第1课数与式的运算(1)5第2课数与式的运算(2)7第3课因式分解(1)10第4课因式分解(2)12第5课一元二
次方程(1)14第6课一元二次方程(2)17第7课方程与方程组19第8课二次函数(1)21第9课二次函数(
2)23xx第10课函数y=kx+b(k≠0),y=k(k≠0)及y=x+1……………………………………25第11课解不
等式27第12课相似三角形29第13课四点共圆32第14课圆幂定理35第15课三角形的“四心”38衔接达
标测试……………………………………………………………………………………………41┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、绝对值{绝对值的代数意义:正数的绝对值是它
的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.a,a>0,即|a|=0,a=0,-a,a<0.绝对值的几何意义:一个数的绝
对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义:|a-b|表示在数轴上,数a和数b之间的距离.例1在数轴上
表示|x+1|与|x-1|的几何意义.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2┈
┈化┈简┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)|3x-2|;(2)|x+1|+|x-3|;(3)x2-4x+4;(4)t
4+4t2+4.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈3┈┈解┈下┈列┈方┈
程┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)|x-1|=1;(2)|x2-1|=1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈4┈
┈解┈下┈列┈不┈等┈式┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)|2x+3|≤2;(2)|x-1|+|x-3|>4.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例5画出下列函数的图象.
(1)y=|x|;(2)y=|x-2|+|x+2|.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈二┈、乘┈┈法┈公┈┈式┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈??????????????
??????????????????????1?.?平?方?差?公?式?:(?a+?b?)(?a?-b?)?=a?2?-b?2.
????完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.3.立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.
4.立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.5.三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+
2(ab+bc+ac).两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.两数差立方公式:(a-b)3
=a3-3a2b+?????????????????????3ab2-b3.例6因式分解.(1)x3-1;(2)x3+1
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例
7计算:(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈8┈┈已┈知┈:x┈+
┈y┈=┈1,┈求┈x┈3+┈y┈3+┈3┈xy┈的┈值┈┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈┈┈已┈知┈:┈
2┈┈┈┈┈┈,┈求┈3┈┈1┈的┈值┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8.计┈┈算┈:(1┈)┈(4┈+┈m┈)(
1┈6┈-┈4m┈+┈m┈2)┈;┈(2┈)(x┈2┈+┈2x┈y+y2)·(x2-xy+y2)2;(3)(a+b)(a
2-ab+4b2)-(a+b)3;(4)(a-4b)(1a2+4b2+ab).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9
x-3x+1=0x+x3.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9.已┈┈知┈:x┈2┈x┈┈┈┈,┈求┈x┈3┈1┈
的┈┈值┈.┈┈┈┈-5+1=0+x32+32-333┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例10设x=2-3,y=2
+3,求:x+y的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1.下列叙述正确的
是()A.若|a|=|b|,则a=b21=B.若|a|>|b|,则a>bC.若a则a=±b.如果|a|+|b|=5,且a=-,则b;若|1-c|=2,则c=.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10+
+=0b+c+c+a.┈已┈知┈:a┈┈b┈c┈┈┈,求┈a┈(┈1┈┈1┈)┈b┈(┈1┈┈1┈)+c(a1+b1).┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈>0=3ax+-xa11.已┈┈知┈:a┈┈,a┈2x┈┈,┈求┈:a┈3x┈+a┈-┈
3x┈的┈值┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈3.若|x|=5,则x=;若|x|=|-4|,则12.已知:a2-4a+1=0,求:a2的值.x=.4.解不等式|
x2-1|≤2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.解┈┈方┈程┈3|┈x┈+1┈|┈-1┈=┈5┈.┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈a4+5a2+1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13已知:,求11.abc┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈+c++=0b2+c2-a2+a2+c2-b2┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈+a2b12-2
的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6.化┈┈简┈:|x┈+┈1┈|-┈|┈x┈-2┈|┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7.画┈┈出┈下┈列┈函┈数┈的┈图┈象┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)y=-|x+1
|(2)y=|x|+|x-1|┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14.┈已┈知┈:a
┈+b┈+┈c=┈0┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈求证:a3+a2c+b2c-abc+b3=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、比例与齐次式我们在式的运算
中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转
化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想.例1已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证:此三角形为直角三角形.┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈┈┈已┈知┈:┈┈┈┈┈且┈1┈┈2┈,求┈┈和┈┈┈┈┈4a
+b=1b=aab.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈A┈B┈例2已知△ABC中,有ADAEDBEC=AC,求证:AD=A
E.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例已知:ac┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈已┈知┈:x┈∶┈y┈∶┈z=┈1┈∶┈2┈∶3┈.┈┈┈┈┈┈┈xyz求x3-yz
2+3z3的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈┈已┈知┈y┈=┈
2x┈(x┈≠┈0┈).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2x+2yy求x2-3xy+y2的值.(2)求证:x2+3xy-y2
=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3b=d.bdbdbdb+d求证:(1)a-b=c-d;(2)a+b=c+d
;(3)a=c=a+c.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈二、二次根式????????????≥0?一?般?地?,形?如??a?(a??)?的?代?数?式?叫?做
?二?次?根??式.其运算性质如下:1.(a)2=a(a≥0).2.a2=|a|.3.ab=a·b(a≥0,b≥0)
.4.b=b(a>0,b≥0).例11化简:x2+6x+9+x2-4x+4.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈12┈┈┈已┈知┈:x┈>┈0,┈y
>┈0┈,x┈+┈2┈┈xy┈-┈1┈5y┈=┈0┈.求x-y的值.?????????????????????aax+xy例
7化简:(3+2)2012·(3-2)2013.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈8┈┈试┈比┈较┈下┈列┈各┈组┈数┈的┈┈大┈小┈.┈┈┈┈┈┈(1)
12-11和11-10;┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3-23+2┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例13已知:x=3+2,y=3-2.求
