线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型一、行列式1.行列式的定义??a11 a12
a22a1na2nD?a21??1?a?t?a ?a1p1 2p2npn???????p1p2?pn?an
1 an2 ann注：行列式是一个数。2.行列式的性质行列式与它的转置行列式相等,即D?DT.互换行列式的两行(列),行
列式变号.如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列
式.行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.若行
列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和.把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数,然后加到另一列(
行)对应的元素上去,行列式的值不变.a11 a12 a13 ? a1n0 a22 a23 ? a2nD? 0 0 a33 ?
a3n? ? ? ? ?0 0 0 ? ann?a11a22?ann利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算3.行列式
按行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n?1阶行列式叫做元素
aij的余子式，记作Mij；记A ?(?1)i?jM ,ij ijAij叫做元素aij的代数余子式.A?ai
1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)A?ai1Aj1?ai2Aj
2???ainAjn(i? j)例1D?31?12?513?4201?11?53?35 1 ?1 1?
11 1 3 ?10 0 1 0c1???2?c3c4?c3?5 ?5 3 05 1 1?(?1)3?3?
11 1 ?1?5 ?5 05 1 1r2?r1?6 2 0?5 ?5 02 ? ?8 2?5 ?5 0
?5?(?1)1?3?6?40.例2：设行列式213410201521?1152Aij表示行列式元素aij的代数余子式
，求A13?4A33?A43二、矩阵1.矩阵的概念由m?n个数aij(i?1,2,?m;j?1,2,?
n)排成的m行n列的数表??a11 a12a21 a22? ?am1 am2a1na2n?amn?称为m行n列矩阵，简称m?
n矩阵,记作a12 ??a11a1n???a2n?a22 ?? ? ?a a ? aA??a21?????mn
??m1m1A?A ??a ? ??a ?.简记为m?n ijijm?n这m?n个数称为A的元素,简称为元.几种特殊
矩阵(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵.也可记作An.(2)只有一行的矩阵A??a1,a2,
?,an?,称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵?a1?? ?a称为列矩阵(或列向量).2?,B??? ? ?? ?
a?n???1 0 ? 0?? ?2? ? ?0 0 ???0?的方阵,称为对角（3）形如?0???? 矩阵(或对角
阵）.? ?? n?A?diag??1,?2,?,?n?.记作（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m?n 零矩阵记
作om?n或o.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.?0 0 0 0?例如?0 0?000000??0???0, 0
, 0, 0?.0?0??0??(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵?1 0 ? 0????0 1 ? 0?? ? ?
??0 0 ? 1??E?E????n称为单位矩阵（或单位阵）.(6)对称矩阵定义 设A为n 阶方阵，如果A的元素
满足a ?a ?i,j?1,2,?,n?ij ji那末A称为对称阵.?12 6 1?例如A??6 80??0
? 为对称阵.?16?? ?说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.同型矩阵与矩阵相等1）两个矩阵的行数相等,列数相等时
,称为同型矩阵.?1 2? ?14 3?? ? ? ?5 6 8 4 为同型矩阵.例如? ?与???3 7? ?3 9??
? ? ?2）两个矩阵A??a ?与B?b ?为同型矩阵,并且ij ij对应元素相等,即aij?bij?i?1
,2,?,m;j?1,2,?,n?,则称矩阵A与B相等,记作A?B.2.矩阵的运算1)加法设有两个m?n矩阵
A??a ?,B??b ?,那末矩阵ij ijA与B的和记作A?B，规定为?b11?b21??b12
??b22 ?? ?b a ?b ?a12a22b1n??a11a1n??a2n?b2n?A?B??
a21??????a?amn?bmnm1m1m2m2?1?A?B?B?A;?2??A?B??C?
A??B?C?.??a11 ?a12 ? ?a1n???????a ?aa2n????a
?,ij?3??A??2122?? ????mn???a ?aa?m1 m1称为矩阵A的负矩阵.?4?A??
?A??0,A?B?A???B?.2)数与矩阵相乘数?与矩阵A的乘积记作?A或A?,规定为??a11
?a12 ? ?a1n????a ?a ? ?a? ? ??a ?a ? ?a2n?21 22?A?A???? ?.
? ??mn??m1 m1?1?????A????A?;?2??????A??A??A;?3???A
?B???A??B.矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.3)矩阵与矩阵相乘设A??a ?是一个m?
s矩阵，B??b ?是一个ij ijs?n矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m?n矩阵C??c ?
，其中ijs???aisbsjcij ?ai1b1j?ai2b2j ??aikbkjk?1?i?
