变式1、将原题中“交线段AB于P”改为“交直线AB于P”，则此题又将作何解答？在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边A
C上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交直线AB于点P，交射线CB于点F，①求
证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。A
BCDEOPF在△ABC中，等边三角形ABC，AB=6，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点
D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交直线AB于点P，交射线CB于点F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y
关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。变式2、将原题中“∠ABC=90°，AB=4，BC=3”
改为“等边三角形ABC，AB=6”则此题又将作何解答？ABCPFDEO解：（1）结论△ADE∽△AEP仍成立。
（2）在Rt△AOD中，∠A=60°，则AD=，OE=OD=所以AE=+x所以y=因为
0＜AE≤AC所以0＜x≤24－12由△ADE∽△AEP，得，,即0＜≤6，ABCDEFPO
变式3、将原题中“∠ABC=90°，AB=4，BC=3”改为“等腰直角三角形ABC，AB=4”则此题又将作何解答？变式4、将原题
中“O点为斜边AC上的一个动点”改为“O为直角边AB上的一个动点”。在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O为
直角边AB上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与斜边AC相切于点D，交线段OB于点E，作EP⊥ED，交直线AC于点P，交射线CB于点
F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的
长。ABCEDOFP变式5：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AB上的一个动点，以点O为
圆心作半圆，与斜边AC相切于点D，交线段OB于点E，作EP⊥ED，交直线AC于点P，交直线CB于点F①求证：△ADE∽△AEP
②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式。③当CF=1时，求线段AP的长。ABCEDFPO（2013宁波
考试说明）如图，四根长度均为2的小棒AB,BC,CD,DE,四根长度均为的小棒EF,FG,GH,HA，首尾顺次
相连恰好放在一个圆周上，连接OD,OF.(1)求∠DOF的度数;(2)求⊙O的半径;(3)求阴影部分
的面积.解(1)(2)过F作FP⊥DE于P,连结DF,在Rt△EFP中,∠FEP=45°,EF=∴EP=FP=2
,∴在Rt△DFP中,∵△DOF是等腰直角三角形∴OD=(3)（2013宁波17）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC
=，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为▲．BDACOE（20
13宁波中考说明）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=8，那么△BC
E的周长等于▲_C_E_B_A_D（2013宁波中考说明）如图，在直角梯形ABCD中，
∠A=∠B=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=8，那么△BCE的周长等于▲解：设
则在
Rt△ADE中，即_C_E_B_A_DEBA
CD（2013宁波中考备用卷18）如图，在四边形ABCD中，E是BC上的一点，∠AED=∠B=∠C=60°AB+A
E=BC=8，BE=2，则△CDE的周长为。宁海星海中学王伟变式中的极端化思想是指把
问题的某一条件引向极端来加以考察。数学中很多问题，若运用极端化思想去处理，不仅能迅速猜测出答案，还能启发解题策略，可使复杂问题简单
化，抽象问题具体化，从而使问题获得迅速解决。例1、如图已知：C、D是线段AB上两点，且AB=20cm，CD=6cm，M是AD的
中点，N是BC的中点，则线段MN=特殊情况：当点C与点A重合时7解法：设AC=x，则AD=AC+CD=
6+x，BC=20-x∵M是AD的中点∴MD=AM=3+x∵N是
BC的中点∴CN=BC=10-x∴MN=CN+AC-AM=10-x+
x-(3+x)=7例2、在等边三角形ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点D为MN上任意一点，BD,CD的延长线分别
交于ACAB于点E,F,若 则△ABC的边长为多少？特殊情况：当D是MN的中点时解：∵M.N是AB,AC中点，D
是MN中点例2、在等边三角形ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点D为MN上任意一点，BD,CD的延长线分别交于ACAB于
点E,F,若 则△ABC的边长为多少？特殊情况2：当D与M重合时解：∵M.N是AB,AC中点，D是MN中点本
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com宁海星海中学王伟联系电话：13732129000《初中数学变式精讲》（第2讲）第一部分
数学问题演变的意义与价值认识一、数学问题演变的意义二、数学问题演变的价值认识1、优化学生思维素质2、掌握贯通数学思想3
、培养学习兴趣，提高教学效益以往的变式教学更多地在理论上列举了一题多变、举一反三的教学与学习的优势，更多地立足于宏观教学
理论上的探讨。但作为一线教师对数学变式的途径希望是明确再明确、具体再具体的，使每一个教师都能理解掌握并能熟练地进行操作。立足于课堂
教学和学生解题训练的实际，我研究了数学问题是如何深入和演变的具体途径，注重于数学问题演变的具体的技术手段。八个具体技术手段和途径
：1、图形内部结构的变式探究2、几何图形形状的变式探究3、对原题型的条件或结论的变式探究4、原题数量关系的变式探究5、因
某一知识迁移的变式探究6、增加试题层次的变式探究7、转化设问方向的变式探究8、纵横交错、信息互换的变式探究第二部分、培
养数学问题演变能力的策略一、重视基础，沟通联系案例1.求证：顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。变式1、
求证：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形。变式2、求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形。变式3、求证：顺次连结正方
