聊聊公文数学——一套独特的计算升级系统

前几天写了一篇关于计算的文章：

聊聊小初高各个阶段的数学计算问题  

有家长朋友看了之后，在后台和QQ群里让我推荐一些关于训练计算能力的教辅。

计算这件事啊，主要的训练阶段是在小学、初中阶段，尤其是小学一年级到初中七年级，是训练计算的比较好的时期，真正到了高中再去练计算，就有些晚了。

至于小学训练计算能力的书籍和APP都很多，初中不多但也有。

大家可以到当当、京东这些平台去购买，也可以到百度文库等共享平台寻找合适的文档并自行打印。

今天我想聊的是一个比较系统的锻炼计算能力的方案——公文数学。

关于公文数学，其实我一直想写一写，其实我知道，我的公众号关注者就有公文式教育的老师。

但为什么一直没有写呢？

因为关于公文数学其实还是有些争议的，比如我的一些朋友就比较反对，所以我不得不慎重。

而且公文数学背后其实是一家商业教育机构，我在推荐的时候也比较犹豫。

是的，今天这篇不是广告，不是广告哦！

但坦率的讲，就目前来看，我家渣娃通过公文数学的练习受益良多，对此我心里怀着感恩（也感谢当初在群里推荐公文数学的婷妈，好久不见，不知道最近可好。）

恰好最近家长朋友们有这个需求，我就简单的聊一聊公文数学吧。

“公文数学”是日本经过长期实践检验而推行的一种数学训练模式，公文似乎是其创始人的姓氏。

相传，始创人公文先生是一位日本的高中数学老师。由于太太不满意其正在就读小学二年级的长子的数学成绩，于是当公文先生细看儿子的情况后，开始对中学、小学时必须掌握的数学内容进行了整理，经过多次尝试后，针对性地编写了一套有助儿子依靠自身能力「自学自习」的数学教材。

其实要我说，冠以公文数学的名字，有些大了，其实公文计算会更贴切一些。

它的重点在于培养学生的自学能力，提高计算准确性。

因为以我的亲身体会，它的题目设置的确是由浅入深，步子迈的很密，基本上可以让孩子沿着架好的梯子一路攀登上来，从一开始的10以内加减法攀登到微积分。

是的，微积分。

我们可以来看一下公文数学的各个级别对应的学生能力层次和学习目标。

3A：在4A教材所培养的数数及写数能力的基础上，让学生学习加1到加5的加法。

这是3A教材中的某一节内容，一次练习大概十几道题目，大家会发现，这一节专门练习的就是20以内数字与3的加法。

我的理解是，这是公文数学的专门设置，即通过大量的练习，让孩子记住各种数字加3之后的结果，现在虽然简单，但以此类推，慢慢增加计算的复杂度和难度。

前面的内容通过大量练习内化成记忆，变成解决后面问题的梯子，这样如同梯云纵一样逐步上升。

其实在这之前5A、4A教材，但是没有必要，从这里开始就好，甚至可以直接从下面的2A开始就好。

孩子如果是半路开始，根据实际水平选择一个级别开始就好。

当然如果是奔着解决计算问题的态度开始，我建议低一个级别开始，因为既然选择要解决问题，那估计是有一些问题的，隐患不一定是在现阶段，这个时候从低一级别开始便于查漏补缺，到时候再根据实际使用情况确定是继续往下还是停留在当前阶段。

本身公文数学对于刷一套题目的时间和准确率是有要求的，如果达不到，是不能继续往前学的。

2A：在3A教材所培养的加法能力的基础上，继续学习2A教材的加6到加10的加法，然后学习被减数到10为止的基础减法，为顺利学习A教材培养必要的心算能力。

一开始还是加法，开始练习加6到加10。后半段开始过渡到减法。

从减1开始，到减5。

这样编排的好处是一步一步循序渐进，底子打的特别扎实。

A：在2A教材所培养的加减法心算能力的基础上，进一步提高学生的加减法心算能力，要求学生达到一看就能计算出来的水平，为学习B教材的笔算打好基础。

A级主要是加法练习到30以内数字与9以内数字的加法，减法是练习到20以内减法。

严格来讲，A级与小学一年级的计算水平是不够匹配的，最多达到一年级上册水平，做不到领先一步，更遑论小学一年级下学期就学100以内加减法了。

所以A级起码是要在小学学前练习完毕的。

这也是公文数学一个比较尴尬的点，就是它的内容编排和内容形式其实与国内的数学教学存在一些脱节的地方，比如同一个内容在各自体系的顺序位置不同，一些考察侧重点也不同，比如公文计算主要以竖式为主，对于横式口算涉及不多，这与国内一些地区小学数学考试偏重横式计算不同。再比如，公文数学对于混合计算的题目练习量比较少，这也与国内的计算考试风格不同。

