平面向量综合讲义
目录
2
第二讲平面向量概念和基本运算 6
题型一平面向量的线性运算 9
题型 10
题型 12
题型 12
题型 13
题型 14
题型 14
第三讲平面向量基本定理及三点共线定理 15
平面向量中的范围、最值问题 21
第五讲等和线 21
第六讲极化恒等式 21
第七讲“五心问题”（奔弛定理） 21
第八讲“矩形大法” 21
第九讲阿波罗尼斯圆 21
第十讲向量和其他知识综合 21
第一讲平面向量全国卷高考题
1．在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．C．D．．已知向量，满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0已知向量，且，则=
A B． C．6 D．8
4．（2016年全国III）已知向量,则=
A．B．C．D．
5．（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则
A．B．C．D．
6．（2014新课标2）设向量,满足，，则
A．1B．2C．3D．5
7．（）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为C．D．2
8．（）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是B．C．D．
9．（2015新课标）设为所在平面内一点，，则
A．B．
C．D．
10．已知向量，，．若，则=．，的夹角为60°，，，则=．
(2016全国I)设向量，，且，则=.
不平行，向量与平行，则实数=___．
（2014新课标Ⅰ）已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为
（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____已知正方形的边长为为的中点则与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量+与向量-垂直，则=_____________．
第二讲平面向量概念和基本运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作
||.
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
2.向量的加法
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．
(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
3.向量的减法
(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)法则：三角形法则．
(3)运算律：a－b＝a＋(－b)
4.向量的数乘
(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
|λa|＝|λ||a；
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ、μR，则：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
5.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
一个平面向量a能用一组基底e1，e2表示即a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解当e1，e2垂直时就称为向量的正交分解
7．平面向量坐标运算
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝.
．平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0.
．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b即a·b＝|a||b|cosθ.
．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积．
注意b在a方向上的投影为|b|cosθ＝而ab方向上的投影为|a|cosθ＝
11．平面向量数量积的重要性质
()a⊥b?a·b＝0；
(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|当a和b时，a·b＝﹣|a||b|a·a＝|a|2，|a|＝；
()cosθ＝；
．平面向量数量积的坐标
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)a·b＝x1x2＋y1y2
(2)|a|2＝x12＋y12或|a|＝.
(3)a⊥bx1x2＋y1y2＝0.
(4)cosθ＝
题型一平面向量的线性运算
例(2015·新课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点＝3则()
＝－＋＝－
＝＋＝－
例(2015·北京)在△ABC中点M满足＝2＝若＝x＋y则x＝________；y＝________
1.如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则
A. B.
C. D.[来源:Z,xx,k.Com]
2018届重庆市巴蜀中学高三上学期期中中,若点满足,则（）
A．B．
C．D．
3.(2015·天津)在等腰梯形ABCD中已知AB∥DC＝2＝1＝60点E和F分别在线段BC和DC上且＝＝则的值为________.
题型例(2015·江苏)已知向量a＝(2)，b＝(1－2)若ma＋nb＝(9－8)(mR)，则m－n的值为________
例(2013·北京)向量a在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μbR)，则＝________.
例向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于()
A．－1B．0C．1D．2已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A B． C． D．
2..(2018·长春第一次调研)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于()
A.(－2，7) B.(－6，21)
C.(2，－7) D.(6，－21)
(2013·新课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2为CD的中点则＝________
题型例，，，若与平行，则（）
A.-1B.1C.2D.3
1.（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知向量,,若∥，则=______.
2.（揭阳市2018届高三学业水平（期末））若向量，且//,则的值为.
3.（深圳市2018届高三第二次（4月）调研）已知向量，，若，则．
4.（广州市2018届高三12月调研测试）已知向量，，若，则向量的模为____题型例(2013·新课标全国Ⅰ)已知两个单位向量a的夹角为60c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0则t＝________
1.（江门市2018届高三3月模拟（一模））已知向量，，若⊥，则与的夹角为
A．B．C．D．
2.（韶关市2018届高三调研）已知向量.若向量与垂直，则_______.
3.(2018·晋冀豫三省一调)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且ac，bc，
则|a＋b|＝()
A. B.
C.2 D.10
题型例(2014·山东)已知向量a＝(1)，b＝(3)，若向量a的夹角为则m＝()
B.C.0D.－．(2015·重庆)已知非零向量a满足|b|＝4|a|且a⊥(2a＋b)则a与b的夹角为()
B.C.D.
2.（惠州市2018届高三4月模拟考试）在中，，点为边上一点，且，则（）A)(B)(C)(D)
3.（江门市2018届高三3月模拟（一模））已知向量，，若⊥，则与的夹角为
A．B．C．D．
题型例(2014·新课标全国Ⅱ)设向量ab满足|a＋b|＝a－b|＝则a·b＝()
．(2014·大纲全国)若向量a、b满足：|a|＝1(a＋b)⊥a(2a＋b)⊥b则|b|＝()
C．1 D.
2.(2012·新课标全国)已知向量a夹角为45且|a|＝1a－b|＝则|b|＝________.已知向量，则与的夹角为，，则.
题型例(2013·湖北)已知点A(－1)，B(1，2)，C(－2－1)(3，4)，则向量在方向上的投影为()
B.C.－－的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为()
A.3B.C.-3D.
