第七单元圆
1.如图5，AB是O的直径，==，COD=34°，则AEO的度数是（）
A．51° B．56° C．68° D．78°
2.如图6，在O中，弦ABAC，ODAB于点D，OEAC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则O的半径OA的长为（）
A．7cmB．6cmC．5cmD．4cm
3.如图7，AD是O的切线，A为切点．点C在O上，连接BC并延长交AD于点D，若AOC=70°，则ADB等于（）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4.（2016·台州）如图8，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）
A.6B.2+1C.9D.
5.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD，如图9所示叠放在一起，连接AC,BD.若OA=3cm,OC=1cm,则阴影部分的面积__________.
6.如图10，点P是四边形ABCD外接圆O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是O的直径，AB=BC=CD，连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=__________.
7.（2016·百色）如图11，已知AB为O的直径，AC为O的切线，OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E.
（1）求证：1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求O的半径.
8.（2016·江西模拟）O的直径AB的长为2，点C在圆周上，CAB=30°，点D是圆上一动点，DEAB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F.
（1）如图12，当ACD=45°时，求证：DE是O的切线；
（2）如图13，当点F是CD的中点时，求CDE的面积.
9.（2016·深圳）如图14，已知O的半径为2，AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC.
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E.交于点F（F与B，C不重合）.问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由.
1.（2016年）如图15，AB是O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PEAB，垂足为E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D.
（1）求证：DC=DP；
（2）若CAB=30°，当F是弧AC的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊的四边形，说明理由.
2.（2014年）如图16，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是O上半部分的一个动点，连接OP，CP.
（1）求OPC的最大面积；
（2）求OCP的最大度数；
（3）如图17，延长PO交O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是O的切线.
3.（2012年）已知，纸片O的半径为2，如图18，沿弦AB折叠操作.
（1）如图19，当折叠后的经过圆心O时，求的长；
（2）如图20，当弦AB=2时，求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（3）在图18中，再将纸片O沿弦CD折叠操作.
如图21，当ABCD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB，CD的距离之和为d，求d的值；
如图22，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点.试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论.
【答案】
精练课堂考点
1.A2.C3.C
4.C【解析】如图5，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC，垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，AB=10，AC=8，BC=6，AB2=AC2+BC2.∴∠C=90°.∵∠OP1B=90°，OP1∥AC.∵AO=OB，P1C=P1B.∴OP1=AC=4.又OE=BC=3，P1Q1最小值为OP1-OQ1=1.如图5，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.
5.2π6.a
7.（1）证明：AB为O的直径，ADB=90°.
∴∠ADO+∠BDO=90°.
∵AC为O的切线，OA⊥AC.
∴∠OAD+∠CAD=90°.
∵OA=OD，OAD=∠ODA.
∴∠BDO=∠CAD.
∵∠1=∠BDO，1=∠CAD.
（2）解：1=∠CAD，C=∠C，
CAD∽△CDE.
∴CD∶CA=CE∶CD.
∴CD2=CA·CE.
∵AE=EC=2，AC=AE+EC=4.
∴CD=2.
设O的半径为x，则OA=OD=x，
则RtAOC中，OA2+AC2=OC2，x2+42=（2+x）2.
解得x=.O的半径为.
8.（1）证明：如图6，连接OD.
C=45°，AOD=2∠C=90°.
∵ED∥AB，
AOD+∠EDO=180°.
∴∠EDO=90°.
∴ED⊥OD.
∴ED是O的切线.
（2）解：如图7，连接BC.
CF=DF，AF⊥CD.
∴AC=AD.
∴∠ACD=∠ADC.
∵AB∥ED，ED⊥DC.
∴∠EDC=90°.
在RtACB中，ACB=90°，CAB=30°，AB=2，
BC=1，AC=.CF=AC=，CD=2CF=.
在RtECD中，EDC=90°，CD=，E=∠CAB=30°，
EC=2CD=2，ED==3.
S△ECD=·ED·CD=.
9.（1）解：如图8，连接OC.
沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
OM=OA=×2=1，CDOA.
∵OC=2，
CD=2CM=2=2=2.
（2）证明：PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，
CMP=∠OMC=90°，
PC===2.
∵OC=2，PO=2+2=4，PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2.
PCO=90°.∴PC是O的切线.
（3）解：GE·GF是定值，证明如下：
如图9，连接GA，AF，GB，
点G为的中点，=.
∴∠BAG=∠AFG.
又AGE=∠FGA，
AGE∽△FGA.
∴=.∴GE·GF=AG2.
∵AB为直径，AB=4，BAG=∠ABG=45°.
∴AG=2.∴GE·GF=8.
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1.（1）如图10，连接OC.
APE+∠EAP=90°,
∠OCA+∠ACD=90°,∠EAP=∠OCA，
APE=∠ACD.
∵∠APE=∠DPC,
∴∠DPC=∠ACD.
∴DP=DC.
（2）菱形.如图11，连接AF，CF，CO，OF，
CAB=30°,∴∠COB=60°.
又F为AC的中点，
F，C把AB半圆弧分成三等分.
AOF=∠FOC=60°.
∵AO=FO=CO，
AOF和COF为等边三角形.
AO=CO=FC=AF.
∴四边形AOCF为菱形.
2.（1）解：AB=4，
OB=2，OC=OB+BC=4.
在OPC中，设OC边上的高为h，
S△OPC=OC·h=2h，
当h最大时，SOPC有最大值.
观察图形，当OPOC时，h最大，如图12所示：此时h=2，SOPC=2×2=4.
∴△OPC的最大面积为4.
（2）解：当PC与O相切时，OCP最大.如图13所示：
sin∠OCP===，
OCP=30°.
∴∠OCP的最大度数为30°.
（3）证明：如图14，连接AP，BP.
A=∠D=∠APD=∠ABD.
∴=，=.
∴AP=BD.
∵CP=DB，AP=CP.
∴∠A=∠C.
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，
在△ODB与△BPC中，，
ODB≌△BPC（SAS），D=∠BPC.
∵PD是直径，DBP=90°，
D+∠BPD=90°.
∴∠BPC+∠BPD=90°.∴DP⊥PC.
∵DP经过圆心，PC是O的切线.
3.解：（1）如图15，过点O作OEAB交O于点E，连接OA，OB，AE，BE.
点E与点O关于AB对称.
OAE、OBE为等边三角形.
OEA=∠OEB=60°.
∴l==.
（2）如图16，连接O′A，O′B，
折叠前后所在的O与O′是等圆，
O′A=O′B=OA=AB=2.
∴△AO′B为等边三角形.
过点O′作O′EAB于点E，
O′E=O′B·sin60°=.
（3）如图17，与所在圆外切于点P时，过点O作EFAB交于点E，交于点F，
AB∥CD，
EF垂直平分CD且必过点P，
根据垂径定理及折叠，
可知PH=PE，PG=PF.
又EF=4，
点O到AB，CD的距离之和为：
d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2.
如图18，当AB与CD不平行时，
四边形OMPN是平行四边形.
证明如下：
设O′，O″为和所在圆的圆心，
由折叠可知：O′与O关于AB对称，O″与O关于CD对称，
M为OO′的中点，N为OO″的中点.
与所在圆外切，
连心线O′O″必过点P.
与所在圆与O都是等圆，
O′P=O″P=2.
∴PM=OO″=ON，PMOO″，也即PMON.
∴四边形OMPN是平行四边形.
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