高考数学解题技巧及规范答题立体几何大题【规律方法】1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化：在关于垂直问题的结论中要注意线线垂直、线面垂直、面
面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是开始转向另一种垂直，最终达到目的，线线垂直是关键.2.利用空间向量求两个平面所成的角（或余弦
值）的方法：（1）求出平面、的法向量，（2）设出平面、所成的角为，则.3．求空间几何体的体积的常见方法：（1）直接法：对于规则几何
体，直接利用体积公式计算即可（如本题）；（2）等积法：对于三棱锥的“等积法”可以把任一面作为三棱锥的底面；（3）割补法：对于不规则
几何体，常通过分割法、补形法等方法，转化规则几何体进行计算进行求解.【核心素养】主要考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象、
数学运算.【典例】【2021·全国】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上
，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【评分展示】解法一(法向量法)：（1）证明：因为，为的中点，所以，【必须展示AO⊥BD的证明
过程，仅说明“由题意可得AO⊥BD”不予给分】又平面平面，平面平面，平面，所以平面【必须注明平面ABD平面BCD，仅缺少此条件扣1
分】又平面，所以；【必须注明平面BCD，否则不予给分】（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，，两两垂直，以
点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，【此处要证明“线线垂直”，未证明三线垂直的减一分；必须展示作辅助线
的过程，仅在图中体现辅助线但过程中无体现的减1分.】则，，，，，1，，设，0，，则，因为平面，故平面的一个法向量为，【此处利用点到
平面的距离的合理转化设出和的坐标.不写清点的位置关系和转化过程要减1分.】设平面的法向量为，又，所以由，得，令，则，，故，【此处求
出两个平面的法向量，若方程组错误，减2分，若方程组正确，但法向量求错减1分.】因为二面角的大小为，所以，解得，所以，【此处由两个法
向量所成角求出，若计算结果错误错误但式子正确，减1分；若计算结果错误错误且式子错误，减2分.】又，所以，故．【此处由三角形的面积公
式和体积公式求体积，若底面面积正确但体积计算错误，减1分.】【评分细则】①利用三线合一证明AO⊥BD，得1分②利用面面垂直的性质证
明AO⊥平面BCD，得2分.③利用线面垂直的性质证明AO⊥CD，得1分.④利用（1）结论证明三线垂直，合理建系得2分.⑤正确写出和
设出点的坐标，指出一个平面的法向量，得2分.⑥正确求出平面的法向量，再得2分.⑦利用二面角的余弦值求出，再得2分.⑧正确求出体积得
1分.【解题方法与步骤】1.要注意平面几何知识的应用，如本题中利用三线合一等平面几何知识得到三线垂直.2.要注意线线垂直、线面垂直
、面面垂直间的相互转化，在应用性质定理和判定定理时，要注意条件的齐全，不要遗漏.3.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果
第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题中，由（1）及题设证明三线垂直，再
合理建立空间直角坐标系.4.求四面体的体积时，要合理选择底面和高，如本题（1）中证得AO⊥平面BCD，所以选择三角形BCD为四面体
的底面.解法二（传统几何法）：（1）因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD【必须展示AO⊥BD的证明过程，仅说明“由题意可得
AO⊥BD”不予给分】因为平面ABD平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，【必须注明平面ABD平面
BCD，仅缺少此条件扣1分】因为平面BCD，所以AO⊥CD【必须注明平面BCD，否则不予给分】(2)作EF⊥BD于F，作FM⊥BC
于M，连FM…【必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现辅助线但过程中无体现的减1分】因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO⊥CD
所以EF⊥BD，EF⊥CD，，因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC【必须注明，否则扣1分】因为FM⊥BC，，所以BC⊥平面EFM，即
BC⊥ME则为二面角E-BC-D的平面角，【此处写出“为二面角E-BC-D的平面角”给1分.否则不得1分.】因为，为正三角形，所以
为直角三角形【必须展示以为直角三角形的证明过程，缺少证明过程不予给分】因为，从而EF=FM=，所以平面BCD，所以【此处由三角形的
面积公式和体积公式求体积，若底面面积正确但体积计算错误，减1分.】【评分细则】利用三线合一证明AO⊥BD，得1分.②利用面面垂直的
性质证明AO⊥平面BCD，得2分.③利用线面垂直的性质证明AO⊥CD，得1分.④作出辅助线，并用语言正确表述得1分.⑤由线面垂直的
性质和判定证明EF⊥BC，再得2分.⑥证明为二面角E-BC-D的平面角，再得2分.⑦利用直角三角形的性质得到为直角三角形，再得2分
.⑧正确求出体积得2分.【解题方法与步骤】1.要注意平面几何知识的应用，如本题（1）中利用三线合一得到AO⊥BD，（2）中利用中线
是一边的一半证明为直角三角形.2.要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化，在应用性质定理和判定定理时，要注意条件的齐全，不
要遗漏.3.要注意二面角和二面角的平面角的关系，要注意二面角的平面角的作法和证明.4.求四面体的体积时，要合理选择底面和高，如本题