:3x2-5xy+3y2的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2)2和22-6.6+4┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈9┈┈将┈下┈列┈式┈
子┈化┈为┈最┈简┈┈根┈式┈.┈┈┈┈┈┈(1)12b;(2)a2b(a≥0);┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈y1.已知:x2-3xy+2y2=0,则x
=.2.若a=b=c=k,则k=.(3)4x6y(x<0).b+cc+aa+b┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈????????????┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例10
化简:(1)9-45;(2)x+x2-2(0┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8已知三角形的三边之比为5∶12∶13.求证:此三角形为直
角三角形.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈+5-6=02x-y4.已┈┈知┈:x┈2┈x┈y┈┈y┈2┈┈,┈求
┈:2x┈+┈3┈y的┈┈值┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈x2+2y5.已知x∶y=1∶2,求:x2-3xy+4y2的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈已知:x=a+a1x+2+x-2.x+2-x-2(a
>0),化简:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6.已┈┈知┈:a2┈=┈b2┈+┈c2┈(a┈>┈0┈,b>┈
0┈,c┈>┈0┈).┈┈┈┈┈(1)b=1,求c的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈a2ab≥1,求c的取值范
围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈a2a┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3┈-┈┈5┈┈┈┈x2┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈已知:x=2,求x4+x2+1的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7.已┈┈知┈:a2┈+┈b2┈=┈c
2┈(a┈>┈0┈,b>┈0┈,c┈>┈0┈).┈┈┈┈┈(1)c=2,求b的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
2┈┈┈┈┈┈┈┈2┈┈┈1┈┈┈┈aa11.计算:3×6-(2-5)+5+2.aa(2)c≥2,求b的取值范
围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2)++12.化┈┈简┈下┈列┈各┈式┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)8-28;┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2┈┈2┈┈2┈┈┈┈12+113+2
14+3+…+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2ab8.已知a∶b∶c=2∶3∶4,求a+b-c的值.┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1100+99.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及
各种恒等变形中它都有着重要的作用.因式分解的方法较多,除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公
式)外,还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等.因式分解的问题形式多样,富有综合性与灵活性,因此,因式分
解也是一种重要的基本技能.一、提取公因式法例13x2-6x+3.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈二┈、公┈┈式┈法┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例2(1)8+x3;(2)x2+2xy+y2-z2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈三┈、分┈┈组┈分┈┈解┈法┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例3(1)2ax-10ay+
5by-bx;(2)x3-x2+x-1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈四┈、
配┈┈方┈法┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例4(1)x2+6x-16;(2)x2+2xy-3y2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈五、拆项添项法例5(1)x
3-3x2+4;(2)x3-2x+1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈、
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈六求根公式法例6(1)x2-x-1;(2)2x2-3x-1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈、┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈七十字相乘法x2+(
p+q)x+pq型式子的因式分解我们来讨论x2+(p+q)x+pq这类二次三项式的因式分解.这类式子在许多问题中经常出现,
它的特点是二次项系数是1;常数项是两个数之积;一次项系数是常数项的两个因数之和.对这个式子先去括号,得到x2+(p+q)x+p
q=x2+px+qx+pq,于是便会想到继续用分组分解法分解因式,即x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=
x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).因此,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).运用这个公式,可以把某些
二次项系数为1的二次三项式分解因式.例7把下列各式分解因式:2(1)x2+3x+2;(2)x2-x-20;(3)x2-
5x+1;(4)x2+11x+24.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈八┈、a┈x┈2+┈b┈x┈+┈c┈┈型┈因┈式┈
┈分┈解┈┈┈┈┈┈┈我们知道,(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2
+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来,就得到a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(
a2x+c2).我们发现,二次项的系数a分解成a1×a2,常数项c分解成c1×c2,并且把a1,a2,c1,c2
排列如:图,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到a1c2+a2c1,如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2
+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2),其中a1,c1位于上图上2.把下列各式分解因式:(1)x2-3
x+2;(2)x2+37x+36;(3)x2+11x-26;(4)x2-6x-27;(5)m2-4mn-5n2;(6)(
a-b)2+11(a-b)+28.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3.把┈┈
下┈列┈各┈式┈分┈解┈因┈式┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)ax5-10ax4+16ax3;(2)an+2+an+1b
-6anb2;(3)(x2-2x)2-9;(4)x4-7x2-18;(5)6x2-7x-3;(6)t6-9t3+
8;(7)7(a+b)2-5(a+b)-2;(8)(6x2-7x)2-25.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一行,a2,c2位于下一行.像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助4.把┈┈下┈列┈各
┈式┈分┈解┈因┈式┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.必须注意,分解因数及十字相乘都有
多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.例8(1)6x2+5x+1;(2)6x2+1
1x-7;(3)42x2-33x+6;(4)2x4-5x2+3;(5)2t6-14t3-16.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈1.把下列各式分解因式:(1)3ax-3ay+xy-y2;(2)8x3+4x2-2x-1;(3)5x2-1
5x+2xy-6y;(4)4a2-20ab+25b2-36;(5)4xy+1-4x2-y2;(6)a4b+a3b2-a
2b3-ab4;(7)x6-y6-2x3+1;(8)x2(x+1)-y(xy+x).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.把┈┈下┈列┈各┈式┈分┈解┈因┈式
┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)a3+27;(2)8-m3;(3)-27x3+8;(4)-1p3(1)xy3+x4;
(2)xn+3-xny3;(3)a2(m+n)3-11118┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈a2b3;(
4)y2(x2-2x)3+y2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11-64q3;(5)8x3y3-125;(6)
216x3y3+27c3.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈把下列各式分解因式:3(1)x2+15x+56;(2)x2+x-30;(3)x2+25x+150;(4)x2+8x