1,2,?m;j?1,2,?,n?,C?AB.并把此乘积记作注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩
阵才能相乘.例3：计算?2 ?1 0 3 1?4 ?2 0?1 3 2?2 0 3?1 0 3 2?? ?C??2
1 ?1 0?4 2?01????0?6??1?2?01???3?4??4?5AB?BA注：（1）矩阵乘法不
满足交换律(AB)k ?AkBk(A?B)2 ?A2?2AB?B2(2)矩阵乘法不满足消去律,即由AB?
AC不能推出B?C(只有当A可逆时成立）AB?0,不能得出A?0或B?0.?1??AB?C?A?BC?
;?2?A?B?C??AB?AC, ?B?C?A?BA?CA;?3???AB????A?B
?A??B??4?AE?EA?A;（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1）（其中? 为数）;?5?若A是
n阶方阵，则Ak为A的k次幂，即?Am?k,?Am?k ?Amk.Ak?AA?A 并且AmAk?
????k个?m,k为正整数?4）矩阵的转置定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A? .?
1 2 2??4 5 8??1 4?例A???,AT??2 5?? ?;?2 8??注：若A为对称阵，则A?
AT?18??B??18, 6?,TB ?? ?.?6?转置矩阵的运算性质?1??AT?T ?A;?3???A
?T ??AT;?2??A?B?T ?AT?BT;?4??AB?T ?BTAT.5）方阵的行列式定义
由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A或detA.3?2 36 8例A??2
??6 8则A???2.? ?运算性质?1?AT?2??A??nA;? A;?3?AB ? AB;? A
B ? BA.6）逆矩阵伴随矩阵定义行列式A 的各个元素的代数余子式A 所ij构成的如下矩阵A21 ?22 ?? ? ?A A
? A?A11An1??A A?A称为矩阵A的伴随矩阵.n2?12A??????????1n2nnnAA??
A?A? AE.伴随矩阵性质逆矩阵定义对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵BAB?BA?E,使得则说方阵A
是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A?1.定理1 方阵A可逆的充要条件是A?0 ，且A?1?
1 A?,A其中A?为矩阵A的伴随矩阵.二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。逆矩阵的运算性质?1?
若A可逆,则A?1亦可逆,且?A?1??1?A.?2?若A可逆,数??0,则?A可逆,且??A??1?1A
?1.??3?若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且?AB??1? B?1A?1?4?若A可逆,则AT亦可
逆,且?AT??1??A ?.?1 T另外, 当A?0时,定义A?k ??A?1?k.?k为正整数?A0?E,
当A?0,?,?为整数时,有?A??? ?A??.A?A? ?A???,?5?若A可逆,则有A?1
? A?1.例4.设A为三阶矩阵,且A ?1,2A?1?3A? ?A? AA?1?A?1解：2A?1
?3A?5A?1?53? 1 ?53A? 4 2 3?1 0?,AB?A?2B,求B??1 2例5.
设A??1??3?? ?AB?2B?A ?(A?2E)B?A?B?(A?2E)?1A3.初等
变换和初等矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:?1?对调两行（对调i,j两行,记作ri ?rj）?2?以数k?
0乘以某一行的所有元素;（第i 行乘k,记作ri?k）?3?把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第
j行的k倍加到第i行上记作ri?krj）.同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．定义2
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换ri ?rjri
?rj;r?kr?(1)或r ?k;kiiiri?krj逆变换 ri?(?k)rj或ri?
krj.矩阵的等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与B等价，记作A~B．可逆阵与单位阵等价利
用初等变换求逆阵的方法：对n?2n矩阵(A E)施行初等行变换，当把A变成E时，原来的E就变成A?1.
4.矩阵的秩定义1 在m?n矩阵A中任取k行k列（k?m,k?n），位于这些行列交叉处的个k2
元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式.m?n矩阵A的秩R(A)
是A中不等于零的子式的最高阶数.如果矩阵A的秩等于该矩阵的行数(或列数),则称为满秩矩阵,可逆矩阵就是满秩矩阵.?1
0 0?2?A??0 12的秩。例6：求矩阵???04?? ?解：A ?0但A中有2阶子式不为零，故R(A)?
2?2 ?1 0 3 ?2?3 1 ?2??求矩阵B??05?的秩.例7?00 0 4 ?3??0 0 0
0?0? ?解 ? B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行? B的所有4阶子式全为零.2 ?1 3而0 3 ?2?24
?0,0 0 4? R(B)?3.求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩
阵的秩.?3 2 0 5 0??3 ?2 3 6 ?1?0 1 56 ?4 ?1设A???,求矩阵A的例8?
