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恰好，这种提问方式正是我喜欢的，我也一直想为这样的回答撰写相关的答案。回答这类问题，我认为现存的专业提供的角度，主要的缺失是没有意识到从爱好者到专业学习的过程中语境发生的一些变化，会造成“行内常识，行外懵逼”的情况。我并非认为训练是不必要的，但是在训练之外做好一些语义上的功夫，至少不要让别人觉得这个词不知所云，一要知道就得整个完整学下来，而且有的时候习题做完还是不知所云。 在这里要理解“结构”一词，最好是建立在一种认识的过程上。 让我们将以前的定义完全扔一边去，我眼前不管看什么都不会去分辨，不会去试图了解眼前的对象哪个是什么。这样，我们眼前就是混沌一片。从实用主义的角度上看，既然没有什么事情来要求我对眼前的这个东西做什么，它一团混沌对我也没什么影响。这个对象在语义上是退化的，我们无法将它和形式上的1个对象区分开（也就是只说了“1个对象”但并不说这个对象是什么，它就是个空壳子）。 只有当我必须对这个对象做些什么的时候，我才会去识别它的作用，去分析使它发挥某种作用的原因，去试验和总结。这时候，语义上这个对象就由于它能发挥的作用而被赋予了，不再是退化了的。这样，和一开始的一团混沌不同，你必须开始将它划分为不同的部分，从而去观察它的整体行为。这个东西便已经有了n个部分。 从1到n是关键的一步，这意味着我们意识中对该物体的规定不再是一种模糊的、退化的知觉，而是试图对其进行分析的、能做到更精细的控制的行为主义立场。但是要让这种转变顺利通过，还要解决一个问题来提供逻辑上的推力：那就是，用什么来说明这1个对象和这n个部分是等价的？ 需要注意的是，这里我们并没有真正的区别“n个对象”和“1个对象的n个部分”的区别。而根据这两种区别，我们可以延伸出两个不同的方向。 第一个方向是将“n个对象”转化为“1个对象的n个部分”的表达，这n个对象哪怕没有任何分类上的依据来归纳，不要紧，定义一个形式上的对象，这就是集合，这n个对象就成了“该集合”这个对象的n个部分。那么，这种表达和“1个对象的n个部分的差别”在哪里？回顾上面的论述，站在实用主义的角度上看，一个对象被拆分为不同部分来思考，当且仅当人们被要求使用它的时候；而该对象正是在这个时候获得了一个非退化的语义。而集合本身我们并没有规定它的用法，因此它在语义上还是退化的（这里不考虑罗素悖论中的集合）。 第二个方向则是规定一个语词，这个语词将n个部分的零散状态和1个对象这个统一的状态连接起来，我们不妨将这个语词叫做“结构”，这样我们就可以说“n个部分组成了这个对象的结构”或者“1个对象根据这个结构分成了n个部分”。因此，“结构”一词可以在语义上转换1个对象发挥作用的过程和n个部分发挥作用的过程，这样，该对象和它的n个部分就变成了一个事物的两个角度，结构则负责这两个角度的转换。需要注意的是，一旦分散的几个对象合并在一起能发挥某个特定的功能时，它们的集合就已经不在语义上平凡了，而是成为一个实实在在的对象。因此你也可以说结构是赋予集合以特定语义的媒介，而我们对于这种赋予了结构的集合就称之为空间。这就是为何当前数学上涉及到空间的表述大多是以“规定了某些内在的规则的集合”的面目出现的。 老实讲，我觉得这很容易让人在理解某些空间的时候会产生“哪里都是集合”的感觉，在这样的概括面前两眼发懵……如果是我介绍一个概念的时候，会更多从这个概念指涉的对象的功能出发，阐述将这些功能集中研究的好处，然后再将其定义给出，这也更接近构思表达这些概念的定义的过程。脑子里面对定义的时候，一定要在定义的内容之外想更多的东西，然后去归纳它，和当下的描述做比较，这个过程里其实有些重要的推论就已经蕴含在里面了。有一句很经典的论断叫“数学是具体的抽象”，倒是部分地概括了上面描述的这个过程，至于进一步挖掘其区别，已不在本文范围内。 