-1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2.把┈┈下┈列┈各┈式┈分┈解┈因┈式┈:
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)6x2+7x-3;(2)12x2+25x+12;(3)42x2-5x-2;(4)72x2+7
x-2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3.x┈2┈+┈(p┈+q┈)┈xy┈+┈
pq┈y┈2型┈式┈子┈┈的┈因┈式┈分┈解┈┈┈我们来讨论x2+(p+q)xy+pqy2这类二次齐次型的因式分解,它的特点
是x2的系数为1;y2的系数为两个数的积(pq);(3)xy的系数为这两个数之和(p+q)x2+(p+q)xy+pqy2
=x2+pxy+qxy+pqy2=x(x+py)+qy(x+py)=(x+py)(x+qy).例x2+(3+1)xy+1×
3y2=(x+y)(x+3y)对照x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)看它们有怎样的联系,又有怎样的区别?联系:
分解的方式完全一样.区别:一元二次型是二个一元一次型的积,二元二次齐次型是二个二元一次齐次型的积例1把下列各式因式分解:(1)a2
-2ab-8b2;(2)x+5xy-6y(x>0,y>0);(3)(x+y)2-z(x+y)-6z2;(4)m4+
m2n2-6n4.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.a┈x2┈+┈bx┈y┈
+c┈y┈2型┈的┈┈因┈式┈分┈解┈与┈ax┈2┈+b┈x┈+c┈型┈的因式分解有怎样的联系,又有怎样的区别?例2把下列各式因
式分解:(1)6m2-5mn-6n2;(2)20x2+7xy-6y2;(3)2x4+x2y2-3y4;(4)6(
x+y)+7z(x+y)+2z(x>0,y>0,z>0).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F型的因式分解.例3(1)x2-x
y-2y2-2x+7y-3;(2)ab-2a-b+2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈6.含┈┈参┈数┈的┈因┈式┈分┈解┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例4x2+(2m+1)x+m2+m.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈解┈┈方┈程┈:6┈x2┈+┈(3┈m┈-┈2┈)x┈-┈m
┈=┈0┈(m┈为┈常数).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(┈┈┈)┈┈┈┈┈┈┈┈(5)2a4+a2b2-3b4;(6)a6-7a3
b3-8b6.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2.把┈┈下┈列┈各┈式┈分┈解┈因┈式┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)
x2-y2-x+3y-2;(2)6xy+4x+3y+2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3.把┈┈下┈列┈各┈式┈分┈
解┈因┈式┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)x2-(a+b)x+ab;(2)(x+y)2-(3+a)|x+y|+3a.┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈-+t+1=04.解┈┈方┈程┈x2┈┈(t┈┈1┈)x┈┈┈┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例6解不等式x2-2a+1x+a2+2a≤0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈把下列各式分
解因式:(1)x2-6xy-7y2;(2)x2+xy-56y2;(3)8x2+26xy+15y2;(4)7(a+
b)2-5(a+b)c-2c2;┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.解┈不┈等┈式┈x┈2┈-(┈a2┈+a┈+┈1┈)
x┈+a┈2(┈a+┈1┈)≤┈0┈(a≥┈2┈).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、一元二次方程的根的判别式一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方例2用求根公式求出下列方程的根.(1)x2-3x-5=0;?b?2b2-4a
c(2)3x2+5x-1=0.法将其变形为?x+2a÷=42.è?a当b2-4ac>0时,右端是正数.因此,方程
有两个不相等的实数根:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈x1,2=-b±2b
2-4ac;┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈a当b2-4ac=0时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:2ax
1,2=-b;当b2-4ac<0时,右端是负数.因此,方程没有实数根.由于可以用b2-4ac的取值情况来判定一元二次方程
的根的情况.因此,把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,表示为Δ=b2-4ac.例1
不解方程,判断下列方程的实数根的个数.(1)x2+x-1=0;(2)x2-4x+4=0;(3)x2-x+1=0.┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈3┈┈已┈知
┈关┈于┈x┈的┈一┈┈元┈二┈次┈方┈程┈3x┈2┈-┈2x┈+┈k=0根据下列条件,分别求出k的范围.(1)方程有两个不相等
的实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有实数根;方程无实数根.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈4┈┈已┈
┈知┈方┈程┈x┈2┈+k┈x┈+┈1┈=┈0┈(k┈>┈0┈)有┈实┈数根.求函数y=k2+2k-1的取值范围.┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例5若方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根且方程tx2+4x+1=0(t≠0)有两个不相等的实
数根.化简|x-k|+|x-t|.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=
0(a≠0)的两个根为x=-b+b2-4ac,x=-b-b2-4ac,例6若x1,x2是方程x2+2x-
2007=0的两个根,试求下列各式的值:1212(1)x2+x2;(2)x1+x1;(3)(x1-5)(x2-5);
(4)|x1-x2|.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈例┈7┈┈已┈知┈方┈程┈x┈2┈+t┈x┈+┈1=┈0┈,┈根┈据┈下┈列┈条┈件┈,分别求出t的范围.两个根都
大于0;12a22a两个根都小于0;所以:x1+x2=-b+2b2-4ac+一个根大于0,另一个根小于0.┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈a-b-b2-4ac=-b,2aax1·x2=-b+b2-4ac·-b-
b2-4ac┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2a2a=(-b)2-(
b2-4ac)2=4ac=c.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2a)24a2a一元二次方程根与系数的关系由
十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为“韦达定理”.定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x
1,x2,那么:x1+x2=-b,x1x2=c.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈:aa,1.一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不说明利
用根与系数的关系求值要熟练掌握以相等的实数根,则k的取值范围是.下等式变形:若x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个
根,则x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2,1112x+xx+x的值为.x1+x1=12,121
2x1x2如果方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0的两(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,|
x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2,21x1x2+x2x2=x1x2(x1+x2),根相等,则a,b,c
之间的关系是.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12x3+x3=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)等等.的斜边长是.5.已知关于x的方
程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0,m取何值时.(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(
3)方程有实数根;(4)方程没有实数根.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈:┈
┈┈┈┈┈┈┈┈(┈┈┈)┈┈┈┈┈┈9.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根,求方程的另一个根及b的值.
如果2+3是方程x2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10.┈已┈知┈:┈关┈于┈x┈的┈方┈程┈(k┈-┈1┈)x┈2+┈(┈2k┈-┈3┈)x┈+┈k+
1=0有两个不相等的实数根x1,x2.求k的取值范围;6.求证关于x的方程x2+2k+1x+k-1=0是否存在实数