第三讲平面向量基本定理及三点共线定理
一、1,λ2使=λ1+λ2,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．
例如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则
A. B.
C. D.[来源:Z,xx,k.Com]
例满足,若为的中点,并且,则的最大值是（）
A．B．C．D．
1.【2018届重庆市巴蜀中学高三上学期期中中,若点满足,则（）
A．B．
C．D．
2.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量
3．2018届（）
A．B．CD．
4．2018届在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,＝λ＋μ,则λ＋μ的值为()
A.B.C.D.1
二、三点共线向量式
设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值．
例
1.若点M是ABC所在平面内一点,且满足：.
（1）求ABM与ABC的面积之比.
（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.
2.【2018届如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于
平面向量中的范围、最值问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
例12018河北邯郸摸底】在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为
例22015福建高考试题理9已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于（）.
A．13B．15C．19D．21
例38.浙江台州中学】已知向量满足与的夹角为,,则的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）
例4【2018届山西省山西大学附中高三10月月考】是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（）
A．B．C．D．
例5与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为（）
A.B.C.D.
例6非零向量满足=,,则的夹角的最小值是．
例78.山东潍坊市期中】已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是．
例8【2018届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】设向量、满足：,,的夹角是,若与的夹角为钝角,则的范围是（）
A．
B．
C．
D．
1．【2018学年福建三明一中高二上第二次月考】,,,点在直线上运动,则当取得最小值时,点的坐标为（）
A．B．
C．D．
2．【2018届广西河池高中高三上第五次月考中,为中线上一个动点,若,则的最小值是（）
A．2B．-1C．-2D．-4
3．【2018届湖南师范大学附中高三上学期月考】已的面积为1,为直角顶点．设向量,,,则的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
4．【2018届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】若均为单位向量,,,则的最大值
A．B．C．D．
5．【2018届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】已知向量,满足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,则在上的投影长度的取值范围是（）
A．[0,]B．（0,]C．[,1]D．[,1]
【2018届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是
A．1B．2C．D．7.已知向量,则的最大值,最小值分别是（）
A．B．C．D．
8．已知是单位向量,.若向量满足A．B．
C．D．．
第五讲等和线
1.等和线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP??OA??OB??,??R?，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则????k(定值),反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线.
①当等和线恰为直线AB时，k?1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k??0,1?；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k??1,???；
④当等和线过O点时，k?0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；
2.等和线定理应用背景:
在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.
例1（）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为C．D．2
例2给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
例3(201·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为______．
答案
1.(201·菏泽一诊)如图在扇形OAB中,C为弧AB上的一个动点若,则的取值范围是
2.(2018·合肥一诊)如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于
3.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是.
6.（2013安徽卷9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是
（A）（B）
（C）（D）
7.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则的取值范围是（）
A? B. C. D.
??
（2017杭州五校联盟）在矩形ABCD中，AB=，，P为矩形内一点，且，若，则的最大值为________。
第六讲极化恒等式
1.极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则
定理2（极化恒等式的三角形模式）在中，若M是BC的中点，则有
例（）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
B．C．D．
例如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．
例(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
的最小值为
2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________
3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为
4．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是.
5．在，，已知点是内一点，则的最小
值是.
6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
7.正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
第七讲“五心问题”（奔弛定理）
第八讲“矩形大法”
第九讲阿波罗尼斯圆
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一
定义：一般的平面内到两顶点A，B距离之比为常数（）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆
11.已知+,设,若恒成立，则的最大值为
12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点是所在平面点,（），．，则的面积最大值是．
13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a,b满足，若恒成立，则实数的取值范围为
14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在ABC中，恒成立，求的最大值
已知向量，，若恒成立，则实数的取值范围为.
第十讲向量和其他知识综合
2019年高考模考
1.考查平面向量基本定理：
【例1】在中，点，满足，．若，则 ； ．
2.考查共线向量
【例2】设，是非零向量，“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3.考查线性运算：
【例3】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为()
A.B. C. D.
4.考查
【例4】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）
A．B．C．D．
【例5】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）
A．13B．15C．19D．21
5.考查向量与三角函数：
【例6】设向量，则的值为
【例7】设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【例8】【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=）
A． B． C． D．
【名师点睛】本题考查根的判别式、系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．
M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）
（A）（-，） （B）（-，（C）（，）（D）（，）
7.考查向量与解三角形：
【例10】的内角，，所对的边分别为，，．向量，与平行．
（I）求；（II）若，求的面积．
8.平面向量的数量积
例如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()
A.－1B．1C.D．2
(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：
①直接利用数量积的定义；
②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为）
A． B．
C． D．
【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
2．【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=）
A．?3 B．?2
C．2 D．3
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
3．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．
【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便
4．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
．【2019年高考全国I卷】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为）
A． B．
C． D．
2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
7．【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
8．【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.
9．2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）
A． B．
C． D．
10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量，，，若，则实数（）
A． B．
C． D．
11．2019届高三总复习质量测试数学（二)】在中，，，若，则（）
A． B．
C． D．
【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.
12．，不平行，向量与平行，则实数_________．
13．2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。
14.在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.
2020届全国各地高考试题分类汇编
10平面向量
1.（2020?北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】(1).(2).
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此，，.故答案为：；.
2.设为单位向量，且，则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以
解得：,所以,故答案为：
.（2020?全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.故答案为：．
.（2020?全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，.
，
因此，.故选：D.
.（2020?江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】
【解析】∵三点共线，∴可设，∵，
∴，即，
若且，则三点共线，∴，即，
∵，∴，∵,,，∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，∴，解得，∴的长度为.
当时，，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.
.（2020?新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
.（2020?天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】(1).(2).
【解析】，，，
，解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.故答案为：；.
.（2020?浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】，，，
.故答案为：.
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