说到这里，我们已经可以归纳结构是怎样发挥作用的了，它必须能描述对象里部分和部分之间的关系，而不管你怎样定义这个关系。因此，集合运算、代数运算、距离、内积之类的，都可以作为规定规则的工具，来建立某种空间（拓扑、数域、泛函、希尔伯特空间分别是上面四个方面的一个例子）。需要强调的是，在已有的空间上再建立空间也是非常正常的事情，这样做并不是为了追求复杂度，而是恰恰相反，规定一个空间都是需要相应的规则的，规则越多，里面的元素的性质自然就越好，可以有效缩小研究范围，或者是更有希望得出漂亮的结果。这就是你看到的那副一堆椭圆的图所说明的。所以，不要去僵化地把这些概念看成一坨然后强行要找出它们的联系和差别出来，就像你不会去问拖拉机和鸡蛋的差别在哪：如果从实用主义的角度来界定这两种东西，它们本来用处就不同，因此一定要在语义层面上区分它们是没有意义的。对于数学家而言，这样的表述很方便，可以确保严谨地说明他们研究的对象的基本性质，就像通行证一样，剩下的就可以按他们自己想要的活动了。 那个表里“数域与集合的元素”真是吐槽不能。第一，只有当空间本身有规定运算规则、而且是对加减乘除都封闭的时候才会涉及到数域，所以这个分类就把一大串代数空间给扔出去了，不知道这个表的归纳的意义在哪，至于分析上常用的空间，距离空间和完备度量空间其实也没有这种东西，就是被硬塞进来的。第二，“抽象向量”这种归纳在这里就是害人害己，这只是用于形容那些用某些特定规则规定的向量形式，而不仅仅是以数域上的元素为分量的n维向量，这样可以研究更一般的一类函数，例如泛函这种以函数为自变量的东西。“抽象向量”这个名字除了增加逼格之外，根本不会告诉你任何有意义的东西。所以，与其去看这个字眼，你还不如仔细去看这些空间的定义， 把里面的规则摸清楚。 至于为什么要提数域和向量，是因为向量就是对数域的元素的组织，而向量又是空间里的基本元素，要研究空间就要涉及具体的（不管是代数的，还是代入特定数值的）向量计算，不规定向量的数域，计算又从何谈起？ 至于数域的选择，实际上是根据已有的数学的研究来决定的。如果人们在研究一类函数的空间上使用的大多是实数，那么规定的这个空间的数域也就是实数域。至于你打算改变其数域？无所谓，你乐意研究就去研究好了，这并不是一件什么惊天动地或者开辟新天地的事情的。当然也存在实数域上解决不了而到了复数域上就迎刃而解的情况，这种也是非常有趣的现象，然而数学家不会花很多时间去解释之，他们更看重能达到一个怎样的结果。 ---------------------------------------------------------- 至此，开始分别回答题主的问题： 第1题已经解答完毕。 第2题 笛卡儿积的定义是形式定义，你只能说定义里的某个元素“对应”几何上的哪个元素， 而不要刻意区分形式定义和几何直观。这里集合确实对应欧式空间，但是点对应的是向量（也就是你说的数组），其中这个向量的顶端就在该点上，而尾端在原点上。要理解任意空间上的坐标系和基，你首先得明确它们在线性代数上的功能，就是将空间里的一个点的向量表示为若干线性无关的向量的组合。因此，只要涉及坐标系和基，一定都是试图将整个空间拆成若干相互独立的部分的表示，使得这个空间上的每个元素都可以表示成这几个部分的组合，至于这几个部分长什么样子并不重要，只要能发挥像线性代数里基的作用就好了。 由于不管你怎样选择基，都只是选择一个参考系，不会影响到空间的性质，所以才有“任意选取”这种说法。 变换的理解你总算是直观上抓对了，一般来说变换能够将一些形式简单化，方便做一些数学上的操作，比如说有些函数的积分区域通过变换之后就能从不规则变成规则的形状，从而方便做积分。另外就是研究变换的不变量会成为揭示空间的性质的重要工具，这些不变量是真正能说明空间的性质的（各种守恒定律），从而能帮我们在分析问题上提供非常多方便。 