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世居瑞士的伯努利家族 (Bernoulli family) 是数学史和科学史上最杰出的家族之一，他们从十七、十八两世纪以来，三代中出现了八位非常了不起的数学家和科学家，在微积分的发展和应用上扮演着领导的角色，既使是对现代数学演变作最简明的叙述，也无法把他们的贡献一笔带过。伯努利家族是于1583年为了躲避天主教徒对新教徒的大屠杀而由安特卫普（Antwerp，现为比利时北部的一海港）逃亡的许多新教家族之一。他们最初逃至法兰克福，后来再迁往瑞士，在贝塞尔 (Basel) 地方定居下来，伯努利家族的先祖并与贝塞尔地方最古老的家族之一通婚，成为一个大商人。以下我们先将柏氏家族十七、十八世纪的世系表列出，然后再对他们加以个别介绍。在世系表中最上面的老尼古拉·伯努利（Nikolaus Bernoulli，1623-1708）就像他的祖父和曾祖父一样是个大商人。除了他曾祖父之外，其他的先祖都是与商人的女儿结婚，并且累积了大批的财富。除了经商之外也有人脱离家族经商的传统而从医。数学天赋可能早已溶入这个精明的商人家族的血统中。 
当莱布尼茨关于微积分的论文发表于《Acta Eruditorum》后，雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705) 和约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748) 两兄弟就专注数学研究而成为数举家，他们是最早体认到微积分的威力并且应用这工具于各类问题的少数数学家之一，从1687年直至他去世为止，雅各布一直是贝塞尔大学的数学讲座。约翰本是个医生，后来也改行成为数学家。于1697年成为格罗宁根大学 (Groningen University) 的数学教授，在雅各布于 1705年去世之后，约翰继承他兄长在贝塞尔大学的数学讲座职位，一直到他去世为止，这两兄弟经常彼此刻薄地互责互谑但是却一直保持与莱布尼茨交换意见并且相互交换意见。雅各布·伯努利于1654年出生于巴塞尔。他的父亲想让他学习神学并加入神师，他照做了，尽管他不顾家人的反对，同时学习数学和天文学。1676-82年间，雅各布周游欧洲，向当代最优秀的数学家学习。1683年，他回到巴塞尔，开始在当地的大学任教。1684年，他在巴塞尔大学获得了数学学位论文。1687年，雅各布被任命为巴塞尔大学的数学教授。他在他的余生中一直担任着这个职位，包括教学、旅行和研究。17世纪80年代中期，他开始辅导他的弟弟约翰，两兄弟有几年时间经常合作。然而，两人后来发生了严重的争吵，至死都没有说话。雅各布于1705年死于肺结核。雅各布·伯努利对数学有很多贡献，最重要的包括解析几何、概率论和变分学(calculus of variation) 三大方面。他的概率论著作《Ars Conjectand》在他去世后八年即1713年才出版，该书内涵所包括理论有些至今仍甚具价值，广泛地应用于保险业，统计和对遗传的数学研究。雅各布一项研究就是他大大地丰富了微积分学。他继续莱布尼茨的工作，对各种链线 (catenary curves) 作了相当详尽的研究。这些雅各布所研究的数学后来广泛地应用于建造吊桥和高电压线路。在雅各布解决这类问题时，它们是崭新且困难的问题，如今却成为初等微积分教科书或力学教科书中的练习题。在数学上有些东西冠着雅各布·伯努利的名字，例如在统计和概率论上的 「伯努利分布」和「伯努利定理」;微分方程上的「伯努利方程式」；数论中的「伯努利数」和「伯努利多项式」，以及微积分上的「伯努利双扭线」。雅各布‧伯努利在1690年刊登于《Acta Eruditorum》上关于等容曲线 (isochrone curve) 问题的解答中。我们首度见到 integral（积分）这个字以微积分的意味出现。他是德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的朋友，在艾萨克·牛顿和莱布尼茨关于微积分发现的公开不和中站在了他一边。莱布尼茨原先称积分学为 Calenlus summatorius，1696年莱布尼茨和约翰·伯努利协议改称它为 culus integralis。后来，他和弟弟约翰一起进行了大量的微积分研究。雅各布在研究一个复利问题的求解时发现了e。雅各布·伯努利的箴言是 Invito patre sidera verso (Against my father's will I study the stars，我违父意，研究群星)──以讽刺的口语纪念他父亲徒然地阻止他学习数学和天文。他对于等角螺线 (equi-angular spiral) 在各种变换下的再生性深感兴趣，因而效尤阿基米德，要求把这螺线刻在他的墓碑上，并且附注墓志铭 Eadem mutata resurgo (I shall arise the same, though changed，纵使改变，依然故我)。“Every science needs mathematics, mathematics needs none.”– Jacob I Bernoulli“每一门科学都需要数学，数学根本不需要。”–雅各布·伯努利
