函数图像与系数关系
一．选择题（共35小题）
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）
A． B．
C． D．
2．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（）
A． B．
C． D．
3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）
A．l1为x轴，l3为y轴 B．l2为x轴，l3为y轴
C．l1为x轴，l4为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴
4．已知a，b，c满足a+b+c＝0，4a+c＝2b，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝ D．直线x＝﹣
5．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
6．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
7．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
8．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x＝3时，y的取值范围为（）
A．≤y≤12 B．≤y≤10 C．≤y≤9 D．1≤y≤9
9．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③④
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．
①若y1＞0时，则a+b+c＞0
②若a＝b时，则y1＜y2
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）
A． B．
C． D．
14．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2，下列判断：①当x＞2时，M＝y1；②若M＝2，则x＝1．其中正确的有（）
A．①② B．① C．② D．无法判断
15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
20．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣c＝3；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实根，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：
①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．
错误的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，则下列说法正确的有（）
①abc＜0，②2a+b＝0，③a﹣b+c＞0，④若4a+2b+c＞0．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
24．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，
你认为其中正确信息的个数有（）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1．其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA?OB＝﹣．
其中正确结论的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
28．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x＝﹣1，有下列结论：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中结论正确的序号是（）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有如下结论：
①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④3a﹣2b+c＜0，则正确的结论是（）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜b＜1，④当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，
其中结论正确有（）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
32．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0②2a+b＝0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
33．如图是函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①b2＞4ac；②当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax2+bx+c+1＝0的一个根，则﹣1＜t＜3，其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
35．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
二．填空题（共5小题）
36．已知抛物线y＝x2+ax+a的顶点的纵坐标为，且当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则a的值为．
37．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的是（填序号）．
38．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为．
39．若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点，则m的取值范围为．
40．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）．
2019年08月21日1587273的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共35小题）
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
2．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：由二次函数y＝x2+k可知，抛物线开口向上，由一次函数y＝﹣kx+2可知，直线与y轴的交点为（0，2），
当k＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当k＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
3．小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）
A．l1为x轴，l3为y轴 B．l2为x轴，l3为y轴
C．l1为x轴，l4为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴
【分析】根据抛物线的开口向下，可得a＜0，求出对称轴为：直线x＝2a，则可确定l4为y轴，再根据图象与y轴交点，可得出l2为x轴，即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线与y轴的负半轴相交，
∴l2为x轴，l4为y轴．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开口方向由a确定，与y轴的交点由c确定，左同右异确定b的符号．
4．已知a，b，c满足a+b+c＝0，4a+c＝2b，则二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝ D．直线x＝﹣
【分析】根据a+b+c＝0，4a+c＝2b，可以求得a、b、c之间的关系，从而可以求得该函数的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：∵a+b+c＝0，4a+c＝2b，
∴c＝﹣2a，a＝b，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴对称轴是直线x＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣5，
∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
6．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，
对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．
8．已知：二次函数y＝ax2+c，当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，则当x＝3时，y的取值范围为（）
A．≤y≤12 B．≤y≤10 C．≤y≤9 D．1≤y≤9
【分析】由当x＝1时，﹣4≤y≤﹣2，当x＝2时，﹣1≤y≤2，将y＝ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x＝3时y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c），求出m、n的值，代入计算即可．
【解答】解：由x＝1时，﹣4≤y≤﹣2得，﹣4≤a+c≤﹣2…①
由x＝2时，﹣1≤y≤2得，﹣1≤4a+c≤2…②
x＝3时，y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c）
得，解得，
故≤﹣（a+c）≤，
﹣≤（4a+c）≤，
∴≤y≤12．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键．
9．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③④
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，所以①正确；
∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
而a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝﹣3b，
∵b＞0，
∴﹣3b＜0，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．
①若y1＞0时，则a+b+c＞0
②若a＝b时，则y1＜y2
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c，此时，确定不了y的值，∴a+b+c＞0，正确；
②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，分两种情况，a＝b＞0，则y2＞y1，否则，故y1＜y2，故错误；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，a＞0，正确；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，即：a+b+c＞0，把b、c的值代入上式得：a＞1，则b＞1，c＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．
【解答】解：①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c＞0此时，正确；
②若a＝b时，即函数的对称轴是x＝﹣，也确定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，错误；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，
即：a+b+c＞0，
把b、c的值代入上式得：a＞1，
则b＞1，c＞﹣2，
顶点的x坐标＝﹣＜0，顶点的y坐标＝＝﹣2﹣＜0，
故顶点一定在第三象限，正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，由抛物线与x轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，所以当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，则可对④进行判断；把b＝﹣2a代入可对②进行判断；利用二次函数的最值问题对③进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2进行变形得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，从而得到a（x1+x2）+b＝0，再利用b＝﹣2a可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，所以④错误；
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2，所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x＝﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
13．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）
A． B．
C． D．
【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．
故选：C．
【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．
14．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2，下列判断：①当x＞2时，M＝y1；②若M＝2，则x＝1．其中正确的有（）
A．①② B．① C．② D．无法判断
【分析】若y1＝y2，记M＝y1＝y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．
【解答】解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，
解得：x＝0或x＝2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①正确；
∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；
当M＝2，2x＝2，x＝1；
x＞2时，y2＞y1；
当M＝2，﹣x2+4x＝2，x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），
∴使得M＝2的x值是1或2+，
∴②错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0两根为x1，x2，x2+x1＝﹣，x2．x1＝．如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】易知：b+c＝2﹣a，bc＝，可将b、c看做是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc＝4＞0，且a≥b≥c，则说明：
①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．
②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|＝a﹣（b+c）＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．
【解答】解：∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c＝2矛盾，
∴a＞0；
∵b+c＝2﹣a，bc＝，
∴b，c是一元二次方程x2﹣（2﹣a）x+＝0的两实根．
∴△＝（2﹣a）2﹣4×≥0，
∴a3﹣4a2+4a﹣16≥0，即（a2+4）（a﹣4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，与a+b+c＝2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0，
则|a|+|b|+|c|＝a﹣b﹣c＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
∵a≥4，
故2a﹣2≥6
当a＝4，b＝c＝﹣1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，
①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；
∵c＝﹣2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故①错误；
②∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c＝﹣2，
∴a+b＞2，
故②错误；
③∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴1＜x1+x2＜3，
又∵x1+x2＝﹣，
∴1＜﹣＜3，
∴﹣a＜b＜﹣3a，
∴3a+b＜0，
故③错误；
④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，
又∵c＝﹣2，
∴a＜﹣1．
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x＝h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA，则2b﹣ac＝4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a＜0，再根据抛物线的对称轴在x＝1和x＝2之间即可得出b＞﹣2a，①正确；②由b＞﹣2a可得出b＞0，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出c＜0，由此即可得出abc＞0，②错误；③将A（﹣，0）代入抛物线解析式中，整理后可得出2b﹣ac＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴1＜﹣＜2可得出﹣2a＜b＜﹣4a，再由当x＝1时y＞0即可得出a+b+c＞0，进而即可得出3a﹣c＜0，④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴﹣＞1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③∵OC＝2OA，
∴A（﹣，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，
整理得：2b﹣ac＝4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC，下列结论：①b＞1且b≠2；②b2﹣4ac＜4a2；③a＞；其中正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由根与系数的关系及二次函数y＝ax2+bx+c的图象坐标逐一求判定即可．
【解答】解：①∵OB＝OC，
∴C（0，c），B（﹣c，0）
把B（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得0＝ac2﹣bc+c，即0＝ac2+c（1﹣b），
∵a＞0，
∴1﹣b＜0，即b＞1，
如果b＝2，由0＝ac2﹣bc+c，可得ac＝1，此是△＝b2﹣4ac＝0，故b＞1且b≠2正确，
②∵a＞0，b＞0，c＞0，设C（0，c），B（﹣c，0）
∵AB＝|x1﹣x2|＜2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜4，
∴（﹣）2﹣4×＜4，即﹣＜4，
∴b2﹣4ac＜4a2；故本项正确．
③把B（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c可得ac+1＝b，
代入y＝ax2+bx+c得y＝ax2+（ac+1）x+c＝ax2+acx+x+c＝ax2+x+acx+c＝x（ax+1）+c（ax+1）＝（x+c）（ax+1），
解得x1＝﹣c，x2＝﹣，
由图可得x1，x2＞﹣2，
即﹣＞﹣2，
∵a＞0，
∴＜2，
∴a＞；正确．
所以正确的个数是3个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．解题的关键是根与系数的灵活运用．
