《二次函数与一元二次方程》
一、背景分析
（一）、学习任务分析
函数是一种重要的数学思想，函数和方程是初中数学学习的重点和难点，在学习中具有举足轻重的作用和地位。本节课是北师大版九年级（下）第二章《二次函数》第5节。在这之前，学生已经学习了一次函数与一元一次方程、二元一次方程组之间的关系；本课时的核心是探索二次函数的图像和横轴交点与与一元二次方程的根之间的关系，数形结合是学生掌握知识的较好方法。本课时也将为高中学习打好基础，作好铺垫，在教学中有着承上启下的作用。
（二）、学生情况分析
学生已经学习了二次函数一般式、顶点式及其图象和性质，一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经学习了一次函数和一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的关系，因此，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。
（三）、教学重点，难点
根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制定本节课的学习重、难点如下
学习重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解其实质就是把函数值换成常数求一元二次方程的解。
学习难点：利用函数的性质，用逐步逼近去试探求出近似解，较难理解，培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。
二、学习目标
根据新课标的要求及九年级学生的认知水平特制定本节课的教学目标如下：
知识与技能：
1、掌握二次函数与一元二次方程的联系。。
2、掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
过程与方法：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、经历用二次函数图象求一元二次方程近似解的过程，获得用图象法求方程近似解的体验。
情感、态度与价值观：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。
2、培养学生合作学习的良好意识和积极进取的精神。
3、培养学生用联系的观点看问题。
三、信息技术及教学媒体的应用：自制课件，将文字、表格、图形组合，在相应的教学环节出示相应的内容，在不同过程结构中起辅助载体作用。
四、教学过程（说明：教材将本节分为两课时，因此我的教学过程也分为两课时进行独立设计，没有合并设计）
第一课时：为了充分发挥学生的主体性、小组合作学习的作用和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了七个环节：1、学习准备；2、情境创设3合作探究；4反思小结；5即时测评；6知识升华7课堂小结
这节课是在学生自主预习的前提下，学生讲解，老师适时引导；教师评价、自我评价、学生评价等多元化评价贯穿整个教学过程。
（一）、学习准备
1、解方程：x2-2x-3=0
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=。
当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？
4、回顾一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=－x+5与x轴的交点坐标是，一元一次方程－x+5=0的解是。你发现了什么？
5、回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=－x+5与y=2x－1的图象的交点坐标与方程组
的解是什么关系？
（结论：要求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函数图象的表达式组成方程组，方程组的解就是交点坐标。）
这样设计的理由是八年级时学生学习了一次函数和一元一次方程的解，以及和二元一次方程组之间的关系，因而，本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。
这一环节我在课前提前布置给学生，课上不留思考时间，直接请每个小组基础较差的同学口答。如果回答不够完整，其他学生可以补充或评价，教师根据学生的回答情况补充或评价。
（二）、创设情境引入新课
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么
（1）h与t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
设计意图：通过借助方程和图像两种方法解题，使学生初步感受二次函数与一元二次方程的联系
教学策略：小组交流发表看法
（三）合作探究：二次函数图象与x轴交点的个数与△关系
在这个环节，，教材只讨论了a＞0的情况，没有谈到a＜0的情况，而且他的设计不便于对比、联系。因此，我改动如下，分为两种：
当a＞0时
二次函数表达式 草图 与x轴的交点的个数 一元二次方程 △= 二次函数与x轴交点个数与△的关系 y=x2+2x-2
x2+2x-2=0 y=x+2x+1
x+2x+1=0 y=x+2x+2
x+2x+2=0 （2）当a＜0时
二次函数表达式 草图 与x轴的交点的个数 一元二次方程 △= 二次函数与x轴交点个数与△的关系 y=－x2－2x+2
－x2－2x+2=0 y=－x－2x－1
－x-2x-1=0 y=－x2－2x－2
－x2－2x-2=0 这样设计的理由是学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。帮助学生在小组合作和交流学习，体会到成功的快乐。通过表格对比，数形结合更加清楚直观地展现出一元二次方程根的判别式与二次函数与x轴交点个数的关系。
这一环节我将学生分组，每组做一行，这样做的目的是加强组与组的合作。这个环节给学生充分的时间观察、对比、交流，进而发现规律。在充分交流、讨论的基础上，小组派代表谈谈他们发现的规律，其他学生评价或补充。
（四）、反思小结——二次函数y=ax2＋bx＋c与一元二次方程的ax2＋bx＋c=0的联系
知识点：
1二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：，，。
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有0个交点一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实数根（△<0）
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有1个交点一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根（△=0）
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有2个交点一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根（△>0）
2交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的。
这样设计的理由：教学过程中，学生往往对所学的知识和探究的问题感觉比较零乱，没有一个系统的、一般的理解与认识。所以安排这一教学环节来及时地把问题和学习内容进行整理和归纳，给学生系统化的认知。
（五）、即时训练：（1）抛物线y=x2-(a+2)x+9与x轴只有一个交点，则a=。
（2）已知二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为。
（3）抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）
A．3个B．2个 C．1个D．0个
（4）与x轴不相交的抛物线是（）
A．y=3x2-4B．y=-2x2-6C．y=-x2-6D．y=-(x+2)2-1
(5)抛物线y=mx2＋(3－2m)x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点。
（1）求m的取值范围；（2）判断点P(1，1)是否在此抛物线上？
这样设计的理由是对本节课所学内容进行及时的反馈矫正，由浅入深，由易到难，实施分层教学，针对不同学生，有不同的标准。
这一环节我将在学生独立思考完成后，再请每个小组代表展示和讲解，其他学生补充或评价我适时点评。
（六）、知识升华：回到一开始的小球上抛问题中，提问何时小球离地面的高度是60m？
这一问题实际上涉及二次函数y=ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c=h的联系，教学时鼓励学生借助方程和图像解决问题，从而沟通“数”与“形”的联系，进一步感受二次函数与一元二次方程的联系，理解其实质就是把函数值换成常数求一元二次方程的解。
（七）课堂小结：
课程结束时，让学生谈谈自己的收获以及还有哪些问题没能搞明白。
?安排这一环节的意图：这一环节可以促使学生对本节课的内容进行主动的、深层次的的回顾与反思，从而加深学生对所学知识的整理、记忆与理解，同时也便于老师对课堂教学效果的及时掌握和调整以后的教学思路。
六、教学评价与反思：
本节课始终关注学生能否在老师的引导下积极主动地按所给的条件进行学习，能否在小组活动中大胆尝试并表达自己的想法从而发现结论，在同学讲解后，能否作出适当的评价或补充。本节课我选择教师评价、自我评价、学生评价等多元化评价，对不同的学生有不同的评价标准，尊重学生的个体差异，把评价贯穿于教学活动的全过程，发挥评价的功能，以帮助学生认识自我，建立信心
总之，在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”这一《新课程标准》精神，注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了良好的教学效果，我认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与小组合作学习交流中解决学习中的问题。
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