第3题 这里的曲线都特指可微分的，这使得它在局部上可以表示为唯一的直线。当你身处局部的时候，你才不知道整体是曲线还是直线，你只知道就着局部的直线走下去，如此展开出来的线就被称为测地线，而在局部上方向偏离测地线的线，就成为这个空间里曲线。当然，全局上是弯还是直在这里就不再重要了，因为整个研究都在关注局部上的性质。之所以能发展处内蕴几何的原因，就因为在局部的性质上也能发现对于整个空间而言普适的性质。 理论上来讲，坐标系的拉伸、旋转都归在坐标变换的范围里，但是一般会要求长度不要变的，毕竟我们要寻找的是从直到弯曲会保留什么性质，和坐标长短的关系不大，所以拉伸基向量之后的曲率变化不是什么值得考虑的问题。 最后一个小问暴露了你连定义都不去看的毛病，空间到空间的变换就是由两个空间里的点的映射给出的，它们的点是用什么形式表示的，这个映射就是这个形式的变换来表示的，而不管这个形式是不是向量。因此，坐标系到坐标系的映射只是空间—空间的映射的一部分，而在坐标系—坐标系的映射里，到底是坐标系的变换还是整个空间的变换，这个区分是不需要做也不重要的。很简单，我们先假设坐标系A到坐标系B的映射保持空间α的不变，如果想要硬把坐标系A—坐标系B的映射看成是不同空间的映射，假设坐标系A的向量组成了单位矩阵，那么你只需要将坐标系B的向量组也转换为单位矩阵，然后将α上的每个点都做这个转换，那么α自然就扭成另外一副样子了，但数学上这依然是等价的。 第4题 一开始那段已经解决了大半了。第一小问“图一中拓扑空间的椭圆外面是什么空间，尤其是没有包含在拓扑空间中的线性空间部分意味着什么？”以题主的智商，应当能根据上文的论述，用自己的语言对你的问题进行解答。 拓扑这个词，我更多是理解了“拓”这个字，也就是延拓，将局部性质往外推的东西。这是一个连续的过程，而拓扑研究这个过程里的不变量。至于它是基础的原因，从规则上来讲，它的规则是集合的运算，也就是并交这些运算的结果的规定，其规则要比起我们熟悉的那些性质较好的空间，例如欧式空间、距离空间这种要更基础，所以说它是基础的。 七桥问题作为拓扑学问题是因为它的结论并不会随着桥和桥之间的距离、大小、角度或者其他数值上的关系而发生改变。 表示方法的问题，是约定俗成的东西而已，请不要纠结在这种无聊的问题上。抽象向量和数值向量的区别一开始已经解答。 其他问题纯属连定义都不看，是偷懒，自己去看去推理。 第5题 特别要强调的是数学的分支，在定义上只规定了范围，并没有明确的目的，既然没有明确的认识目标，所谓的“本质”也就不存在。因此，强行问这些分支是什么，区别在哪里，就算得到了回答，也只是有关于范围的知识，没有所谓的“深入”，不是指导，你不会在处理有关数学问题的时候更有思路。剩下的自己看定义。 第6题 第一小问已答。 第二小问，作为独立的两个规则构建起来的两个结构，当然也就是相互独立的。 几何的定义自己去查，至于它和空间的关系，一个和研究对象有关，一个和对对象的规定有关，别硬叠在一起看。 最后一小问，两个表示当然是统一的。黎曼几何的第五公设，即平行直线一定相交，就是正高斯曲率的几何空间的必然推论，罗氏空间的第五公设则可以由负高斯曲率的几何空间证得。只是切换个表达而已。 对于题主给的两个图，我只想说那个表只适合已经学过相关知识的人回顾一下（虽然我觉得也没啥用），至于没接触过的人还是不要看这个的好，毫无解释力。 腰已卸。虽然我在当年学习的过程中就跟自己做了无数这样的讨论，但这么集中地面对来自别人的这类问题还真是第一次。题主这问题的密度都够得上举报友善度了，有这种耐心和空闲回答这么久知乎上估计就我了吧（腰疼……）题主记得帮我付了医药费。还有，你学会分段啊，民科民数这种傻逼才会不分段，多补习语文吧。 |
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