Ars conjectandi, 1713 (Milano, Fondazione Mansutti)约翰·伯努利出生于1667年，是尼克劳斯的第三个孩子。尼克劳斯想让约翰接管家族生意，但他说服了他的父亲允许他学医。他进入巴塞尔大学学习医学，同时他和他的哥哥雅各布一起秘密学习数学。1690年，约翰从巴塞尔大学毕业，获得了医学博士学位。这时，他和哥哥雅各布的关系正在恶化，因为两人非常嫉妒对方的成就。1694年，约翰接受了格罗宁根大学的一个职位。他离开了巴塞尔，再也没有和雅各布交谈过，直到1705年雅各布去世后才回到巴塞尔。他接替了雅各布的空缺职位，并在他剩下的职业生涯中担任数学教授。由于没有兄弟成为他的对手，约翰把嫉妒转向他的天才儿子丹尼尔，与他竞争直到他去世。约翰·伯努利以其对无穷小微积分的研究和工作而闻名。尽管莱布尼茨和牛顿在发现微积分方面受到了不同程度的赞扬，但约翰和雅各布是最早应用该理论并使用它来解决实际问题的数学家之一。约翰还因教授著名的数学家莱昂哈德·欧拉而闻名。约翰·伯努利在数学上的贡献比他的哥哥雅各布·伯努利还多。虽然他是个善妒和好争吵的人，却是他那时代最成功的教师之一。他对微积分有很多贡献，并且在引起欧陆人士对于微积分的威力的赏识颇具影响力。1696年洛必塔（Marquis de L'Hospital, 1661～1704）出版了第一本微积分的教科书，实际上是约翰·伯努利所编写而在一种奇特的金钱协议下让于洛必塔的。在这种情形下，计算不定式 0/0 的方法在后来的微积分教科书中被错误地命名为洛必塔法则。约翰·伯努利所从事的研究范围相当广博，包括与反射和折射相关的光学现象，曲线族垂直投射的决定，解析三角，幂数计算和其他一些问题。他较有名的页献是对于最速降线 (brachysto chrone) 问题的研究──重力场上一有重质点在两已知点间由一点以最快速度下落至另一点所成曲线的决定，该曲线实为摆线 (cycloid curve) 的一弧。这个问题雅各布·伯努利也曾探讨过。摆线同时也是同线 (tauto chrone) 问题的解答──决定一曲线使一有重质点无论由曲线上的那一点开始均在同一时间区间内到达曲线上固定点。约翰·伯努利有强烈的爱与憎。莱布尼茨和欧拉是他心目中的神，牛顿则深为他所憎恶及大大地低估。约翰是个精力充沛、头脑清晰的人，在他八十高龄临死的前几天仍然勤奋不倦。“I recognize the lion by his claw.”– Johann Bernoulli, after reading an anonymous solution to a problem that he realized was Newton’s solution.[10]“我从狮子的爪子认出了它。”–·约翰·伯努利，在阅读了一个匿名的问题的解决方案后，他意识到这是牛顿的解决方案。
尼古拉·伯努利一世 Nicolaus Bernoulli （有些地方也称尼古拉）尼古拉一世（Nicolaus I, 1662-1716）也深具数学天赋，就像他的兄弟雅各布及约翰一样，开始时选错行。他十六岁就得到贝塞尔大学哲学的博士学位，并且在二十岁时得到法学的最高学位。在他成为圣彼得堡的数学教授之前，他原是伯恩 (Bern)的法学教授，他去世时曾获得俄国凯瑟琳女王特赐国葬的殊荣。尼古拉一世的儿子尼古拉二世(1687-1759，呃，他们家三代都叫这个名字也是醉了~~) ，即雅各布和约翰的侄子，也在数学界颇有名气。这个尼古拉曾担任过巴杜亚大学 (Padua University) 的数学讲座，这个职位曾为伽利略所有。尼古拉二世写了许多关于几何和微分方程方面的论文，后半世则改教授逻辑和法律。约翰·伯努利有三个儿子，尼古拉三世，丹尼尔和约翰二世。不出意料的是，尼古拉三世在巴塞尔大学学习数学，以及法律和哲学。他是个浪子，学习了好几种语言，13岁开始上大学。他指导他的弟弟丹尼尔和约翰二世的数学，直到他们准备加入他在学院。1715年，尼古拉斯二世获得了法学博士学位。从1719年到1723年，尼古拉斯担任帕多瓦大学的数学系主任。在此期间，他还为父亲约翰工作，协助他进行研究和通信。1725年，他和他的弟弟丹尼尔受到俄国彼得大帝的邀请，到他新开办的圣彼得堡学院任教。不幸的是，不到一年后，尼古拉三世生病早逝。他发表过曲线，微分方程和概率方面的论文，有一个概率论上有名的问题，由于是他在圣彼得堡所提出，后来均称其为彼得堡诡论 (Petersburg paradox)，问题如下：某甲投掷一枚硬币，倘若第一次就掷得正面，则得 1 便士；在第二次才掷得正面，得 2 便士；第三次才掷得正面，可得 4 便士，如此类推。