（1）中证得AO⊥平面BCD，所以选择三角形BCD为四面体的底面.【好题演练】（2022·河北高三模拟）1.如图，在四棱锥中，底
面是梯形，，，，.（1）证明：平面；（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.【分析】（1）取，中点，，连接，，
，得到面面，故可先将要证平面转化为求证面即可求证；（2）可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【详解】（1）取，中点，
，连接，，.由，得，，又，所以平面.由，知四边形是平行四边形，则，平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面平面，所以平面.（2
）由，知四边形是以的等腰梯形.连接，则，又平面，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，于是点在底面内的射影在上.（在平面中，，点在
以AC为直径的圆上运动）取中点，则，于是当底面时，四棱锥的体积最大.如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，建立空间直角坐
标系.由题意得，，，，.所以，，.设平面的法向量，由，得，取，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.2.（2021·陕西高三（理
））如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，.（1）证明：；（2）当四棱锥体积为时，求二面角的正弦值.【分析】（1）分别取，的中点，
，证明，可得平面，可证，由等腰三角形的性质可得，证明三角形全等即可求证；（2）在上取一点O，连接，使，根据已知条件证明O为正方形的
中心，建立空间直角坐标系求出平面和平面的法向量，利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，∵，∴，∵，
∴，∵，，∴平面，∵平面，∴，在中，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴.（2）由（1）知，平面平面，在上取一点O，连接，使，则是四棱锥的
高，∵，解得，∵，则，即O为正方形的中心，以O为坐标原点，过点O且垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所求
的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，，设平面的一个法向量，则取则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值
为.3.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，求三棱锥
的体积.【分析】（1）连接，由，分别为，的中点，得，再由线面平行的判定定理即可证明所证；（2）如图建系，利用向量法求出点到平面的距
离，再由，从而得出答案.【详解】（1）证明：连接，因为，分别为，的中点，所以，又因平面，所以平面；（2）取的中点，连接，因为为等边
三角形，所以，所以，如图以为原点，为轴，过作平面的垂线轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量，则即，令，则，，所
以，则点到平面的距离，又，所以.4.（2022·全国）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．（1）若三棱锥
体积是，求的值；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．【分析】（1）由题意知，、、两两垂直，建立空间直角坐标系，设，由，求
得M的坐标，过作于，于，再由求解；（2）由（1）知，求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，然后由求解.【详解】（1）因为
四边形是菱形，所以，因为底面，所以、，所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，因为，所以，于是，所以，过作于，过作
于，所以，解得．（2）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，，令，，设直线与平面所成的角为，所以，解得或（舍去）．5.（2021
·江苏南通·高三）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，且，，，M为的中点，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.（1）求四棱锥
的体积；（2）在棱上(不含端点)是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.【分析】（1
）先根据面面垂直，线面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理得到为四棱锥的高，再根据直线与平面所成角的正切值为，即可求出，最后根据椎
体的体积公式即可求解；（2）先假设存在，设，再根据二面角的余弦值为以及二面角的向量求法即可判断是否存在点.【详解】（1），M为的中
点，，又平面平面，平面，即，又，平面，故为四棱锥的高，为直线与平面所成角，又，即，四棱锥的体积为；（2）假设存在点，建立如图所示
的空间直角坐标系，设，，则，则，，，设平面和平面的法向量分别为，，则，令，则，，令，则，二面角的余弦值为，化简得：，又，解得：，即在棱上(不含端点)存在的中点Q，使得二面角的余弦值为.【方法点评】立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.第1页共17页 |
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