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| 中考数学二轮复习：几何辅助线、二次函数压轴题全解__参考答案 |
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如图2，由（1）知AP＝AD，AB＝AC，∠BAP＝∠CAD＝β，
∴△ABP≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD．∵AC⊥BD，∴∠GDN＝90°－β，
∵GN＝GD，∴∠GND＝∠GDN＝90°－β，
∴∠NGD＝180°－∠GND－∠GDN＝2β．∴∠AGF＝∠NGD＝2β．
∴∠AFG＝∠BAD－∠AGF＝3β－2β＝β．
∵FN平分∠BFM，∴∠NFM＝∠AFG＝β，∴FM∥AE，∴∠FMN＝90°．
∵H为BF的中点，∴BF＝2MH．
在FB上截取FR＝FM，连接RM，
∴∠FRM＝∠FMR＝90°－β．∵∠ABC＝90°－β，∴∠FRM＝∠ABC，∴RM∥BC，
∴∠CBD＝∠RMB．∵∠CAD＝∠CBD＝β，∴∠RMB＝∠CAD．
BRBMBM33
∵∠RBM＝∠ACD，∴△RMB∽△DAC，∴＝＝＝，∴BR＝CD．
CDACAB44
333
∵BR＝FB－FM，∴FB－FM＝BR＝CD，FB＝FM＋CD．∴2MH＝FM＋CD．
444
【方法二】
如图3，由（1）得AP＝AD，AB＝AC，∠BAP＝∠CAD＝β，
∴△ABP≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD．∵AC⊥BD，∴∠GDN＝90°－β，
∵GN＝GD，∴∠GND＝∠GDN＝90°－β，
∴∠NGD＝180°－∠GND－∠GDN＝2β．∴∠AGF＝∠NGD＝2β．
∴∠AFG＝∠BAD－∠AGF＝3β－2β＝β．
∵FN平分∠BFM，∴∠NFM＝∠AFG＝β，∴FM∥AE，∴△ABE∽△FMB，
ABAEBE
∴＝＝，∠FMN＝90°，∵H为BF的中点，∴BF＝2MH．
FBFMBM
过点M作MK⊥BA于点K，则∠MKB＝∠AEB＝90°，
设AB＝4x，AE＝4y，则AC＝4x，CE＝4(x－y)，
2222
∴在在Rt△ABE中，BE＝AB－AE＝4x－y，
∵BM：AB＝3：4，∴BM＝3x，∵∠MBK＝∠ABE，∴△MKB∽△AEB，
2
ABAEBE3xy3x
22
∴＝＝，∴MK＝3y，MK＝3x－y，∴FM＝，BF＝，
2222
MBMKBK
x－yx－y
2
BABE4(x－xy)
又∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC，∴＝，∴CD＝，
22
CDCE
x－y
22
3x3xy34(x－xy)3
∴2MH＝BF＝＝＋2＝FM＋CD．
222222
44
x－yx－yx－y
FF
A
AA
GG
HH
K
R
D
B
E
P
BDBD
EMEM
PNPN
C
CC
100/100
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