本课编制：姜黄飞（浙江省海盐县滨海中学，浙江省褚水林名师网络工作室）——201
9年衢州市中考数学第24题1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈
现最长？（即在地球上什么部位，可视角最大？）可视角人O地面O人人B地面可视角2可视角1这一
最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个，引人注目，因为德国数学家米勒曾提出，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”。
一2019年衢州市中考数学第24题的最后一问就是此类动点与张角问题如图，在∠MON中，定点A、B在射线OM
上，动点P在射线ON上，当P在何处时，∠APB最大？米勒问题（一般化）一问题解决思考1：点P在射线ON上移动在时张角
∠APB大小如何变化？思考2：当点P取两个张角相等位置时，你能联想到什么？思考3：当张角最大时，此时圆和ON是什么位置关系？
二思路探寻（2019衢州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点
D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。（1）求CD的长；
（2）若点M是线段AD的中点，求的值；（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P
，使得∠CPG=60°？（2）点M是线段AD的中点，可得△DMF≌△AMG，∴AG=DF，又由BC=
，∴BD=，又DE∥AC，∴，所以
。简析：（1）∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，又AC=6，∴CD=
。图1（2019衢州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交
BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。（3）请问
当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？64思考：在线段DE上恰好只有一点P，
你想到了什么？它与在直线DE有唯一交点等价吗？此问即是张角问题，可以是最大张角为60°，即过CG的圆与DE相切，此时在线段DE
上存在唯一点P，即切点，或与直线DE有两个交点，其中一个交点在线段DE上.思路探寻二图1（2019衢州）如图1，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段
AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，
使得∠CPG=60°？思路探寻二思考1：怎样画出相切时的圆，圆心又在哪里？你的依据是什么？圆心O在CG
的中垂线上垂径定理CG中垂线与DE的交点P为切点切线性质△COG是顶角120°的等腰三角形圆周角圆心角的关系HOP
M思考2：由思考1能进一步求得哪些量？64图2①当⊙O与DE相切时，如图2，过O点作OH⊥AC，交AC于点H，并延
长HO与DE交于点P，连结C，OG，设⊙O的半径OP=r，则OH=r，r+r=2，解得r=
．∴CG=×=4，AG=2，EF=，DF=易知△DFM∽△AGM，可得
,则，∴DM=．（3）解：∵
∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为O，∴△COG是顶角为120°的等腰三角形.问题解决二图2关键点：
1.由∠COG=120°可得：∠OCA=30°，所以CO⊥AB2.圆心O在边AB的高上3.在Rt△OEK中求解半径关键点：
DA为直径图4图3图2②当⊙O经过点E时，如图3，过C点作CK⊥AB，垂足为K，则AK=3．设⊙O的半径OC=O
E=r，则OK=3-r．由题意可知AB=12，AE=4，所以EK=1.在Rt△EOK中，12+（3-r）2
=r2，解得r=，∴CG=×=，∴DF=，AG=，
由△DFM∽△AGM，可得DM=.拓展延伸二图3③当⊙O经过点D时，如图4，此时点M与点
G重合，且恰好在点A处，可得DM=4．综上所述，当DM为或时，满足条件的点P只有一个。拓展延伸二图4方法归纳二隐圆动点与角米勒问题切线性质垂径
定理圆周角圆心角关系最大张角相切位置操作猜想验证拓展延伸三图5练习（2019烟台）如图5，顶点为
M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴
，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点
，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向
运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）（1）答案：D（2，3），y＝﹣x2＋2x＋3；
（2）略；拓展延伸三图5练习（2019烟台）如图5，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A
（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0
）经过点D，连接MD，BD．（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BP
D的度数最大？（请直接写出结果）图6图7拓展延伸三(3)解：如图7，由抛物线知B（3，0），P（0，t），作
△PBD的外接圆Q，当⊙Q与y轴相切与点P时，∠BPD的度数最大，此时PQ＝BQ，由Q（r，t），所以BQ2＝（r－3）
2＋t2＝r2，易得BD中点F（，），BD的解析式为：y＝－3x＋9，所以BD的中垂线的解析式为：y＝x＋
，把Q点代入得t＝r＋，所以r＝3t－2，代入（r－3）2＋t2＝r2得t2－18t＋21＝0，解得t＝9＋2或t＝9－2，由题意可知0＜t＜3，所以t＝9-2.图7三操作猜想验证未知模型中考动态压轴题已有模型剥离外衣发现本质应用模型谢谢观看玩转微课展思维拓 |
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