形各边中点所得的四边形是正方形。变式5、顺次连结什么四边形中点得到矩形。变式6、顺次连结什么四边形中点得到菱形等。变式4、顺
次连结什么四边形中点得到平行四边形。例２、圆台侧面积公式为Ｓ＝π（Ｒ＋ｒ）ｌ．当ｒ＝０时，即圆台体变形为圆锥体，圆锥体侧面积公式
为Ｓ＝πＲｌ；当Ｒ＝ｒ时，圆台体变形为圆柱体，圆柱体侧面积公式为Ｓ＝２πＲｌ．这样，我们用整体的观点，站在更高的层次上，分析与研究
知识点之间的纵横关系、因果关系、演变关系，沟通不同知识间的内在联系，以知识为经、方法为纬，编织一个“知识网”，为进行数学问题演变奠
定了坚实的知识基础。二、推陈出新，发展思维案例3：如图2-1，在Rt△ABC中，当∠C=90°，则c2=a2+b2（勾股定理
）变式1、当∠C不是90°时，c2=a2+b2仍成立吗？如不能成立，a、b、c三边又成何关系式呢？?变式2、我们已知所有符
合a2+b2=c2的正整数解即为一组勾股数，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41……那是
否存在正整数a、b、c使a3+b3=c3呢？变式3、当n>3时，是否存在正整数a、b、c，使
也成立呢？这就是有名的数学难题——费马最后定理。三、掌握
规律，建立技能直觉思维辩证思维发散思维大胆猜想、类比、联想熟悉化、简单化、具体化、特殊化，组合、分拆解法发散，条件结论
发散，动静变换，主次易位，相关问题比拟A的变式策略构建检验与择优问题A例1：如图，已知AD⊥BD，AC⊥
BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。变式题1：
如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点，则FG⊥DE，请说明理由。变式题2：如图
，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°,点M，N分别是BD、AC的中点，MN、AC的位置关系如何？ABCDMN
例２已知点Ｐ（ａ－2，ａ２－４）在ｘ轴负半轴上，求点Ｐ坐标变式１已知Ｐ（ａ－２，ａ２－４）在二、四象限的角平分线上，求点Ｐ坐标
变式２若点Ｐ（ａ－２，ａ２－４）在直线ｙ=２ｘ＋３上，求点Ｐ的坐标．变式３已知点Ａ（－３，ｍ）、Ｂ（ｎ，４），若ＡＢ∥ｘ轴，求
ｍ的值并确定ｎ的范围．问题一：要在河边修建一个水泵站，分别向两侧的村庄A,B送水，问水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水
管最短？请你来设计方案，怎样设计才能使所用的水管最短？问题二：要在河边修建一个水泵站，分别向同侧的村庄A,B送水，问水泵站
应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？例1：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P
,则BP+PE最小值_____解:B的对称点为C,连接CP只要C,P,E三点共线即可D变式1：在等边三角形ABC中，AB=2
，点E是AB的中点，在BC上找一点P,使AP+PE最小，则最小值是_______解：作E的对称点E''，连接PE''，延长E''E，
作AF⊥E''F∵AP+PE=AP+PE’∴A,P,E''三点共线时最小方法二：解：作A的对称点A''，连接A’E，A’B∵A
P+PE=A’P+PE∴A’,P,E三点共线时最小变式2：设正三角形ABC的边长为2，E为AB上的中点，P为BC边上的任意一
点，PA＋PE的最大值和最小值分别记为s和t。求s2－t2＝＿＿。(2005.全国初中数学竞赛题）解：由上题可知最小值为
当P运动到于C重合时最大，最大值为变式3：如图，在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P在BD上，则PE和PC
的长度之和最小可达到＿＿＿＿。解：由正方形的对称性质，可知点E关于BD的对称点E''在AB上，连CE''交BD于P，则PE＋PC
最小此时PE''＝BE＝2PE''＝PE，PE＋PC=PE''＋PC=CE‘EABCDPE’变式4：如图，已知⊙O的
半径为r，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则CP＋PD的最小值为＿＿
＿＿。解：如图，设D''是D关于直径AB的对称点，连CD‘交AB于P则P点使CP＋PD最小。∵AC＝96°，BD＝36°，
∴CD=180°－96°－36°＝48°∴CD‘=48°＋36°×2＝120°，∴∠COD''＝120°。从而易求CP＋PD＝
CD''＝变式5：如图，平面直角坐标系中，分别以点A(2，3),点B(3,4)为圆心，1，3为半径作圆A,圆B,M,N分别是圆A,
圆B上动点，P为X轴上的动点，则PM+PN的最小值解析：作圆A关于X轴的对称圆A’,连接BA’分别交圆A’和圆B于M,N,交X轴
于P,此时PM+PN最小A’B=即PA+PB的最小值为变式6：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,5）请在x轴上找
点P,则AP＋BP最小值是_____解：作点A关于直线l的对称点A''，连结A''B交直线l于点p，两线段的和AP＋BP＝A''P
＋BP＝A''B=变式7：求代数式的最小值。41813422+-++-xxxx解答要点：如
图，参考上题可知＝＝数形结合思想变式8：求代数式的最大值。解：连接BA并延长交x轴于点CAB即为差的最大值变式9
：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,-5）请在x轴找一点P,则最大值是_____解：作B的
对称点B’,连接B’A并延长交x轴于PAB’为的最大值变式10：如图，在第一象限上有两点A（2,3）
,B（4,-5）请在x轴找一点P,则最小值时，P的坐标______解：连接AB，作AB的中垂线交X轴于点
P∴P(7,0)(7,0)方法一:设P(x,0)∵AP=BP∴AP2=BP2∴（x-2)2+9=(x-4)2+25
∴x=7变式11：如图，在第一象限上有两点A（2,3）,B（4,-5）请在x轴找一点P,则最小值时，P的坐标______解：连接AB，作AB的中垂线，交X轴于点P∵LAB:y=-4x+11∴P(7,0)(7,0)∴直线AB的中垂线的解析式:方法二:例3：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交线段AB于点P，交射线CB于点F，①求证：△ADE∽△AEP②设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。③当BF=1时，求线段AP的长。（2005年上海中考压轴题）ABCDEFPOABCDEO(F)(P)本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com |
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