从2022年全国新高考一卷第21题第一问谈谈二次曲线系

笔者按：笔者这篇文章是以2022年全国新高考一卷第21题为引子，谈谈二次曲线系，不是说让考生一定得用这个方法。当然如果要参加全国高中数学联赛的话还是应该看看这部分内容。

2022年全国新高考一卷第21题如下：

这里主要谈谈第一问，其实这个第一问笔者20多年前就见过（1992年出版的书），不过略有不同，那个题目如下：

可见，高考题目除了把椭圆改成双曲线，其它一模一样。而且这个题目的解法是作为二次曲线系的应用这部分内容出现的。使用二次曲线系不但可以解决一些高考及模拟题（2017年高考题和2022年天津市南开区三模），还可以解决一些平面几何上的问题，下面就来介绍一下二次曲线系及其应用：

上面的例4就是平面几何中著名的“蝴蝶定理”，下面我们来解一开始那道例8

当然，这题要做的话需要掌握曲线的切线方程的求法。下面两题分别是2017年高考题和2022年天津市南开区三模，可以尝试使用上述方法求解一下：