夯实基础精准突破
----解析几何学考复习专题研究
德清县高级中学沈芳
【摘要】本文从平面解析几何学考内容，学考真题,以及学生在学习中存在的一些问题出发，着重阐述了平面解析几何学考复习的几点建议。主要从精准复习，夯实基础；高效课堂，突破难点这两方面展开。建议教师在课堂上要重视基础，培养学生的理解能力；要注重训练，培养学生的运算能力；要注重小结，培养学生的迁移能力等方面来提高复习效率。
【关键词】解析几何，圆锥曲线，直线，运算，能力，核心思想
内容分析
解析几何是用代数的思想来解决几何问题.在平面解析几何的教学中，要求教师应帮助学生经历如下过程：首先要将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题后，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题.平面解析几何的核心内容是直线与圆的位置关系，圆锥曲线的定义、方程、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等.
二．考题分析
1.近5次学考对解析几何部分的考查情况如下：
2.近5次学考对解析几何部分的考题分析：
（1）客观题
一是侧重考查基础知识.如直线、圆、抛物线的方程及基本量的计算；点到直线的距离公式、弦长公式、圆锥曲线的几何性质应用等，题目难度相对较低；
二是侧重考查双曲线、椭圆的离心率，难度相对较大.
（2）主观题
考查直线与圆锥曲线（主要是椭圆和抛物线）的位置关系这一传统热点，着重围绕直线与圆锥曲线的位置关系、范围、轨迹方程、最值、定值、存在性等方面设置问题.解题时要灵活运用解析几何、平面几何、向量、三角、函数、不等式等知识，综合性强，难度较大.
三．存在问题
在教学中可以发现失分的主要原因有：
1.对基本的概念与基本的公式理解不深刻，缺乏记忆.如：学生对椭圆及双曲线中a,b,c关系量混乱.
2.对平面解析几何的基本思想，基本方法，不太熟练.解题时方法的选择出现问题，解题速度不快，或运算量大，思维能力要求高等导致题做不完，甚至有些同学无从下手，更有些同学直接放弃解析几何大题.
3.代数运算能力较差，计算方法欠缺，以至于一遇到较复杂的式子的变形就会六神无主，盲目的计算，有了思路也做不完整，书写格式欠规范，叙述不规范经常出现丢分现象.针对以上学情，我们在教学中应及时调整复习策略，抓实基础，精准复习，提高复习效率.
四．教学建议
1.精准复习，夯实基础.
根据《学业水平考试说明》，列出知识清单，按章节帮助学生逐一过关，以客观题为主，难度适中.例如：
（1）直线的倾斜角与斜率.
如：直线的倾斜角是（）
（2）直线的方程.
如：过点且垂直于直线的直线方程为（）
（3）弦长公式.
如：已知直线与圆交于两点，则（O为原点）的面积为（）
（4）离心率.
如：1.已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为斜边作等腰直角三角形，若边的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是.
如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是________.
2.高效课堂，突破难点.
直线与圆锥曲线的位置关系是学考，高考的热点，也是我们本章学习的难点.课堂是教学的主阵地，高效的课堂是实现高效教学的必要条件.所以在复习课中，我们要努力落实三个重点，让学生对平面解析几何的基础知识、基本思想理解到位，提高代数的运算能力.下面结合自己的教学实际和大家交流一下我的一些想法.
2.1注重基础，培养学生的理解能力.
解析几何的核心观点是用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合的思想，核心方法是坐标法.用解析几何研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，让“形”与“数”对应起来，将“形”翻译转化，把点转化为坐标，把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来.
案例1已知椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点的直线与椭圆交于两点.
（i）设，若，求直线的斜率；
（ii）是椭圆的右顶点，且的角平分线是轴，求直线的斜率
（iii）以线段为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值；
（iv）若以为直径的圆过原点，求直线的斜率；
（v）点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点.求证：直线与轴始终围成一个等腰三角形.
根据以上问题的求解过程，填写下表：
几何条件 本质特征 转化成适当的代数关系 （i） 等腰三角形，三线合一 （ii）的角平分线是轴 直线关于轴对称 （iii）以线段为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上 （iv）若以为直径的圆过原点 （v）直线与轴始终围成一个等腰三角形 直线关于对称
通过这道例题，在不同问题情境中概括总结“几何条件转化成代数关系”的核心方法：分析几何条件的本质特征，选择适当的代数形式来表示.从现象到本质，抓住事物的本质特征.
对常见的几何关系与几何特征的代数化进行整理如下：
线段的中点：坐标公式；
线段的长：弦长公式；
三角形的面积：底高，正弦定理面积公式；
夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式；
面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比；
三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比；
垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式；
点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称；
直线与圆的位置关系；
等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征.
在教学中我们要防止一种误区：基础题不讲，追求难题，背概念或公式，不提知识如何生成.教师应重视常规基础题的练习，从不起眼的解题细节抓起，利用“三种意识”打通解析几何的思路，夯实学生基本知识和技能，提高学生的理解能力，才能解决更难的问题.
2.2注重训练，培养学生的运算能力.
