何，下列极限存在

（2）函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann等式：

且

（3）如果是中的逆时针普通旋转圈，并且如果是内部的任何复数，那么

这就是Cauchy积分公式

（4）对于任何复数，在里，存在的一个开邻域，其中

是一致收敛连续。

可数性和选择公理的映射

你应该知道集合是可数的无限意味着什么。特别是，你应该知道整数和有理数是可数有限的，而实数是不可数无限的。选择公理的陈述以及它有许多看似奇异的等价物这一事实也应该被了解。

代数

群是抽象代数的基本研究对象，是几何对称的代数解释。人们应该了解关于群、环和域的基本知识。你还应该知道伽罗瓦理论，它提供了有限群和多项式根的发现之间的联系，因此显示了高中代数和抽象代数之间的联系。最后，你应该了解表象理论背后的基础知识，这就是如何将抽象群与矩阵群联系起来的。

勒贝格积分

你应该了解勒贝格测度和积分背后的基本思想，至少要了解勒贝格支配收敛定理的水平和测度集的概念。

傅立叶分析

你应该知道如何找到周期函数的傅立叶级数，函数的傅立叶积分，傅里叶变换，以及傅里叶级数希尔伯特空间的微分方程。此外，您应该了解如何使用傅里叶变换简化微分方程。

微分方程

物理学、经济学、数学和其他科学的一门学科归结为试图找到微分方程的解。应该知道，微分方程的目标是找到一个满足含导数方程的未知函数。基于某种合理的限制，常微分方程总是有解的。这绝不是偏微分方程的情况，因为偏微分方程的解的存在性往往是未知的。你还应该熟悉三类传统的偏微分方程：热方程、波动方程和拉普拉斯算子。

组合学和概率论

初等组合学和基本概率论都归结为计数问题。你应该知道

是从n个元素中选择k个元素的方法数。与多项式的二项式定理的关系有助于进行方便的计算。应该理解基本概率理论。首先，我们应该理解以下术语：样本空间、随机变量（包括其直觉和作为函数的定义）、期望值和变量。我们应该明确理解为什么计数参数对于计算有限样本空间的概率至关重要。概率和积分之间的联系可以在各种版本的中心极限定理中看到，其中的思想应该是已知的。

算法

你应该理解算法的复杂性意味着什么，至少要理解问题P=NP。应该了解基本图论；例如，您应该了解为什么树是理解许多算法的自然结构。数值分析是对数学中近似计算答案的算法的研究。例如，你应该了解牛顿近似多项式根的方法。