19．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
20．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣c＝3；④方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实根，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】抛物线开口向上a＞0，对称轴在y轴左侧，b＞0，抛物线和y轴负半轴相交，c＜0，则abc＜0，由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，所以当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；由抛物线的顶点为D（﹣1，﹣3）得a﹣b+c＝﹣3，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，所以a﹣c＝3；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣3，即b2﹣4ac＝12a，b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＝0，所以说方程ax2+bx+c+3＝0两个相等实数根．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线和y轴负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵当x＝1时，y＞0，
∴y＝a+b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，﹣3）
∴a﹣b+c＝﹣3，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，
把b＝2a代入a﹣b+c＝﹣3，得a﹣2a+c＝﹣3，
∴c﹣a＝﹣3，
∴a﹣c＝3，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c有最大值为﹣3，
∴b2﹣4ac＝12a，
∴方程ax2+bx+c+3＝0的判别式△＝b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＝0，
∴方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：
①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．
错误的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对称轴方程，抛物线开口方向、与y轴交点坐标位置确定a、b、c的负号，根据图象知x＝﹣1与x＝1时所对应的y的负号进行判断．
【解答】解：如图所示，∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
又对称轴﹣1＜x＝﹣＜0，
∴b＜0，且b＞2a，则2a﹣b＜0．
故①正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0．
故②正确；
如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故③正确；
④如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故④错误．
综上所述，错误的个数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
22．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝﹣＞0，则b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，则下列说法正确的有（）
①abc＜0，②2a+b＝0，③a﹣b+c＞0，④若4a+2b+c＞0．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．
抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0，
所以abc＜0．
故本选项正确；
B、∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
故本选项正确；
C、∵抛物线开口方向向上，与y轴交与正半轴，
∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0．
故本选项正确；
D、由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
24．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤，
你认为其中正确信息的个数有（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．
【解答】解：①∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣，
∴3b＝2a，则a＝b，
∴b＜0，
∵图象与x轴交与y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故此选项正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故此选项正确；
④当x＝﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a﹣2b+4c＞0，故此选项正确．
故正确的有4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确得出a，b的关系以及x＝1，﹣1时y的符号是解题关键．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝＞﹣1，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x＝判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac＝0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
（5）当x＝1时，可确定a+b+c的符号，当x＝﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．
（6）由对称轴公式x＝，可确定2a+b的符号．
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1．其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵y轴交于点（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，x1?x2＝，
∴0＜＜2，
∵c＝﹣2，
∴a＜﹣1，④正确，
∵函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴＜﹣＜，
3a+b＞0，③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2），
∴4a+2b+c＜0，
∴4a+2b＜﹣c，即4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，①错误，
又a+b+c＞0，
∴a+b＞﹣c
∵c＝﹣2
∴a+b＞2，②错误，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．
27．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA?OB＝﹣．
其中正确结论的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA＝﹣x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1?x2＝，于是OA?OB＝﹣，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，
∴x1?x2＝，
∴OA?OB＝﹣，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
28．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是x＝﹣1，有下列结论：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中结论正确的序号是（）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，
故②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，
又∵b＝2a，
∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵a＜0，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（1，y1），
∵﹣3＞﹣4，
∴y1＞y2，
故④正确；
即正确的有①③④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有如下结论：
①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④3a﹣2b+c＜0，则正确的结论是（）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得b＝﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，于是可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对③进行判断；利用b＝﹣2a得3a﹣2b+c＝7a+c，而a﹣b+c＜0，即3a+c＜0，则3a﹣2b+c＝3a+c+4a＜0，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以③正确
∵b＝﹣2a，
∴3a﹣2b+c＝3a+4a+c＝7a+c，