如何来提高学生的运算能力，我们在课堂教学中努力做到以下四个方面：
要让学生准确和掌握基础知识、公式和法则.
注重学生基本运算技能的培养，课堂上要留出一定时间让学生进行当堂训练；
注重数学思想方法与运算技能的有机结合，运算能力发展到一定的水平，即形成了运算的基本方法和技能，此时还需不断运用有关的数学思想方法，如运算中的转化意识，将要计算的问题转化为容易求解的问题，这也是运算能力的一个重要组成部分.
重视算理算法，加强限时计算.注重积累，优化解题方法.教学中需要对学生的解题方法进行梳理、改造，让学生明白每一种方法的优点和缺点，从而在解题时根据具体情况，选择有效、便捷的方法解决问题.
在教学中要两手抓，两手都要硬.一手抓基础：基本概念、基本方法、常见问题，“弦长公式”，“图形面积的计算”，“轨迹方程”“定点定值——先猜后证”，“最值问题——目标函数”，存在性问题——从特殊值出发”，运算基本功.一手抓思考：知其然更须知其所以然，带着思考去解决，而不是带着套路去解题.在思考中提升思维品质，提高解题能力.
案例2已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点
（1）求椭圆的方程；
（2）以为直径的圆是否经过定点？
若经过，求出定点的坐标；若不经过，说明理由.
本题相对容易，学生教易入手，且有多种方法解决.
方法1：设点；
方法2：设直线；
方法3：设直线；
方法4：设点；
方法5：先特殊化猜测定点，再进行代数验证等.
给学生时间，由学生自主解决并交流展示方法.
利用思维导图提高分析能力
在学生展示其做法的过程中，教师提炼思维过程，并将其以简易思维导图形式板书。例如：①设（利用中心弦）直线，点圆定点；
②设点点（关于原点对称）直线，点圆定点.
简单的思维导图可以帮助学生理清“思路”，找到“线头”.帮助分析，并且在画思维导图的过程中也可预判所选方法是否可行.如经常有学生有这样的困惑：知道题目设点或设线均可解决，但对哪种计算量相对较小不清楚.若能借助思维导图，对推出下一步需做哪些工作即可一目了然，相信对下笔前的预判是有一定帮助的.
小结“套路”，适度形式化，感受知识本质.形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达式是一项种基本要求，本例题虽可通过不同的方法解决，但我们最好能将解决此类问题的基本方法进行总结。步骤如下：首先，选取适当的参数；其次，整理所求目标；再次，化简证明；最后，得出定点.学生遇到的最大问题往往是：这几个解题步骤是清楚的，可题目中那么多点，那么多线，到底选取哪一个才算是：合适的参数呢？这个问题是突破难点的关键，一题在于引导学生发现.因此，在选取适当的参量前，一个重要的工作是要清楚整个动态图形生成的过程，找到一个动因，进而顺藤摸瓜，理清整个解题思路.另外一个大家困惑的地方——设点还是设线，这就更加能体现思维导图的优越性.最后，在课堂留足够的时间让学生完成解答过程.
2.3注重小结，培养学生的迁移能力.
学考复习通过课堂小结和单元小结对知识概括提炼，有利于学生建立良好的认知图式，
强化记忆，促进迁移.通过知识间的联系把知识进行整合，将难于理解的知识规律化，使学生零散的知识串成网，印在学生的脑海里.此外，要重视解题过程中思想方法的提炼与应用，如坐标法；方程思想；分类讨论；数形结合；对称思想；参数思想.
案例3：解析几何中变量的取值范围问题.
问题1点是抛物线上的动点，点\在轴上，圆内切于，求的面积的最小值_________.
问题2如图，已知椭圆的上顶点为，
直线交椭圆于点（点在点的左侧）
点在椭圆上，若，
求的最大值_______.
问题3已知分别为双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离是，则该双曲线的离心率的取值范围为________.
待学生尝试解决了三个问题后，归纳概括出解决解析几何中变量的取值范围（最值）问题的常见策略：
一是建立目标函数.如问题1，选择点的横坐标为自变量，建立以的面积为应变量的函数，，再求函数的最小值；
二是建立关于该变量的不等式.如问题2，，，
，，则
，，，，即.由判别式，得
，即，的最大值为，此时，所以的最大值为.
三是数形结合.如例3，不妨设点在第一象限内，考查直线与双曲线位于一、三象限的渐近线的位置关系，便得到关于的不等式，即，从而得到双曲线的离心率的取值范围为.
以上三个问题，方法各异，需要根据问题的特点，合理选择恰当的方法，让学生在解题的过程中比较领悟各种方法的本质及适用的情境，从而实现突破，以不变应万变.
总之，在解析几何学考复习中，教师要以新课标理念为指导，转变教学观念，进行单元整体教学设计，重基础，重过程，重训练，重小结，注意站在学生的角度，想学生之所想，难学生之所难，疑学生之所疑，降低学生的认知度，把课堂变成师生共同探索，共同提出问题，共同解决问题的阵地.从而使学生积极主动地学习，让学生体会数学知识的应用价值，增强学生学好数学的兴趣与信心，提高数学悟性和数学意识，形成较高的数学素养.
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