k,使方程的两实根互为相有两个不相等的实数根.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7.求┈┈证┈:无┈论┈x┈取┈怎┈样┈┈的┈
实┈数┈,x┈2-┈1┈0x┈+┈36┈的┈值┈都不可能等于10.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8设┈┈┈,┈┈是┈方┈程┈┈2┈┈┈┈┈┈┈的┈两┈个┈根┈,利┈反数?如果存在,求出k的值;如果不
存在,请说明理由?┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11.已┈┈知┈:关┈于┈x┈的┈一┈元┈
二┈次┈方┈┈程┈x2┈+┈(4┈m┈+┈1)┈x+2m-1=0.求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;若方程
两根为x1,x2且满足x1+x1=·x1x22x-6x+3=0112用根与系数的关系,求下列各式的值.12(1)
x2x2+x1x2;(2)(x1-x2)2;-2,求m的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈21x1
x2(3)(x1+x1)(x2+x1);(4)12+12.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈16┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈一元二次方程x2+kx-1=0有实根,则实数k的取值范围为.例3已知x1,x2为方程x2-tx+4=0
的两个根,求x2+x2的取值范围.求证:方程x2+kx+1+k2=0没有实数根(k12为实数).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3.已┈┈知┈:关┈于┈x┈的┈方┈程┈x┈2┈+┈ax┈+┈1┈-
a┈=┈0┈,根┈据┈下┈列条件,分别求出实数a的取值范围.方程的两个根都大于0;(2)方程的两个根都小于0;(3)方程的两
个根异号;(4)方程的两个根同号.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈1┈┈已┈知┈实┈数┈x┈,┈y┈满┈足┈x┈2+
┈y┈2-┈x┈y┈+2┈x┈-┈y+1=0试求x,y的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2┈┈已┈知┈方┈程┈x┈2┈-t┈x┈+4┈=┈0┈(t┈>0┈)┈有┈实┈数┈根┈,求y=t2-4t+
3的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈4┈┈已┈知┈关┈于┈x┈┈的┈方┈程┈x┈2-┈tx┈+┈2┈-┈t=┈0
┈,根┈据下列条件,求出实数t的取值范围.两个根都大于1;一个根大于1,另一个根小于1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5xx-k+1x+4k例┈┈┈已┈知┈
关┈于┈┈┈的┈方┈程┈┈2┈(┈┈┈)┈┈1┈┈2+1=0,根据下列条件,求出k的值.方程两实根的积为5;方程的两实根x1
,x2,满足|x1|=x2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈┈已┈知┈x┈1,┈x2┈是┈一┈元┈二┈次┈方┈
┈程┈4k┈x2┈-┈4k┈x+┈k+1=0的两个实数根.2(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=
3成立?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.x2x1(2)求使x1+x2-2的值为整数的实数k的整数值.┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈7
┈┈若┈x┈1,┈x2┈是┈关┈于┈x┈┈的┈方┈程┈x2┈-┈(2┈k┈+┈1)┈x+k2-1=0的两个实数根,且x1,x
2都大于1.x22求实数k的取值范围;(2)若x1=1,求k的值.已知:实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5
=0,b2-8b+5=0.求+的值.b-1a-1a-1b-1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.已┈┈知┈:方┈程┈2┈x2┈-┈(k┈+┈1┈)x┈+┈k┈+3┈=┈0┈的┈两┈根┈之┈差为1,求k的
值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈
8┈┈求┈满┈足┈条┈件┈的┈所┈有┈k┈┈的┈值┈,使┈关┈于┈x┈的┈方┈程kx2+(k+1)x+k-1=0的根都是整数.┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1.已知:α,β是方程x2+2x-5=0的两个实数根,求α2+αβ+2α的值.┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈,┈┈┈┈┈┈┈5.已
知:x1,x2是方程x2+px+q=0的两实数根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根,求
p,q的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈6.已┈┈知┈关┈于┈x┈的┈方┈程┈x┈2+┈2┈(m┈+┈2┈)x┈+┈m┈2-┈5┈=┈0有两个实数根,并且这
两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈7.已┈┈知┈方┈程┈x2┈+┈3x┈+┈k┈=┈0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)若方程两根之差为5求k;若方程一根是另一根的
2倍,求这两根之积.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2.已知菱形ABCD的
边长为5两条对角线交于8.设┈┈实┈数┈m┈,n┈分┈别┈满┈足┈1┈9m┈2┈+┈20┈m┈+┈1=┈0┈,n┈2+┈O点
,且OA,OB的长分别是关于x的方程x22mn+3m+2+(2m-1)x+m2+3=0的根,求m的值.20n+19=0且
m·n≠1,求n的值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈18┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、一元高次方程解方程的思想:降次,方法:换元、因式分解等.例4解方程组:{2x-y-1=0,①例1解方程
:x2-4y2+x+3y-1=0.②(1)x4-13x2+36=0;(2)x6-9x3+8=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2┈┈解┈方┈程┈:
┈(1┈)x┈3+┈3┈x2┈-┈4x┈=┈0┈;┈┈┈┈┈(2)x3-2x+1=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈二解方程组┈、┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈例5解方程组:(1){┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈x┈+y┈=┈7┈,┈┈┈┈┈┈┈(2){xy=10;x2+y2=5,xy=2
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解方程组的思想:消元,方法:代入消元、加减消
元、整体消元等.例3解方程组:{3x+4z=7,①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈例┈6┈┈解┈方┈程┈组┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)xy-x-y+1=0,①(1)2x+3y+z=9,②{3x2+
4y2=1;②5x-9y+7z=8;③(2)3x2-xy-4y2-3x+4y=0,①x+y=3,①{x2+y2=25.②
(2){y+z=4,②┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈z+x=5.③┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈19┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例7解方程组:{x=y=z,①(1){3x2+xy+y2=15,①(2)3453x2-
31xy+5y2=-45;②x+y+z=24.②ì?42+42=1,①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2)?a
b??a2b2í16+1=1.②┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(a>0,b>0)┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.解┈┈方┈程┈组┈:┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1){x-y=1,;①(2{y=x2+2x-1②┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈y=x+1,①)x2+y2=1.②42例┈8┈┈已┈知┈:┈二┈次┈函┈数┈y┈=a┈x┈2+┈b
┈x┈+c┈的┈图┈象┈经┈过A(1,3),B(2,7),C(3,13)三点,求二次函数的表达式.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈5.解┈┈方┈程┈组┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈{xy+3x+y+3=0,①43{(1)x2+y2=1;②1.已知二
次函数的图象的对称轴为x=1且经过22,A(1,2),B(2,4),求二次函数的表达式.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2.解┈┈方┈程┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈(1)x3-5x-2=0;(2)x3+3x2-4x-6=0.x-y+x+y=0①(2)x2-y2=1.
②22┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈|┈┈┈,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈ì?a|=b,①íc6.解方程组:?a+b+c=1②┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈??┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(){3.解┈┈方┈程┈组┈:┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1x+