∵a﹣b+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a﹣2b+c＝7a+c＝3a+c+4a＜0，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜b＜1，④当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c＝1，由此判定②正确；
由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，即a＝b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定③正确；
由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定④错误．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c＝1，a﹣b+c＝0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，
∴a与b异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，
∵c＝1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；
③∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c＝0，c＝1，∴a＝b﹣1，
∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正确；
④抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．
31．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，
其中结论正确有（）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；
所以abc＞0；
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故2a﹣b＝0错误；
④根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故④错误；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；
所以这结论正确的有①②⑤三个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
32．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0②2a+b＝0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x＝1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
33．如图是函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①b2＞4ac；②当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；③无论m为何实数，a+b≥m（ma+b）；④若t为方程ax2+bx+c+1＝0的一个根，则﹣1＜t＜3，其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象得出抛物线开口向下得到a小于0，且抛物线与x轴交于两个点，得出根的判别式大于0，即选项①正确；对称轴为x＝1，图象与x轴的一个交点为（3，0），得出另一个交点是（﹣1，0），由图象可知当﹣1＜x＜3时，y＞0，选项②正确；由图象x＝1时对应的函数值最大，得出a+b+c≥am2+bm+c，整理得出a+b≥m（ma+b），故选项③正确；由抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），根据对称轴为x＝1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为﹣1，从而得到t＜﹣1或t＞3，选项④错误，即可得出正确的选项序号．
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝1，
与y轴交点在正半轴，与x轴有两个交点，
∴a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项①正确；
∵对称轴为x＝1，图象与x轴的一个交点为（3，0），
∴另一个交点是（﹣1，0），
由图象可知当﹣1＜x＜3时，y＞0，
∴ax2+bx+c＞0，选项②正确；
∵当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（ma+b），故选项③正确；
∵图象与x轴的一个交点为（3，0），（﹣1，0）
若t为方程ax2+bx+c+1＝0的一个根，则t为抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标，
由图象可知t＜﹣1或t＞3，故选项④错误，
则正确的序号有①②③三个．
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．
34．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，
故②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，
又∵b＝2a，
∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，
故④正确；
即正确的有①③④，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
35．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二．填空题（共5小题）
36．已知抛物线y＝x2+ax+a的顶点的纵坐标为，且当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则a的值为3．
【分析】把解析式化成顶点式，即可得到﹣+a＝，解得a＝1或3，又根据﹣≤﹣1，则a≥2，即可求得a＝3．
【解答】解：y＝x2+ax+a＝（x+）2﹣+a，
∴抛物线的顶点为（﹣，﹣+a），
∴﹣+a＝，
解得a＝1或3，
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤﹣1，则a≥2，
∴a＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，把抛物线的解析式化成顶点式，得到关于a的方程和不等式是解题的关键．
37．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的是③④（填序号）．
【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故答案为③④．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
38．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为3．
【分析】把点（﹣m，﹣1）代入解析式得到（m﹣1）2+t2＝0，即可求得m＝1，t＝0，然后再代入（m，n）即可求得n的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1），
∴m2﹣2m+t2＝﹣1，
∴（m﹣1）2+t2＝0，
∴m＝1，t＝0，
∴二次函数为y＝x2+2x，
∵m＝1，
∴点（m，n）为（1，n），
∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（m，n），
∴n＝1+2＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式．
39．若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点，则m的取值范围为1＜m＜．
【分析】根据函数y＝|x2﹣2x﹣3|与直线y＝x+m的图象之间的位置关系即可求出答案．
【解答】解：作出y＝|x2﹣2x﹣3|的图象，如图所示，
∴y＝，
联立，
消去y后可得：x2﹣x+m﹣3＝0，
令△＝0，
可得：1﹣4（m﹣3）＝0，
m＝，
即m＝时，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有3个交点，
当直线过点（﹣1，0）时，
此时m＝1，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有3个交点，
∴直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点时，m的范围为：1＜m＜，
故答案为：1＜m＜．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
40．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，直线x＝1为对称轴，以下结论①a＜0，②b＞0，③2a+b＝0，④3a+c＜0正确的有（填序号）①②③④．
【分析】由抛物线开口方向可对①进行判断；抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＞0，于是可对②③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与点（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0，然后利用b＝﹣2a可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；
即b+2a＝0，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与点（3，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与点（﹣1，0）之间，
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
把b＝﹣2a代入得3a+c＜0，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
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