2?1?3?4???秩．对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵解?3 2 0 5 0 ????2 3 6 ?1?A??
3?20 1 5 ?3?? ?1 6 ?4 ?1 4???1 6 ?4 ?1 4 ??3 ?2 3 6 ?1
?r1?r4???20 1 5 ?3??3 ?2 0 5 0???3 2 0 5 0 ????2 3 6 ?1?
? 0 1 5 ?3?1 6 ?4 ?1A??3?2?4???1 6 ?4 ?1 4 ?? ?0 ?4 3
1 ?1? 0 1 5 ?3??3 2 0 5 0r1?r4r2?r4???2???3 2 0 5 0 ???
?2 3 6 ?1?? 0 1 5 ?3?1 6 ?4 ?1 4 ?A??3?2?r1?r4??1 6
?4 ?1 4?? ?0 ?4 3 1 ?1r2?r4r3?2r1??? ?12 9 70 ?16 12
8?0?11??12?r4?3r1???1 6 ?4 ?1 4 ??0 ?4 3 1 ?1?0 0 4r3
?3r2???0?8?r4?4r2??0 0 0 4 ?8??1 6 ?4 ?1 4 ??0 ?4 3 1
?1? ?? 0 0 4 ?8??0 0 0 0 0??r4?r3?0?R(A)?3.?由阶梯形矩阵有三个非零行
可知与矩阵的秩有关的结论初等变换不改变矩阵的秩等价矩阵有相同的秩设C?A?B 则R(C)?R(A),R(C)?R
(B)当B是可逆矩阵时,有R(C)?R(A)A?B?0则R(A)?R(B)?n4.设三、n维向量1.向量组的
线性相关性n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数
ai称为第i个分量.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．一个向量由一个向量组线性表示给定向量组A
:?1,?2,?,?m和向量b,如果存在一组数?1，?2，?,?m，使b??1?1??2?2???m
?m则向量b是向量组A的线性组合，称向量b能由向量组A线性表示。定理1 给定向量组A:?1,?2,?,?m和向量b,向量
b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A?(?1，?2，?,?m)的秩等于矩阵B?(?1，?2，?,?m,b
)的秩.例9：判别向量b能否由向量组A线性表示,其中?1? ?4? ?2?? 0?? ?? ?? ?? ?? ?
? ?b??14?,??3?A：? ??7?,?2?,?0?;123??1??3??1?? ?? ??
?? ?解：考虑? 1 4 2 0 ? ?1 4 2 0?2 0 14???0 2 5??1 3 1 ?3? 0
29?? ??11?B?(Ab)?? 7?083??R(A)?R(B)?3? ? ?向量b能由向量组A线性表
示.两个向量组等价定义2 设有两个向量组A:a1,a2,?am及B:b1,b2,?bs，（1）若向量组B
中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。（2）若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两
个向量组等价。向量组的线性相关性给定向量组A:?1,?2,?,?m,如果存在不全为零的数k1,k2,?,km使k1?
1?k2?2???km?m?0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．由定义3可得：1、任一向量组不是线性相关就是
线性无关。2、含零向量的向量组一定线性相关。3、单个非零向量一定是线性无关。4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
定理2向量组?1,?2,?,?m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A? (?1,?2,?,?m)的秩小
于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m.n维向量组例10e ??1,0,?,0?T,e ??0
,1,?,0?T,?，e ??0,0,?,1?T1 2 n称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.n维单位坐标向量组构成的
矩阵E?(e1,e2,?,en)解E ?1?0，知R(E)?n.是n阶单位矩阵由.即R(E)等于向
量组中向量个数，故由定理2知此向量组是线性无关的.与线性相关性有关的结论:部分相关整体相关。（2）m个n维向量，当维数n小
于向量个数m时一定线性相关。向量组A:?1,?2,?,?m线性相关的充分必要条件是A中至少有一个向量?i能由其余(n?1
)个向量线性表示.设向量组A:?1,?2,?,?m线性无关,而向量组B:?1,?,?m,b线性相关,则向量b必
能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.例11：设?、?、?、?是n维向量，已知?、?线性无关，?不能由?、
?线性表示，?能由?、?线性表示，则以下选项正确的是：(A)?、?、?、?线性无关(B)?、?、? 线性无关(C
)?、?、?线性相关(D)?、?、?线性无关四、线性方程组1.线性方程组的三种表达方式???a1nxn ?b1
?a11x1?a12x2?a x ?a x ???a x ?b?21 1 22 2 2n n 2（1）??????