y+z=15,①2x+3y-z=9,②5x-4y-z=0;③?a+b=1.③22┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、图
象与性质仅讨论y=ax2+bx+c(a>0)的情况的取值范围为一切实数.例1二次函数y=x2-(m+2)x+4,根据下列条件求
实数m的取值范围.图象在x轴上方;é4ac-b2?顶点在x轴上;?的取值范围为?ê4a,+∞÷图象与x轴有两个交点
;当x=-b时,y取得最小值4ac-b2.图象与x轴有公共点.2a4a2axbxc{二次函数的三种表达方式:y=+
+;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-h)2+k.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈┈┈设┈二┈次┈函┈数┈的┈┈图┈象┈的┈顶┈点┈是┈(┈┈,┈3┈)与┈对称轴x=-b(图象关于x=-b
对称).2-222a2ax轴的两个交点间的距离为6.求二次函数y=2a5.1°当x1y2
.2a2°当x2>x1≥-b时,则y1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈二次函数一元二次方程一元二次不等式之间┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈的联系列表如下┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+(abx+c>0)的图象一元二次方程ax2+(bx+c=
0a≠0)的根有相异两实根x1,2=-b±b2-4ac2a(x12+bx+c>0的解x>x2或x┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈3┈┈二┈次┈函┈数┈y┈=┈ax┈2┈-4┈x┈+┈a┈-3┈的┈图┈┈象┈在┈x轴的下方,
求实数a的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈4┈┈已┈知┈二┈次
┈函┈数┈y┈=┈m┈x┈2+┈(┈m┈-┈3)┈x┈+1┈的┈图象与x轴有两个不同的交点A,B.若A,B都在x轴的正半轴
上,求实数m的取值范围;若A,B都在x轴的负半轴上,求实数m的取值范围;若A在x轴正半轴上,B在x轴负半轴上,
求实数m的取值范围;21图象是否会经过原点?请证明你的结论.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈已┈知┈函┈数┈y┈=┈ax┈2+┈bx┈+┈c┈(a┈≠0┈)┈满┈足┈条┈件┈:(1)对称轴为x
=1;(2)y的最大值为15;(3)ax2+bx+c=0的两根立方和为17.求y=ax2+bx+c的表达式.┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈┈已┈知┈函┈数┈y┈=┈ax┈2┈+b┈x┈+
c┈的┈┈图┈象┈与┈直┈线┈y=25有一个公共点,且不等式ax2+bx+c>0的解是-1知二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根为-2,3,则不等式ax2+bx+c>0的解为.已知:二次函数y=ax2
+bx+c的对称轴为x=3,方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=.证明:对于任意实数k,函
数y=x2-(k+1)x+k的图象与x轴有公共点.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈6.已┈┈知┈二┈次┈函┈数┈y┈=┈mx┈2┈+┈(m┈-┈1┈)x┈+┈m┈-1┈的┈图┈象在x轴下方,求实数m
的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈23┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈7┈┈已┈知┈:┈函┈数┈y┈=a┈(x┈-┈1┈)2┈+┈b(┈a>┈
0┈)┈┈┈当x1=t2+2时对应的函数值为y1,当x2=2t2+3时对应的函数值为y2,试比较y1与y2的大小.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈8┈┈已┈知┈二┈次┈函┈数┈y┈=┈2┈
x2┈+┈3m┈x┈+┈2m┈.┈┈┈求函数y的最小值t;当m为何值时,t取得最大值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈7.已┈┈知┈二┈次┈函┈数┈y┈=3┈x┈2-┈(2┈m┈+┈6┈)x┈+┈m┈+3┈取┈值┈恒为非负数,求实数m的取
值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8.已┈┈知┈二┈次┈函┈数┈y┈=a
┈x┈2-┈4┈x┈+a┈-┈3┈,如┈果┈┈存┈在┈x值,使得y为负值,求实数a的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9.已┈┈知┈二┈次┈函┈数┈y┈=┈ax┈2┈+┈bx┈+┈c┈的┈图┈象
┈经┈过┈点┈222A(2,4),其顶点的横坐标为1,它的图象与x12轴交点为B(x1,0),C(x2,0),且x
+x=13.求此二次函数的表达式;┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈已知二次函
数y=kx2-(1-k)x+k=0的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为.已知二次函数y=ax2+bx+2与x轴的两个交点为
(-1,0),(1,0)则a=,b=在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使得S△ABC=2S△BDC?如果存在,请求
出所有满足条件的点D;如不存在,说明理由.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈.23┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈一、应用题解应用题的基本步骤:例3有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为1x,3x(万元)[其
中设出自变量x与函数y;2();x为投入的资金]现有55金投入甲、乙两2.列出y=ax+bx+ca≠03.求出自变量x
的取值范围;由y=ax2+bx+c和x的范围,求出y的最值或y取得最值时对应的x的值;种商品,为获得最大利润时甲、乙
两种商品的资金投入分别应为多少?能获得最大的利润是多少?┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈答题.例1将长度为1米的铁丝做
一个长方形个长方形面积的最大值.,求这┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3万元资┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2┈┈某┈┈人┈将┈进┈货┈单┈价┈为┈┈8┈元┈的┈商┈品┈按┈每┈件┈10元售
出时,每天可销售100件,现他采用提高销售价,减少销售量的办法增加每天的收入.已知这种商品每件涨1元,其每天的销售量就减少1
0件,问他将每件的销售价定为多少时,每天获得的利润最大.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈23┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈二┈、给┈┈定┈区┈┈间┈的┈二┈┈次┈函┈数┈┈的┈最┈值┈┈问┈题┈┈例4已知y=-2x2-4x+7,根据下列x的
范围求函数y的最值.(1)-3≤x≤-2;(2)-3≤x≤0;(3)-3≤x≤3;(4)0≤x≤3.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈例5(1)求函数y=x2-2x+k,-2≤x≤2的最小值;(2)求函数y=x2-kx+2,-2≤x≤2的最小值;(3
)求函数y=x2-kx+2,-2≤x≤2的最大值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈┈已┈知┈函┈数┈y┈=┈a┈x2
┈+┈2x┈+┈3┈(-┈1┈≤┈x┈≤┈1)┈,(a≠0)求函数y的最小值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈用可围成32m墙的砖头,沿一面旧墙围成猪使每天所获得的利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
此时每天的销售利润是多少?┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3.某┈┈商┈场┈销┈售┈一┈批┈名┈┈牌┈衬┈衫┈,┈平┈均┈每┈天┈可┈售┈出┈20件,每件盈利40
元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件:若商场
平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元?每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.已┈┈知┈:y┈=┈(x┈-┈1)┈
2+┈k┈根┈据┈下┈列┈x┈┈的┈范┈围┈,求┈函┈数y的最值.(1)0≤x≤1;(2)0≤x≤3;(3)0≤x≤2;舍
四间(面积大小相等的长方形).应如何围才能使猪舍的总面积最大?最大面积是多少?(4)1≤x≤3.2┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2.某┈┈种┈产┈品┈的┈成┈本┈是┈12┈0┈元┈/┈件┈,试┈销┈阶┈
段┈每┈件┈产┈品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示:x/元130150165y/件705035若日销售量
y是销售价x的一次函数,那么,要┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.(┈1
┈)求┈函┈数┈y┈=┈x2┈+t┈x┈+1┈,┈-1┈≤┈x┈≤1┈的┈最┈小┈值┈;┈(2)求函数y=x2+tx+1,-1≤
x≤1的最大值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈6.已┈┈知┈:函┈数┈y┈=┈x┈2-┈2x┈+┈1┈,0┈≤┈x┈≤t┈(t┈>┈0┈),┈求┈y的取值范围.┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xx第10课函数y=kx+b(k≠0),y=k(k≠0)及y=x+1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈若b=0,y=kx
