通过对近几年的高考试题的分析比较发现，高考对直线与圆的考查，呈现逐年加重的趋势，与圆有关的最值问题，更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.本文就此问题从内容和处理方法上进行归纳，以帮助同学们攻克这个难点.
一、与圆相关的最值问题的联系点
1.1与直线的倾斜角或斜率的最值问题
利用公式＝(90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
处理方法：利用在正切函数函数图象，借助函数的单调性求解.如图所示：在和这两个区间斜率都是随着倾斜角的增大而增大，但是在整个区间不是单调的，做题时要特别注意这个特点.
【例1】坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是__________.
【答案】
【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围．
【牛刀小试】经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为________，________.
【答案】∪.
【解析】如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则，而故时，倾斜角为钝角，时，时，为锐角．
又，，
又当时，；
当时，.
故倾斜角的取值范围为∪.学科网
1.2与距离有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：
（1）圆外一点到圆上距离最近为，最远为；
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；
（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.
（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.
【例2】过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是．
【解析】：要使最小最短.要使得弦长最短，借助结论可知当为弦的中点时最短.因圆心和所在直线的，则所求的直线斜率为，由点斜式可得.
【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题.
【例3】若圆C：关于直线对称，则由点（a,b）向圆所作的切线长的最小值是_____________.
【答案】4
【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形．
【牛刀小试】在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由题，知圆的圆心为，半径为5，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，如图，可知当为圆的直径时取得最大值，所以当点位于点所在位置时取得最小值，当点位于点所在位置时取得最大值．因为，，所以，．
1.3与面积相关的最值问题
与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
【例4】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为
【答案】
动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积最小值
【答案】
【解析】设圆心为，半径为，，即，即，∴圆心为，，圆心到直线的距离为，∴或，当时，，∴.
【牛刀小试】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为
【答案】
【解析】与圆相交所得弦的长为2，故弦心距，所以
，，与轴相交于点，与轴相交于点
．
二、与圆相关的最值问题的常用的处理方法
2.1数形结合法
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
【例已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，[来源:学科网]
过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=，
解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是
.学科网[来源:Z。xx。k.Com]或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
例8设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是.
【答案】5
【迁移运用】
1．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线与圆M：相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．，圆心M到直线距离为
由图知，BD为过圆心M且垂直于AC的直径时，四边形ABCD面积最大值
2.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆和圆恰有三条公切线，若，且，则的最小值为.
【答案】1
【解析】[来源:Zxxk.Com]”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
3．
在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．
【答案】
【解析】因为则直线可表示为过定点，被圆截得的弦的中点为,则满足为时,取最大，此时直线,,,,即.
4．点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是__________．
【答案】
【解析】
．直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线的距离为d，则，由知，解得，故填．
．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.
【答案】
【解析】设圆心为，则劣弧所对的圆心角最小时，直线与垂直，即
的面积被直线平分且圆过点则该圆面积最小时的圆方程为
【答案】
【解析】
试题分析：圆的面积被直线平分上，设圆心，有，当且仅当时圆的半径最小为，此时圆的方程为.
考点：圆的方程.学科网
7．【2017届江西吉安一中高三文上学期段考二】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是．
【答案】
【解析】
考点：圆的参数方程.
【思路点晴】本题主要考查圆的参数方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查两个向量垂直的概念，考查三角恒等变换等知识.由于题目给定，所以考虑设出点的坐标，然后利用数量积等于零来建立方程，故设出点的参数方程，即，然后将坐标代入，化简后利用三角函数的最值来求的取值范围
8.在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________.
【答案】18
【解析】动点到两直线和的距离之和为
即，设，则，
，若，当时，取得最大值为18，若，当时，取得最大值为10，综上可知，当点在时，取得最大值为18.
2016届安徽省六安一中高三上第五次月考的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD面积的最大值为．
【答案】27
【解析】圆的圆心坐标为，半径为4，设圆心到的距离分别为，因为垂足为，所以，所以四边形ABCD的面积，当且仅当时等号成立．学科网
10．【2016届广西河池高中高三上第五次月考中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是________．
【答案】
11．过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为
【答案】
【解析】，此时的最小值为．
考点：
12．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．
13．设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是．
【答案】2
【解析】圆心到直线的距离，所以．
14．已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，∴，即．将圆心代入直线方程，得．
15．已知圆，点是该圆面（包括⊙O圆周及内部）上一点，则的最小值等于．
【答案】
【解析】依题意可得.令.所以满足如图所示.所以目标函数.所以当目标函数与直线相切的时候z最小.由圆心到直线的距离可得..所以当且仅当时，.
16．点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为【答案】
在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】由题意得圆心半径因为点在圆内，所以，解得设到直线距离为,则又，当且仅当，即时取等号，因此，即或综上实数的取值范围为.
已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为
[来源:学|科|网]
【答案】
19.已知的三个顶点，，，其外接圆为．
(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；
(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．
：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为．
(2)直线的方程为，设，
因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，
所以即
因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以，
又，所以对]成立．
而在[0，1]上的值域为[，10]，故且．
又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为
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