试问他的期望值应为若干？数学理论显示某甲的期望值应为无限大，为一个实际上不可能的结果。丹尼尔是约翰·伯努利三个孩子中最出名的一个，1700年出生在荷兰的格罗宁根，当时他的父亲约翰就在那里教书。和约翰之前的父亲一样，他也试图说服儿子学商业，理由是数学离赚钱还很远。丹尼尔拒绝了，他走了他父亲几十年前的道路。然而，他的父亲最终说服了他学习医学，条件是允许丹尼尔和他的天才家人一起学习数学。他于1721年获得了解剖学和植物学博士学位。成年后和父亲的关系很糟糕，因为约翰嫉妒儿子的才能。约翰多次与他否认，把他赶出房子，抄袭他的作品，为丹尼尔的发现赢得赞誉。1725年，丹尼尔和他的哥哥去了圣彼得堡，在彼得大帝的新学校教书。他不情愿地在那里工作到1733年，然后回到巴塞尔大学，在那里度过了余生。丹尼尔·伯努利最关键的工作是关于能量守恒的主题，该能量守恒表明一个封闭系统的总能量保持不变。他制定了一个方程来表达能量守恒定律，该定律至今仍在使用。丹尼尔和欧拉是相当亲密的好友，有时也是友好的对手。正如欧拉一样，丹尼尔·伯努利曾经十度赢得法国学术院的奖金（有少数几次是与其他竞争者合得）。1725年（当时他仅25岁）丹尼尔就继承了大哥尼古拉在圣彼得堡的职位。但是当时的圣彼得堡仍是过着相当简陋野蛮的生活，使他深感不适，因此在七年后第一次有机会离开时就赶快回到贝塞尔，在贝塞尔大学他曾任解剖学和植物学的教授，后来因对科学发生兴趣，改为担任物理学的教授，成为毫无保留地接受牛顿的宇宙观的第一个非英籍科学家。他专注全力于概率：天文物理和流体力学方面的研究。在概率论方面他曾提出或然率期望值 (moral expectation) 的概念。在他1738年出版的《Hydrodynnmica》一书中，出现了流体力学的原理，在现今的初等物理学教科书上称为「伯努利原理」。他并发表了有关潮汐的论文；建立气体动能理论，研究弦的振动，并且是偏微分方程的拓荒者，以及许多其他应用数学上的问题：因此有人称丹尼尔·伯努利为数学物理的奠基者。丹尼尔·伯努利年青的时候有一次出外旅行，遇见一位陌生人，两个人谈得很投机，于是丹尼尔自我介绍说：「我是丹尼尔·伯努利。」那人听了，就用一种讽刺的口气说「我是伊萨克·牛顿 (Isaac Newton，1642-1727)。这句话使丹尼尔终身引以为荣，认为是他所得到最大的恭维。“All birds need to fly are right-shaped wings, the right pressure, and the right angle.” (Daniel Bernoulli)“所有需要飞的鸟都是正确形状的翅膀，正确的压力，和正确的角度。”（丹尼尔·伯努利）
丹尼尔·伯努利的肖像画，1720-1725年，太帅了吧约翰一世的幼子约翰二世(1710-1790)也是开始时并非专攻数学而是习法律的。他在继承父亲约翰一世在贝塞尔大学的数学教授职位之前，原是担任修辞学教授 (professor of eloquence) 的职位。他的论著主要是物理，他曾三度夺得巴黎科学院征文奖金（通常能夺得一次就足以令数学家大感满足了），他尤其对热和光的数学理论感兴趣。约翰二世的长子约翰三世 (1746-1807)重踏家族开始时选错行的覆辙，跟他的父亲一样学医。他立刻被认为是一个儿童天才，他本能地吸收了惊人的知识。13岁时就得到哲学的博士学位。19岁时被任命为柏林的皇家天文学家。他着有天文、概率学理、循环小数和不定方程式方面的论文。约翰二世的另一子雅各布二世 (1759-I789)开始时学习法律，在21岁时一度改为实验物理，后来转为学习数学，成为圣彼得堡学术院的数学和物理部门的一员。他的早夭（30岁时失足淹死）结束了他本来极有希望的事业，我们对他的了解不多，只知道他是和欧拉的孙女结婚。由于数学界的人才辈出，伯努利家族的子孙纷纷改习其他的学科，并且在各方面均有相当优异的表现，只是不像以上所谈及的几位那么出色就是了。关于有名的伯努利家族，人们盛传着许多传说和轶事，其中有一个故事是这样的：这份资料的底稿好像来源于一个台湾某大学的网站，很久整理的资料了，原址忘记备份了1.E. T. Bell:《Men of Mathematics》, Simon and Schuster New York 1937.2.Howard Eves:《An Introduction to the history of Mathematics》, 3rd edition, Holt, Rinehart and Winston, 1964.3.Isaac Asimov:《Isaac Asimov's Biographical Encyclopedia of Science and Technology》, New Revised edition, Avon Books, 1972.
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