(k≠0)为正比例函数,图象过(0,0).函数y=kx+b的图象为一条直线且过点(0,b).(1)k>0,y随着x的增大而增
大.(2)k<0,y随着x的增大而减小.xy=kk>0,图象为一,三象限的双曲线,原点(0,0)为对称中心.当x>0时,y
随着x的增大而减小.k<0,图象为二,四象限的双曲线,原点(0,0)为对称中心.当x>0时,y随着x的增大而增大.y=x+
x1的图象当x>0时,函数y在(0,1]上随着x的增大而减小函数y是反比例函数,且它的图象在第一,第三象限.┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3x+1┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例2已知:函数y=x-1(1)求图象的对称中心;(2)当x≥2时,求函数y的取值范围.┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈┈┈求┈函┈数┈┈┈┈┈1┈在┈下┈列┈区┈间┈上┈的┈最┈大┈值┈3与最小值.y=x+x(1
)x∈[1,1];32函数y在[1,+∞)上随着x的增大而增大∴当x=1时,y取得最小值2.例1函数y=(2m2-7m
-9)xm2-9m+19,当m为何值时(1)函数y是正比例函数,且它的图象经过第二,第四象限;25(2)x∈[1,4];
3(3)x∈[1,3].┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例4求函数y=2+x3,
x∈[2,3]的取值-1范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1()例已
知求的最┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5M=a+a-22┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈x┈2+┈2x┈+┈4┈┈┈┈┈┈┈┈┈已知y=x1的对称中心为
(0,0),则y=x2的对称中心为,则y=2x+3的对称中心为x+1.x+2求下列函数的最小值.(1)y=x+x1(x>
0);(2)y=x2+2+12;(3)y=x2-2x+4(x≥2);(4)y=kx+b(k,b为常数且k>0)(1≤x≤
2);(5)y=x2+x+1(x>0);例6求函数y=x2+2x+3的最大值.xx2+5┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈(6)y=+5xx+1(x≥1).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈x┈2+┈x┈-┈1(┈┈┈)┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例7求函数y=x-1
x>1的最小值.3.某┈┈单┈位┈用┈木┈料┈制┈作┈如┈图┈的┈框┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈架,框架下部是边长
分别为x,y(单位为m)的矩形,上部是正三角形,要求框架围成4的总面积为2-3m2,问x,y分别为多少时用料最省?┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例8某水果的产量y(单位:斤)是时间t(单位:天)的一次函数,其图象为(1),此水果的价格T
(单位:元/斤)是时间t(单位:天)(t<6)的一次函数,其图象为(2),问t为何值时?该水果的收益达到最大.┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4
.┈某┈工┈厂┈购┈买┈一┈台┈机┈器┈,据┈┈市┈场┈分┈析┈,这┈台┈机┈器┈在┈x年内创造的总利润y万元与营运年数x(
x∈N)的关系为y=-x2+12x-1,则这台机器营运多少年,使其营运的年平均利润最大?┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈解不等式的过程尽量要同解变形(1)不等式两边同时加上一个数得到的不等式与原不等式同解;(2)不等式两边同时乘以一个大于零的
数,不等号方向不变,得到的不等式与原不等式同解;不等式两边同时乘以一个小于零的数,不等号改变方向,得到的不等式与原不等式同解,若解
不等式的过程不同解,则需要检验.例1解不等式.(1)2x+1>0;(2)ax+b>0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2
┈┈解┈不┈等┈式┈(┈转┈化┈为┈一┈元┈一┈次┈不┈等┈式┈组┈)┈.┈(1)(x-1)(x+1)≤0;(2)x2-3x+2
>0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈3┈┈解┈不┈等┈式┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈x+23x-1x(1)x-1
>0;(2)2x+1≤0;(3)1<1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈27例4解关于x的不等式x2+2x+1-a2
≤0(a)>0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈解┈不┈等┈式┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(1)x2+
2x-3≤0;(2)-x2+x+6<0;(3)4x2+4x+1≥0;(4)x2-6x+9≤0;(5)-x2+x-4<0.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈
┈解┈关┈于┈x┈的┈┈一┈元┈二┈次┈不┈等┈式┈x┈2┈+a┈x┈+┈1>0(a>0).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例7已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)
的解是x<2或x>3.求不等式bx2+ax+c>0的解.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1.不等式x2>1的解是.2.若0<0的解是.3.下列四个不等式中,同解不等式为.9.若不等式x2-px+9≥0的解为一切实数,求p的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10┈.已┈知┈直┈线┈y┈=┈k┈x┈+2┈k┈+┈1┈与┈直┈线┈y┈=┈-┈x┈+┈4的交点在第四象限
,试求k的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(┈)┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈①|x-1|≤2;②x+1≤0;③{x≤3;11.解不等式组.x
-3x≥-1(1)x+5≥0;(2)x-1<0(a>1);④-x2+3≥2x..4.若x2-x-6有意义,则x的取值
范围是x-8(3)x-1{x+3>2a-x;(4)(a)x2-a+1x+1<05.不等式4x2+4x+1≤0的解是
.6.不等式ax2+bx+2>0的解是-20(a>0););()2a=,b=
.3(5)(x-2)(ax-2)>0(00).6ax+x7.若不等式x2+(m-3)x+m≤0有解,
求m的取值范围.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8.已┈┈知┈4x┈2┈-┈5x┈-┈6┈<┈0┈,┈化┈简┈┈x┈2
-┈6┈x┈+9┈+┈|x+1|.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12.若┈┈不┈等┈式┈ax
┈2+┈b┈x+┈c┈>┈0┈的┈解┈是┈α<┈x┈<┈β┈(0┈<α<β),求不等式cx2+bx+a>0的解.┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈28┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、相似三角形的判定在△ABC和△A1B1C1中若有二个角对应相等,则这两个三角形相似.若有一个角对应相
等且相邻对应两边的比值相等,则这两个三角形相似.若三边对应的比值相等,则这两个三角形相似.二、相似三角形的性质、、对应角相等.对应
边及对应的中线角平分线高的比值都相等.面积之比等于对应边之比的平方.三、平行线分线段成比例定理BCEF三条平行线截两条直线,所
得的对应线段成比例.如图,l1∥l2∥l3,有AB=DE.ACDF当然,也可以得出AB=DE.在运用该定理解决问题的过程中,我们
一定要注意线段之间的对应关系.四、在证题过程中,能有机的用下列定理更为方便bdbd1.若a=c,则a-b=c-d.bdbdb
dbdb+d2.若a=c,则a+b=c+d.3.若a=c,则a=c=a+c.例1如图:l1∥l2∥l3且AB
=2,BC=3,DF=4,求:DE,EF.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2┈┈┈如┈图┈,┈在┈△┈A┈B┈C中,D,E为AB,AC边上的中点.求证:△ADE∽△ABC;
(2)求.S△ADES△ABC┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈例┈3┈┈┈┈如┈图┈,┈已┈┈知△ABC,D在AC上,AD∶DC=2∶1,能否在AB上找到一点E,使得线段E
C的中点在BD上.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈AC例4如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,求证:A
B=.BDDC┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈
如┈图┈,┈四┈边┈形┈A┈B┈-CD的对角线相交于点O,∠BAC=∠CDB.求证:∠DAC=∠CBD.()AE11,A
O22┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1当AC=2=1+1时(如图a)有AD=3=2
+1.(2)当AE=1=1时,有AO=2=2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈(AC31+2AD42+2例┈┈┈如┈┈图┈,在┈直┈角┈┈三如图b)(3)当AE=1=1时,有AO
=2=2.6(AC41+3AD52+3角形ABC中,∠BAC为直角,AD⊥BC于如图c)在图d中,当A
E=1时,参照上述研究结论,点D.AC1+n求证:(1)AB2=BD·请你猜想用n表示AO的一般结论,并给出证明BC;(
ADAC2=CD·CB;(3)AD2=BD·DC.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈7┈┈如┈图┈,┈在┈△A┈B┈C┈中┈,其中n为正整
