1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与
课标要求 素养要求 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
1.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
问题(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
提示(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.
2.观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
问题(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个).
提示(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
1.全称量词和全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?表示.
(2)
(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?xM，p(x).
2.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?表示.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?xM，p(x).
拓展深化
[微判断]
1.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(√)
2.存在量词命题“?xR，x2＜0”是真命题.(×)
提示不存在x∈R，使得x2<0成立.
3.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)
4.?xR，x2＋1≥1是真命题.(√)
5.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)
提示是无理数，但()2＝3是有理数.
[微训练]
用符号“?表示下列存在量词命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)某个四边形不是平行四边形.
解(1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?xZ，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x{x|x是四边形}，x不是平行四边形.
[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?xN，x≥0”.
2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
题型一全称量词命题与存在量词命
【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B.
解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?或“?表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解(1)全称量词命题.表示为?nN，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)?xN，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
解(1)是全称量词命题，因为?xN，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
规律方法判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体如下：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?xR，2x2＋x＋1<0；
(3)?xR，x2>0.
解(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠.
(1)若命题p：“?xB，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?xA，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
解(1)由于命题p：“?xB，x∈A”是真命题，
所以B?AB≠?，
所以解得2≤m≤3.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤3}.
(2)q为真，则A∩B
因为B≠所以m≥2，则m＋1≥3.
所以解得2≤m≤4.
所以m的取值范围是{m|2≤m≤4}.
规律方法根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.
解因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.
所以实数b的取值范围是{b|b≥0}.
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不
二、素养训练
1.下列命题中全称量词命题的个数是()
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③三角形的内角和是180°.
A.0B.1
C.2 D.3
解析①③是全称量词命题.
答案C
2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.
答案C
3.下列存在量词命题是假命题的是()
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
解析对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.
答案B
4.以下四个命题，既是存在量词命题，又是真命题的是()
A.锐角三角形的内角是锐角或直角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案B
5.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________.
解析对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
答案{a|a≤3}
基础达标
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何正方形都是平行四边形.
其中全称量词命题的个数是()
A.1B.2
C.3 D.4
解析命题①②④都是全称量词命题.
答案C
2.下列命题中存在量词命题的个数是()
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0B.1
C.2 D.3
解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
答案B
3.已知命题p：?xR，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，a的取值范围是()
A.04
C.a<0D.a≥4
解析∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
答案B
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；②?aN，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为()
A.1B.2
C.3 D.4
解析①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
答案C
5.下列全称量词命题中真命题的个数为()
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数yx2－ax－1与x轴恒有交点；
④?xR，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1B.2
C.3 D.4
解析①②③为真命题.
答案C
二、填空题
6.给出下列三个命题：
①?xR，x2＋1≠0；②矩形
③?x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析②省略了量词“所有的”.
答案①②
7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?写成存在量词命题为________.
解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立?x∈M，p(x)”.
答案?x<0(1＋x)(1－9x)2>0
8.下列全称量词命题中真命题的个数为________.
①?xR，x2＋2>0；
②?xN，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
解析①由于?xR，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?xR，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?xN，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
答案1
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?xR，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
解(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“?xR，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以
10.判断下列存在量词命题的真假：
(1)?xZ，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“?xZ，x3<1”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
能力提升
11.下列说法正确的是()
A.对所有的正实数t，有
B.存在实数x，使x2－3x－4＝0
C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
解析t＝时，>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.
答案B
12.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是()
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
解析A，C为全称量词命题，B，D为存在B选项中当x＝0时，x2＝0，正确，故选B.
答案B
13.若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________.
解析一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0.
答案{k|k>0}
14.若?xR，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
创新拓展
15.(多选题)下列命题是“?xR，x2>3”的表述方法的有()
A.有一个x∈R，使得x2>3成立
B.对有些x∈R，使得x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
解析C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选ABD.
答案ABD
16.(多选题)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为()
A.{3，4，5} B.{x|x>2}
C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}
解析因为中位数为3，所以x≥3即可，故选ACD.
答案ACD
17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后用符号表示，并判断真假.
(1)对任意实数a，b，若a>b，则<；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|成立.
解(1)是全称量词命题.
用符号表示：?ab∈R，
若a>b，则<；
当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但＝1>＝－，故该命题为假命题.
(2)是存在量词命题.
用符号表示：?ab∈R，|a－b|＝|a|＋|b|；
当a＝b＝0时，|a－b|＝|a|＋|b|，所以该命题为真命题.
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