概率论与数理统计一、 随机事件的概率1、随机事件2、随机事件的概率3、条件概率4、事件的独立性1、随机事件随机试验：具有以下三个特点的试验称
为随机试验可以在相同的条件下重复进行；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；进行一次实验之前不能确定哪
一个结果会出现.一、 随机事件及概率(2) 样本空间(Space)将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记
为S.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.一、 随机事件的概率(3) 随机事件随机事件:称试验E的样本空
间S的子集为E的随机事件；基本事件:有一个样本点组成的单点集；必然事件:样本空间S本身；不可能事件:空集?.我
们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现.一、 随机事件的概率(4) 事件间的关系与运算事件A发生?事件
B发生A? B1. 包含关系A? B 发生A? B发生?A,B中至少有一个发生? A,B同时发生和事件积事件差事件互不相容?
A发生且B不发生A? B发生A,B不能同时发生6. 对立事件A,B有且只有一个发生常用性质:运算规律幂等律:交换律:结合律:分
配律:DeMorgan定律:表示“第一次失败例1：重复进行一项试验，事件且第二次成功”，则事件 表示（）两次均失败第一次成功
且第二次失败C.第一次成功或第二次失败D.两次均成功2.随机事件的概率概率的定义及性质频率: 在相同的条件下，进行了n
次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发
生的频率，并记成fn(A).频率具有波动性和稳定性,频率的稳定值称为概率2) 概率的性质(2)等可能概型（古典概型）如果随机
试验的样本空间中只有有限个元素；且每个基本事件发生的可能性相同.我们把这类实验称为等可能概型，又称为古典概型.设试验E是古典概型
,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则事件A的概率为：A包含的样本点数P(A)＝k/n＝S中的样
本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.例2.甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至
少有一名志愿者。（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。A31解（1）P(E1)
???3 ?C2A4405 4A41（2）P(E2)???4 ?C2A4105 41 9P(E )?1?P(E
)?1? ?2210 103、条件概率(1)条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且P?A??0则称事件B在事件
A已发生的条件下的概率为B在A之下的条件概率，记为P?B A?定义设A、B是某随机试验中的两个事件，且P?A??0P?
AB?P?BA??P?A?则称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。(2) 乘法公式由条件概率
的计算公式P?BA??P?AB?P?A?我们得P?AB??P?A?P?BA?这就是两个事件的乘法公式．设A1，A2，
?，An为n个随机事件，且P?A1A2?An?1??0则有P?A A?A??P?A?P?A A?1
2 n 1 2 1P?A AA????P?A AA?A ?3 1 2 n 1 2 n?1这就是n个事件的乘法公式．例
3袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都
未取出黑球的概率．设B??取了n次都未取出黑球?解：Ai??第i次取出白球? ?i?1，2，?，n?
B?A1A2?An则由乘法公式，我们有P?B??P?A1A2?An???P?A?P?A A?P?A A
A????P?A AA?A1 2 1 3 1 2 n 1 2 n?1n?1?2?3???2 3 4 n?
11?n?14.两事件的独立性如果事件A是否发生对事件B是否发生在概率上没有任何影响的，即事件A与B呈现出某种
独立性．这时有P?B??P?BA?P?AB??P?A?P?BA?由于P?AB??P?A?P?B?故有定义:设A、
B是两个随机事件，如果P?AB??P?A?P?B?则称A与B是相互独立的随机事件．事件独立性的性质：1）如果事件
A与B相互独立，而且P?A??0则 P?BA??P?B?2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任
意随机事件A相互独立．3)若随机事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.三个事件的独立性设A、B
、C是三个随机事件，如果?P?AB??P?A?P?B??P?BC??P?B?P?C???P?AC??P?A?P?
C????P?ABC??P?A?P?B?P?C?则称A、B、C是相互独立的随机事件．5.伯努利概型如果随机试验只有两种结
果,则称该试验为伯努利试验.在一次伯努利实验中,若P(A)?p,P(A)?q,其中p?0,q?0,
则有p?q?1.由一个伯努利试验独立重复n次形成的试验序列称为n重伯努利试验.在n重伯努利实验中,事件A恰好发生k次
的概率为b(k;n,p)?Ckpkqn?kn例6：某学生参加注册工程师公共基础考试（全部为四选一的选择题），其中有1
0道题完全不会做，该学生随机地作出选择，问他能答对6道题的概率是多少？这是一个10重伯努利试验，答对6道题的概率应为b(6;1
0,0.25)?C6 ?0.2560.754= 35 ?0.1610216二 随机变量及其分布1.随机变量概念离散型随
机变量连续型随机变量随机变量的数字特征二 随机变量及其分布1.随机变量概念(1)随机变量定义: 设E是一个随机试验，S是其样本空
间．我们称样本空间上的函数为一个随机变量。(2)分布函数定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P{
X ?x}称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1是一个不减的函数．2).0?F(x)?1,且F(??)? lim F(x)?0; F(?)?lim
F(x)?1.x??? x??3).F(x?0)?F(x),即F(x)是右连续的.2.离散型随机变量定义:
如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为并设则称上式或为离
散型随机变量X的分布律．离散型随机变量概率分布的性质:例7: 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X为取出的5个数字中
的最大值．试求X的分布律．解:X的取值为5，6，7，8，9，10． 并且具体写出，即可得X的分布律：一些常用的离散
型随机变量1)0-1分布如果随机变量X的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的0-1分布．2）二项分布在
n重伯努利试验中,每次试验事件A发生的概率为p(0?p?1),记X为n次试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为
0,1,?,n,根据伯努利概型,有显然: 0-1分布是二项分布的特例.3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为则
称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．例8: 设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解： 随机变
量X的分布律为由已知3、连续型随机变量定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意
实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.概率密度f(x)的性质例9
:设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质常用的连续型随机变量1) 均匀分布若随机变量X的密度函数为记作X~U[a,b]分布函数为:均匀分布的分布函数2）指数分布如果随机变量X的密度函数为分布函数为:例10解令：B={等待时间为10~20分钟}3）正态分布标准正态分布标准正态分布的计算一般正态分布的计算例11解 |
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