数).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈,AD⊥BC于D,DE⊥AB如图在△ABC的边┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈于E,DF⊥AC于F,求证:AE·AB=AF·AC.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈8┈┈如┈图┈,┈在┈△┈AB┈C┈中┈,┈D┈为┈边┈B┈C┈的┈中┈点┈,
┈E为边AC上的任意一点,BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:AB、AC上分别取D、E两点,使
BD=CE,DE延长线交BC的EFAB延长线于F.求证:DF=AC.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈如图,D是△ABC的
边AB上的一点,过D点作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB=2∶3,则S△ADE∶S四边形BCED等于()A.2
∶3B.4∶9C.4∶5D.4∶21若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3∶2,则梯形的上
、下底长分别是.已知△ABC的三边长分别是3,4,5,与其相似的△A′B′C′的最大边长是15,求△A′B′C′的面积S△A′B
′C′.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.┈如┈图┈,┈在┈四┈边┈形┈A┈B┈CD┈中,E、F、G
、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.请判断四边形EF-GH是什么四边形,试说明理由;若四边形ABCD是平
行四边形,对角线AC、BD满足什么条件时,EFGH是菱形?是正方形?┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈,┈┈┈、┈┈┈┈┈(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
7.┈如┈图┈,┈△┈AB┈C┈中┈,┈A┈D┈=┈DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则()A.DE=1,BC=7B
.DE=2,BC=6C.DE=3,BC=5D.DE=2,BC=8如图,BD、CE是△ABC的中线,P、Q分别是BD、C
E的中点,则PQ∶BC等于()B.1∶4D.1∶6A.1∶3C.1∶5如图,?ABCD中,E是AB延长线上一点,
DE交BC于点F,已知BE∶AB=2∶3,S△BEF=4,求S△CDF.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10.┈如┈图┈,┈在┈矩┈形┈A┈
B-┈CD中,E是CD的中点,BE⊥AC交AC于F,过F作FG∥AB交AE于G,求证:AG2=AF┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈如图点CD在线段AB上,△PCD是等边三角形,当AC、CD、DB满足怎样
的关系时,△ACP∽△PDB?·FC.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、利用圆的定义根据圆的定义可以知道,平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上,这个圆是以定点为
圆心,以定点到这几个点中任一点的距离为半径.二、利用三角形的关系(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆;(2)同底同侧等角的三角形
的各顶点共圆.已知C、D在线段AB的同侧,且∠ACB=∠ADB.求证A,B,C,D四点共圆.证明如图,过A,B,C
三点作☉O.因此,D点不可能在☉O的外部.综上所述,D点必在☉O上.三、利用四边形的关系如果四边形的一组对角互补,那么它
的四个顶点共圆(如图);如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么它的四个顶点共圆(如图).四、利用线段的乘积式的关系(1)线段A
B,CD相交于P,且PA·PB=PC·PD,则A,B,C,D四点共圆.证明如图,连接AD,BC,如果D点在☉O内部,
则延长BD交☉O于D′,连接AD′.AC.在△APD和△BPC中,∵∠D′=∠C,且∠ADB>∠D′.∴∠ADB>∠C,这
与∠ADB=∠ACB矛盾.∵PA·PB=PC·PD,∴PA=PD.因此D点不可能在☉O的内部.PCPB,如图,如果D点
在☉O的外部,设BD与☉O交于D′,连接AD′.∵∠AD′B=∠ACB,且∠D<∠AD′B.∴∠D<∠ACB,这与∠ADB=
∠ACB矛盾.又∠APD=∠BPC∴△APD∽△CPB.∴∠B=∠D,又B,D在线段AC同侧.因此,A,C,B,D四点
共圆.(2)两线段AB,CD的延长线相交于P,且PA·PB=PC·PD,则A,B,C,D四点共圆(如图).例1从一定点P
向各同心圆作切线,求证:各切点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈2┈┈┈如┈图┈,┈两┈圆┈交┈于┈A,B,过B的直线交两圆于C,E
,在BA的延长线上任取一点P,连接PC,PE,交两圆于D,F.求证:P,D,A,F四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈3┈┈从┈☉┈O┈外┈┈
一┈点┈A┈作┈切┈线┈A┈B┈,┈AC┈,┈过┈B┈C的中点M作弦PQ.求证:O,P,A,Q四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈4┈┈过┈正┈方┈形┈
A┈B┈CD┈对┈角┈线┈B┈D┈上┈任┈一┈点┈P┈┈作边的平行线.其交点分别为E,F,G,H,证明:这些交点在以对角线的交点O
为圆心的圆上.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈已┈知┈A┈B┈,C┈D┈是┈☉┈O┈的┈弦┈,┈且┈A┈B┈∥C
┈D┈,┈M为AB的中点,DM交☉O于E,求证:E,M,O,C四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈第1
3课四点共圆┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈┈两
┈个┈┈角┈的┈边┈交┈于┈点A、B、C、D(如图),已知这两角的平分线互相垂直.求证:A、B、C、D四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1.设△ABC为正三角形,BC、AC上分别有一点22D、E,且B
D=1CD,CE=1AE,BE、AD相交于P·求证:P、D、C、E四点共圆,且AP⊥CP.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2.┈如┈图┈,┈在┈┈Rt┈△┈A┈B┈C┈中┈,┈∠BAC=90°,AH⊥BC于H,S为AH的
中点,过S点作各边的平行线与三边交于P、Q、K、L、M、N,如图.求证:P、Q、K、L、M、N六点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈33┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈如图,两圆相交,过一交点A引两圆的直径AC、AB,交两圆于
E、F,过B、E及C、F的直线交两圆于P、Q、R、S.求证:P、S、Q、R四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.在┈┈△A┈B┈C┈中┈,┈过┈B┈、C┈
分┈别┈┈作┈∠B┈A┈C┈的┈平┈分┈线┈的垂线,E、F为垂足,AD⊥BC于D,M为BC中点.求证:M、E、D、F四点共
圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5.┈如┈图┈,D┈┈是
┈△┈AB┈C┈的┈BC边上的一点,O1、O2和O3分别为△ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心
.求证:A、O2、O1、O3四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6.设┈△┈A┈B┈C┈的┈BC┈┈边┈的┈垂┈直┈平┈分┈线┈与┈∠┈B┈AC┈┈的平分线相交于D,
求证:A、B、C、D四点共圆.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7.O┈┈为┈△┈A┈BC┈┈内┈一┈点┈,B┈O┈、┈CO
┈┈延┈长┈线┈分┈别┈交┈AC、AB于D、E.如果BE·BA+CD·CA=BC2.求证:A、D、O、E四点共圆.┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8.如┈图┈,┈已┈知┈A┈P┈是┈圆┈O┈的┈切┈线┈,P┈为┈切
┈点┈,┈AC┈┈是圆O的割线与圆O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.证明:A、P、O、
M四点共圆;(2)求∠OAM+∠APM的大小.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
一、圆幂定理相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等)
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比在图中,如果将割线PDC按箭头所示方向绕P
点旋转,使C,D两点在圆上逐渐靠近,以至合为一点C,割线PDC变成切线PC.这时有PA·PB=PC·PD=PC2,这就是我
们学过的切割线定理.如果割线PBA也绕P例中项.:,点向外旋转的话,也会成为割线定理从圆外一点引圆的两条割线这一点一条切
线PA.这时应有PA2到每条割线与圆交点的距离的积相等.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?从相交弦定理出发,用
运动的观点来统一认识定理.如图,☉O的两条弦AB,CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这
个定理有两个特例:一是如果圆内的两条弦交于圆=PB2,可得PA=PB,这就是我们学过的切线长定理.至此,通过点的运动及线的运动变化
,我们发现,相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.观察图可以得出:(设☉O半径为R)心O,则有PA=P
B=PC=PD(),···=圆的半径R,此时AB,CD是在图1中PAPB=PCPD=PEPF直径,相交弦
定理当然成立.(如图)二是当P点逐渐远离圆心O,运动到圆上时,点P和B,D重合,这时PB=PD=0,仍然
有PA·PB=PC·PD=0,相交弦定理仍然成立.(如图)点P继续运动,运动到圆外时,两弦的延长线交于圆外一点P,成为两条割线