??????????am1x1?am2x2???amnxn ?b3若记a12 ?a22 ?? ? ?a a ? a
?b1??x1??a11a1n?? ???? ?A??a21a2n?,x??x2?b??b2
?????? ? ?? ? ??mn? ? n?? ?x? ??b ??m1 m2? m?则上述方程组（1）可写成矩
阵方程Ax?b如果将矩阵A的列向量组记为?1,?2,?,?n则方程组（1）还可表为向量方程x1?1?x2?2??
?xn?n ?b2.线性方程组有解的判定条件定理1 n元齐次线性方程组Am?nx?0有非零解的充分必要条件是系
数矩阵的秩R?A??n.定理2 n元非齐次线性方程组Am?nx?b 有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增
广矩阵B??A,b?的秩.3.线性方程组解的性质与结构齐次线性方程组解的性质齐次方程Ax?0的任意有限个解向量的线性组
合仍是该方程组的解向量。基础解系的定义向量组?1,?2,?,?t是齐次线性方程组Ax?0的一组解向量,如果(1)?1
,?2,?,?t是线性无关的;(2)Ax?0的任一解都可由?1,?2,?,?t线性表出.则称?1,?2,?,?t
是方程组Ax?0的基础解系。注：基础解系不唯一齐次线性方程组解的结构当R(A)?r?n时,方程组Ax?0必有含
n?r个向量的基础解系?1,?2,?,?n?r,且方程组得通解为:x?k1?1?k2?2???kn?r?n?
r其中k1,k2,?,kn?r为任意常数.当R(A)?n时,方程组只有零解,故没有基础解系非齐次线性方程组解的性质
(1)非齐次方程Ax?b任两个解的差是对应的齐次方程Ax?0的解.(2)非齐次方程Ax?b的一个解与对应齐次方
程Ax?0的一个解的和,仍是非齐次方程Ax?b的解.（3）设?1,?2,?,?s是非齐次方程Ax?b的解向
量，则k1?1?k2?2???ks?s仍是Ax?b的解向量，k1,k2,?,ks为任意实数，且k1?k2
???ks?1非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组Ax=b的通解为x?k? ????.???k1 1 n
?r n?r其中k1?1???kn?r?n?r为对应齐次线性方程组的通解，??为非齐次线性方程组的任意一个特解.
3.线性方程组的解法齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便
可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例12求解齐次线性方程组?x1?2x2?x3?x4
?0?2x ?x ?2x?2x ?0 .?1 2 3 4?? x1?x2?4x3?3x4?
0解对系数矩阵A施行初等行变换?1 2 2 1 ? r1 ?2 ?2??1 ?4 ?3?2 2 1 ??0 ?
3 ?6 ?4??0 ?3 ?6 ?4??2r?1??1??2A??2r3?r1?1?????5
??10 ?2??3??1 2 2 1??0 1 2?0 0 0 0?4 ??4?r1?2r2r3?r
21 20 0?0?3 ??3?r2?(?3)???00 ?????即得与原方程组同解的方程组?x ?2x ?5
x ?0,?1 343?4?x2?2x3? x4?0,?3?x ?2x ?5x,?1 343由此即得?
4?x2??2x3? x4,(x3,x4可任意取值).? 3令x3?c1,x4?c2，把它写成通常的
参数形式? 5 ?5?? 3 ??x1?2c1? c2,?x1? ? 2 ?? ? ? ?x ?23? 4???
?2??c??.4???c??2??x2??2c1?3c2,?x3?1? 1 ?3?? ?
? ?x 0? 0 ?? 1 ??x ?c,? 4? ? ??3 1? ??x ?c ,? 4 2例13 求解非齐次方程
组的通解?x1?x2?x3?x4?0?x?x2?x3?3x4?1 .?1??x1?x
2?2x3?3x4??12解 对增广矩阵B进行初等变换0 ?1 ?1 ?1 1 00 2 ?4 10 ?
1 2?1 ?1 ?1 1?1 1 ?3?1 ?2 3??? ???1 ?~?0B??1??0?1?1
2??12??????1 ?1 0 ?1 12?? ?~?0 0 1 ?2 12?.0 0 0?00 ??
?由于R?A??R?B??2,故方程组有解，且有?x1?x2?x4?12?x1?x2?x
4?12 ??x2?x2?0x4?x ?2x ?12 ?x ?0x ?2x ?12?
?3 43 24??x4?0x2?x4所以方程组的通解为?12??x1? ?1? ?0?? ? ? ? ?
? ? ??x2??x ?1??x ?0??? 0 ?.?x ?2?0?4?2??12?3???