所以公文数学不是万能的，我们取它的系统性、很好的阶梯度，看重它带来的成长性，但不能完全以此为主，最好是有一些提前量，这样才会比较好。

而且数学不仅仅只有计算，数学不仅仅只有计算！！！！！

B：在A教材的加减法的心算能力基础上，培养加减法的笔算能力，并为学习C教材打好基础。

B级开始，进展开始加快，这一册的加法包含了100以内加法，过100的两位数加法，和三位数加法，但就像我之前说的，都是竖式练习。

减法则是从两位数减一位数开始，两位数减法、三位数减两位数、三位数减三位数。

这样看，好像步子迈的有些大了。

但其实这些内容都是彼此联系的，原理也类似，所以进度快起来也是应有之意。

不过相比之下，题量就少了一些，这个时候要追求速度和准确度，不达标的话可以反复练习。

从这里开始，公文数学开始逐渐加速，计算进度开始超过小学课本。

C：在B教材的加减法运算能力基础上，进一步培养学生的乘除法运算的基本能力，并为学习D教材打好基础。

D：在C教材的基础上进一步提高学生的乘除法运算能力，并且要求掌握2位数的除法运算，逐渐习惯“分数”概念，为学习E教材打好基础。

E：在D教材的加减乘除的四则运算和约分能力的基础上，培养分数的四则运算能力，为学习F教材打好基础。

F：提高E教材的分数运算能力，培养复杂的分数的四则混合运算能力，为学习G教材的代数奠定基础。

G：在F教材的分数运算能力的基础上，培养正负数和代数的运算能力，为学习H教材打好基础。

G级教材开始涉及到混合计算，以及多项式计算。

顺势推进到解一元一次方程。

这里就要谈公文数学的一个缺点了，这也是日本人民族性引起的，目光只会关注细节，缺乏大视野。

这种一元一次方程的大量解法练习其实必要性不强，一元一次方程的重点是在于寻找等量关系、设元、构造方程，解决方程的难度可以说不大，在这里着墨太多其实没有太大的必要性，只要等式的性质清楚，基本计算够快，一元一次方程没有练习太多的必要。

不过这倒是一个标志性的点，即我们如果从A级开始，到G级，经历了7个等级，一个级别大概是400面，如果缩印在A4纸上，可以四面合一面，那就是700面，如果一天练习一面，那么两年就可以从小学计算一直打到初一计算。

当然实际练习过程中不可能如此顺利，需要反复的练习，打磨，但效率已经不算低了，效果——如果不折不扣的完成，那么计算能力应该是不弱的。

因为小学数学中计算的主体性，这样的投入产出比我个人觉得是可以接受的。

H：在G教材的代数式运算能力的基础上，培养学生解一元至四元一次方程的能力以及学习一次函数，为学习I教材打好基础。

H级的内容包含了一元一次方程及其应用，多元一次方程组，一元一次不等式和一元一次函数图像。

这一级还是值得刷一刷的。

通过截图大家就可以看出，公文的优势就是循序渐进，入口足够低，保证孩子们一定能够上手，所以说培养孩子自学能力大概就是由此而来。

编者试图用一个自洽的系统涵盖初等数学的所有内容，将之整理成一条可以阔步向前的大道，这种想法是可敬的，也有一定的效果，但这样还是有其局限性的，不能概括数学的所有。

但作为对计算的训练辅助资料，应该说是不错的——内容系统、足够基础、循序渐进、层次合理，这都是它的优点。

I：在H教材的基础上，学习掌握因式分解、平方根、一元二次方程式、二次函数和勾股定理等内容，为学习J教材打好基础。

这一级挺有意思，包含的内容非常丰富。

从完全平方开始进入多项式计算，到二次式展开。

从平方差开始的分解因式，到十字相乘法分解一元二次式，这些还是蛮值得练习的。

一步一步演进到稍微复杂一点的因式分解。

其实吧，如果只是课内，我觉得公文的因式分解内容够了，不一定每个学生都要去研究复杂的因式分解。

这一级以及下一级J级所包含的因式分解题目基本上就够了。

开方计算，这些比较有价值。

过于复杂的像3969的开方则必要性不大。

无理数计算，比如分母有理化的练习，到比较复杂的无理数计算。

二次方程的解法到二次函数图像的绘制。

从勾股定理基础到利用勾股定理列方程解决问题到两点间距离公式。

这一级的内容是挺丰富的。

J：通过学习代数式、因式分解、无理数、二次方程及方程组、余式定理及高次方程，培养高等数学所必须的基础能力，为学习K教材打好基础。

这一级的因式分解还是有些复杂的。

多项式的整理与化简。

无理数的计算。

二次方程与韦达定理。

这种题目还是有些难度的，也很有实际价值。

这一章里还有一些多项式除法和高次方程的练习，和我们国内的数学学习关系不是太大，这个大家可以根据情况选择，学有余力的可以学一学。

K：培养学生各类函数（二次函数、高次函数、分式函数、无理函数、指数函数）的计算能力。

这一级的内容比较复杂，有些内容很好，有些内容甚至到高中都还有用，但有些内容相对于国内中学数学而言却有些偏了。

比如其中的二次函数、指数函数、分式函数，在高中用的比较多，高次函数在导数中会涉及，但现在的高考涉及高次函数求导的题目倒是没有以前多了，至于无理函数，使用的比较少，包括分式函数的题型也有些老。

二次函数图像的变换，有用，高中也会用到。

二次函数图像的性质和二次方程，高中会用到。

高次函数图像，导数中会用到，但不是必须。

分式函数图像，高中会用到。

高次不等式及分式不等式，高中会用到。

指数不等式，高中会用到。

所以说公文数学的高等级，需要有选择的使用，但它的系统化我还是蛮喜欢的。

但是还是老问题，只讲做法不讲原理，让它只能作为计算书来使用。

L：承接K教材学习对数函数、绝对值函数，开始涉及极限概念，培养学生计算简单微积分的能力。

L级的特点和 K级差不多，有些内容比较有用，但有些内容则有些偏。

截图中这一块还是不错的，对于高中导数学习还是有用的。

公文数学虽然有这样那样的问题，但是作为一个系统的计算升级书，还是很有优势的，也有它的优点。

甚至我们可以以此为依据，来安排孩子的计算升级之路。

但不能完全的照搬，毕竟我们和日本还是有区别的。

至于公文数学的资料，网络上流传很多，有电子版，也有微商售卖，线下也有公文式学习中心，大家可以自己考虑使用哪种方式。