,则有PA·PB=PC·PD,这就是我们学过的切割线定理=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2;在图(2)中,PA·PB
=PT2=OP2-OT2=OP2-R2;在图(3)中,PA·PB=PC·PD=PT2=OP2-R2.由于PA·PB均等于
|OP2-R2|,为一常数,叫做点P关于☉O的幂,所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.二、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平的推论(割线定理).分弦所对的两条弧.例1如图,已知☉O的半径︵OB=5cm,弦A
B=6cm,D是AB的中点,求弦BD的长度.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈例┈2┈┈如┈图┈,┈在┈以┈O┈为┈圆┈┈心┈的┈两个同心圆中,A,B是大圆上任意两点,过A,B作小圆的割线AXY
和BPQ.求证:AX·AY=BP·BQ.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈例┈3┈┈如┈图┈,┈两┈个┈以┈O┈为┈圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D,E,AB=
12,AO=15,AD=8,求两圆的半径.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例4已知圆的两条平行弦的长度分别为6和46,且这
两条线的距离为3.求这个圆的半径.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈5┈┈┈如┈图┈,┈过┈点┈P┈┈作☉O的切线PA,A为切点,过PA中点B
作割线交☉O于C、D,连接PC并延长交☉O于E,连接PD,交☉O于F.求证:EF∥PA.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈如图,☉O和☉O′都经过点A和B,PQ切☉O于P,交☉O′于Q,M,交AB的延长线于N.求证:PN
2=NM·NQ.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈36┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈已知四边形ABCD是☉O的内接梯形,AB∥CD,AB=8cm,CD=6cm,☉O的半径等于5cm,求
梯形ABCD的面积.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈3.已┈┈知┈P┈为┈☉┈O┈外┈一┈点┈,┈OP┈与┈┈☉O┈┈交┈于┈点┈A┈,割┈线PBC与☉O交于点
B,C,且PB=BC.如果OA=7,PA=2,求PC的长.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4.求┈┈证┈:相┈交┈两┈圆┈的┈公┈┈共┈弦┈的┈延┈长┈线┈上┈任┈
一┈点┈到┈两圆所作的切线长相等.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5
.如┈┈图┈,已┈知┈P┈B┈D┈是┈☉┈O┈的┈割线,PA、PC是☉O的切线,A、C为切点,求证:(1)PA·AB=PB
·AD;(2)=;AD2PDAB2PBAD·BC=AB·DC.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6.如┈┈
图┈,☉┈O┈的┈半┈径┈为┈1┈7┈cm┈,┈弦┈AB=30cm,AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C,求弦AC和BD
的长.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7.如┈┈图┈,☉┈O┈的┈直┈径┈A┈B┈和┈弦┈C┈D┈相┈交┈于┈┈点┈E┈,A┈E=1cm,E
B=5cm,∠DEB=60°,求CD的长.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8.若┈┈两┈圆┈的┈半┈径┈分┈别┈为┈3┈和┈8┈,圆┈心┈距┈┈为┈13┈,试┈求┈
两圆的公切线的长度.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、三角形的“四
心”一般平面图形常常会分割成三角形来研究.而三角形的“四心”在问题中又经常出现,在高中数学的立体几何,解析几何中常常会用到这“四心
”,所以有必要对三角形的“四心”作进一步的研究.三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈,┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈三角形的重心;三角形的三条中垂线相交于一点为三角形的外心;三角形的三条角平线相交于一点,这
个交点称,这个交点称例3已知△ABC的三边长分别为BC=a,AC=bAB=c,I为△ABC的内心且I在△ABC的边BC,
AC,AB上的射影分别为D,E,F.为三角形的内心;三角形的三条高相交于一点角形的垂心.,这个交点称为三例1求证:三角形的重心将
中线分成2∶1.b+c-a求证:AE=AF=2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例
┈2┈┈若┈三┈角┈形┈的┈内┈┈心┈与┈重┈心┈为┈同┈一┈点┈,┈求┈证┈:这个三角形为正三角形.38┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈例┈4┈┈求┈证┈:┈三┈角┈形┈的┈三┈条┈高┈交┈于┈一┈点┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例5在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,求
:(1)△ABC的内切圆的半径r;(2)△ABC的外接圆的半径R;(3)AC边上的高h.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈6┈┈在┈△┈A┈B┈C┈中┈三┈边┈上
┈的┈┈中┈线┈分┈别┈为┈A┈D┈,BE,CF.求证:BE+CF>AD.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈第15课三角形的“四心”h3=0,可得结论:h1+h2+h3=h.”请直接应用以上信息解决下
列问题:当(1)点P在△ABC内(如图b),(2)点P在△ABC外(如图c),这两种情况时,上述结论是否还成立?若
成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间有什么样的关系,请给出你的猜想(不必证明).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈1.设O为△ABC的外心,∠B=80°,∠C=60°.则┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈∠BOC的度数为
.,,,,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈若Rt△ABC的三边长分别为abc∠C=90°则其外接圆半径为,内切
圆半径为┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈7┈┈等┈┈腰┈△┈AB┈C┈外┈心┈.,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈O到△A
BC底边BC的距离为a,到顶点A的距离为R.求△ABC的各边长.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈例┈8┈┈已┈知┈等┈边┈三┈角┈┈形
┈AB┈C┈和┈点┈P┈,┈设┈点┈P┈到┈三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,三角形ABC的高为h,“若
点P在一边BC上,此时若正三角形的边长为1则其外接圆半径为,,内切圆半径为.如图G是△ABC的重心,且AD
⊥BE.已知BC=a,AC=b,求AB的长.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈2设☉O为△ABC的内切圆.r为内切圆的半径.a,b,c为△ABC三边长,S为△ABC的面积.求证
:S=1(a+b+c)·r.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6.设┈┈H┈是┈锐┈角┈△┈A┈B┈C┈的┈垂┈心┈,┈R┈为┈△┈AB┈C┈外┈接┈圆的半径,求AH2+BC2之值(用R表示).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7.在┈┈△A┈B┈C┈中┈,┈高┈A┈D┈和┈B┈E┈交┈于┈H┈┈点┈.┈若┈B┈H=AC,求∠ABC的度数.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8.如图,BD,CE是△ABC的两条高,过D作DG⊥BC于G,交CE于F,GD的延长线与BA的延长线交于H.求证:GD2=GF·GH.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9.设┈┈O┈为┈锐┈角┈△┈A┈B┈C┈的┈外┈心┈,R┈┈为┈△┈AB┈C┈的┈外┈接圆半径,AO,BO,CO的延长线分别交BC,CA,AB于点D,E,F.求证:A1D+B1E+C1F=R2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈衔接达标测试┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈一、填空题1.已知x2-5x+1=0,则x3+x13=.2.关于x的方程x2+mx+1=0有实数根,则m的取值范围为.3.已知函数y=x2-2x+3(0≤x≤3),则y的取值范围为.4.关于x的不等式x2-(2m+1)x+m2+m≤0的解为.5.已知a2+b2=c2,ac=b2,且a>0,b>0,c>0,则ac=.6.若x1,x2是方程x2-2x-17=0的两个根,则|x1-x2|=.7.分解因式:x2+3xy+2y2+5x+7y+6=-5+6=0{.x2xyy28.方程组x2+y2=5的解为.9.不等式|x+1|+x2-6x+9>6的解为.10.已知a+b+c=0,则1+1足为E,若PA=10cm,PC=5cm,则CE=cm.已知实数a,b满足|a-2b+1|+4a2-12ab+9b2=0,函数y=x2+a+-bx(1≤x≤2),则y的取值范围是.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,DE为Rt△CDB斜边上的高,若BE=6,CE=4,则AD=.已知函数y=x2+ax+6(a是实数)中,y的取值范围是y≥0,若关于x的不等式x2+ax+6
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