? ? ? ? ??0? ?1? ? 0 ??x4?其中x2,x4任意.例14：设?1、?2是线性方程组Ax=
b的两个不同的解，?1、?2是导出组Ax=0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax=b的通解是：(A)?1??2?
k1?1?k2(?1??2)2(B)?1?k1(?1-?2)+k2(?1-?2)(C)?1??2?
k1?1?k2(?1??2)2(A)?1??2?k1?1?k2(?1??2)2五、矩阵的特征值和特征向
量定义1 设A是n阶矩阵,如果数?和n维非零列向量x使关系式Ax??x (1)成立,那末,这样的数?称为方阵A的特征
值,非零向量x称为A的对应于特征值?的特征向量.特征方程A??E ?0的根就是方阵A的特征值，齐次线性方程组（A
??E）?0的非零解就是对应的特征向量。求矩阵特征值与特征向量的步骤：(1).计算A的特征多项式det?A??E?
(2).求特征方程det?A??E??0的全部根?1,?2,?,?n就是A的全部特征值;(3). 对于特征值?i
,求齐次方程组?A??iE?x?0的非零解,就是对应于?i的特征向量.特征值、特征向量性质（1）属于不同特征值的
特征向量是线性无关。(2)若?是矩阵A的特征值，x是A属于?的特征向量，则.?m是Am的特征值?m是任意常数?.当A可逆时
,??1是A?1的特征值.k?是kA的特征值（k是任意常数）?1?例15求A?? 3??1 3 ?的特征值和特征向量
.? ?解A的特征多项式为3?? ?1?1 3???(3??)2?1?8?6???2?(4?
?)(2??)所以A的特征值为?1?2,?2?4.当?1?2时,对应的特征向量应满足?3?2?1
??x1???0?,??3?2??x ? ?0??1?? 2? ? ?? x1?x2?0,即?x
?0.??x?1 2?1?解得 ? ,x x2 所以对应的特征向量可取为p ?? ?.111? ?当?2?4时,由?
3?4??1?1 ??x1???0?,?1??x1???0?,? ?? ?? 3?4??x
2? ? ? ? ?? 2?? ?即? ?? ? ? ?0 ?1 ?1 x 0?1? ?解得x1??x2,
所以对应的特征向量可取为p ???1?.? ?12? ?六、矩阵相似与对角化1、相似矩阵与相似变换的概念定义 设A,B都是
n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P?1AP?B,(A?PBP?1)则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A
进行运算P?1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.2、相似矩阵的性质（1）相似关系是等价关
系(2).若A与B相似,则Am与Bm相似?m为正整数?.(3)A与B相似,则kA与kB相似,k为常数;相似矩阵有相同的特
征多项式，有相同的特征值。A与B相似,则det(A)?det(B);若A与B相似,且A可逆,则B也可逆,且A?1与B?
1相似.3、方阵的对角化如果方阵A与一对角阵相似,则称方阵A可对角化.n阶矩阵A与对角矩阵相似?A有n个线性无关的特征向量.n
阶矩阵A与对角矩阵相似?A有n个不同的特征值.4、实对称矩阵的性质特征值为实数；属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值
的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．六、二次型
定义1 含有n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次函数x2 x2 x2f?x ,x ,?,x ??a?a ???a1 2 n 11 122 2 nn n?2a12x1x2?2a13x1x3称为二次型.???2an?1,nxn?1xn? ?222f x,x ,x?2x ?4x ?5x ?4xx例：1 2 3 1 23 1 3只含有平方项的二次型f ?k y2?k y2???k y21 1 2 2 n n称为二次型的标准形．? ?2 22f x,x ,x?x ?4x ?4x例：1 2 3123?x1?? ??x2?二次型可记作f ?xTAx,其中A为对称矩阵.记 x????? ?x? n?写出二次型例f ?x2?2x2?3x2?4x x6x x1 2 3 1 22 3的矩阵.解a11?1,a22?2,a33??3,a12?a21?2,a13?a31?0,?1 2 0 ?2 ?3?.?3a23?a32??3.?? A??2??0?3???对称矩阵A叫做二次型f的矩阵;f叫做对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩.a x x ?a?a ?,总有n定理2 任给二次型f ??ij i j ijjii,j?1正交变换x?Py,使f化为标准形f ?? y2?? y2???? y2,1 1 2 2 n n其中?,? ,?,?是f的矩阵A??a ?的特征值.1 2 n ij正(负)定二次型的概念定义：对于不全为0的一组实数x1,x2,?xn, 若二次型f恒为正（负）数，则称二次型为正（负）定的。例如f ? x2?4y2?16z2为正定二次型f ??x2?3x21 2为负定二次型二次型f为正定的充要条件是f的矩阵A的特征值都为正。 |
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