初升高数学衔接班第3讲——因式分解一、学习目标：1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法（立方和及立方差公式）、分组分解法、十字相乘法2、了解
换元、添项拆项分解因式的方法。3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。二、学习重点：分解因式的常见方法三、课程精讲：1、知识回顾
：（1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）；（2）a2±2ab＋b2＝（a±b）22、新知探秘：如何将8＋分解因式呢？知识点一：运用
乘法公式法（立方和立方差公式）a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）；a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）.两个数的
立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。例1.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：（1）（
2）思路导航：（1）中，，（2）中解：（1）（2）点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆
用了法则；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。例2.因式分解：思路导航：原式中多项式为两项式，观
察有公因式3b，应先提取公因式，再进一步分解；解：.仿练：思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现，可看作是或。解：点津：在进
行多项式分解时，如果各项中有公因式，那么应先提取公因式。知识点二：分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是
二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行
因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组。1、分组后能提取公因式例3.把分解因式。思路导航：把多项式的四项按前
两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提取公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式。解：
点津：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，
同学们不妨一试。例4.把分解因式。思路导航：若按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。解：点
津：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可
以看出运算律在因式分解中所起的作用。2、分组后能直接运用公式例5.把分解因式。思路导航：把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因
式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提取公因式后，另一个因式也是。解：仿练：把分解因式。思
路导航：先将系数2提取后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。解：点津：从例5
可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，
那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。知识点三：十字相乘法1、型的因式分解例6.分解因式：把下列各式分解因式：（1）（2
）思路导航：利用上述公式解：（1）。（2）点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项相同。例7.
把下列各式分解因式：（1）（2）思路导航：利用上述公式解：（1）（2）点津：由此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因
数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。例8.把下列各式因式分解：（1）（2）思路导航：（1）把看成的二次三项式，
这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数。（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解
二次三项式。解：（1）（2）点津：“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会2、一般二次三项式的分解因式大家知道，。
反过来，就可得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成.这种借
助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。例9.分解因式：（1）（2）思路导航：（1）（2）解
：（1）（2）仿练：分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）.解：（1）如图1，将二次项x
2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次
项，所以，有x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）。（2）由图2，得x2＋4x－12＝（x－2）（x＋6）（3）由图3，得＝（4
）＝xy＋（x－y）－1＝（x－1）（y＋1）（如图4所示）图4点津：用十字相乘法分解二次三项式很重要。当二次项系数不是1时较困难
，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先
“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。知识点四：配方法例10.分解因式：解：（1）（2）这种设法配成含有完全平方式的方法叫做配方
法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解因式。【直击高中】（1）换元法例11.分解因式思路导航：将看作y，进行
换元。解：原式＝＝所以，原式＝点津：将看作y，分解，再把y＝代入，即得原式的分解式，这种因式分解的方法叫做换元法。（2）拆、添项
法例12.分解因式思路导航：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行。细查此式中无一次项，如果它能分解成几个因式
的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。解：点津：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式
分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式法的条件。本题还可以将拆成，将多项式分成两组和.四、知识提炼一般地，因
式分解，可按下列步骤进行：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法
或其他方法（如十字相乘法）来分解因式；（3）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。五、目标期望因式分解是代数式的一
种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反的变形。在分式运算、解方程以及各种恒等变形中它都有着重要的应用。通过本节课的学习，让学生了解、
认识因式分解时的常用方法，特别是要熟练掌握对系数不为“1”的二次三项式形式的代数式分解因式，以便在后续阶段对方程、函数、不等式的学
习时，提高学生恒等变形的能力。六、下讲预告下节课我们将学习一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系所包含的知识
，在高中数学的二次函数、不等式以及解析几何等内容中都有着广泛的应用。【同步练习】（答题时间：45分钟）一、选择题：1.一次课堂练
习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（）A.x3－x＝x（x2－1）B.x2－2xy＋y2＝（x
－y）2C.x2y－xy2＝xy（x－y）D.x2－y2＝（x－y）（x＋y）2.下列各式能分解因式的个数是（）①x2
－3xy＋9y2②x2－y2－2xy③－a2－b2－2ab④－x2－16y2⑤－a2＋9b2⑥4x2－2xy＋
y2A.5个B.4个C.3个D.2个3.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余
质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是（）A.米B.（＋1）米C.（＋1）米D.（＋1）米4.若x－＝7，则x2
＋的值是（）A.49B.48C.47D.515.多项式的一个因式为（）A.
B.C.D.二、填空题1.将a3－a分解因式，结果为________.2.分解因式2x2＋4x＋2＝_______
_________.3.分解因式x2－2x－1＝_____________4.分解因式4＝__________三、解答题1.
因式分解：2.分解因式（1）；（2）.3.证明：当为大于2的整数时，能被120整除。4.已知，求证：【试题答案】一、选择题1.A2.C3.B4.D5.B二、填空题1.a（a＋1）（a－1）2.3.4..三、解答题1.＝＝＝.或＝＝＝.2.解：（1）＝＝＝或＝＝＝＝＝（2）＝＝＝2。3.证明：因为所以当为大于2的整数时，为120的倍数，所以结论成立。4.证明：因为=0，所以原式得证。 |
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