3.1.1函数的概念1、请回忆在初中我们学过那些函数？正比例函数：y=kx(k≠0)反比例函数：一次函数：y
=kx＋b(k≠0)二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)3.1.1函数的概念一般地,设在一个变化过
程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.从今天开始,我们将
进一步学习函数及其构成要素.下面先看几个实例.2、什么是函数(初中定义)3.1.1函数的概念问题1某“复兴号”高速列车加
速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内.列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为
S=350t这里,t和S是两个变量,而且对于t的每一个确定的值,S都有唯一确定的值与
之对应,所以S是t的函数．思考:有人说:“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km.
”你认为这个说法正确吗?3.1.1函数的概念根据问题1的条件,我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况,
所以上述说法不正确.显然,其原因是没有关注到t的变化范围.下面用更精确的语言表示问题1中S与t的对应关系.列车
行进的路程S与运行时间t的对应关系是S=350t
①其中,t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},S的变化范围是数集B1={S|
0≤S≤175}.对于数集A1中的任一时刻t,按照对应关系①,在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．3.1.1函数的概念
问题2某电气维修公司要求工人每周工作至少１天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,
那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?显然,工资w是一
周工作天数d的函数,其对应关系是w=350d
②其中,d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},w的变化范围是数集B2={350,700,1050
,1400,1750,2100}对于数集A2中的任一个工作天数d,按照对应关系②,在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．3.
1.1函数的概念问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个函数吗?为什么?S=350t
①w=350d②3.1.1函数的概念问题3下图是北京市201
6年11月23日的空气质量指数(AirQualityIndex简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气
质量指数(AQI)的值I?你认为这里的I是t的函数吗？3.1.1函数的概念从图中的曲线可知,t的变化范围是数集A3={t|
0≤t≤24},AQI的值I都在数集B3={I｜0＜I＜150}中.对于数集A3中的任一时刻t,按照图中曲线所给定的对应关系
,在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此,这里的I是t的函数．你能根据图找到中午12时的AQI的值
吗?3.1.1函数的概念问题4国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下
表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高．年份y2006200720082
009201020112012201320142015恩格尔系数r(%)36.6936.8138.173
5.6935.1533.5333.8728.8929.3528.573.1.1函数的概念你认为按
上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数?年份y200620072008
2009201020112012201320142015恩格尔系数r(%)36.6936.8138.17
35.6935.1533.5333.8728.8929.3528.573.1.1函数的概念这里,y的取值范围是数
集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015};根据恩格尔系数的
定义可知,r的取值范围是数集B4={r｜０＜r≤1}.对于数集A4中的任意一个年份y,根据表中所给定的对应关系,在数集B4中都有
唯一确定的恩格尔系数狉与之对应.所以,r是y的函数．3.1.1函数的概念归纳上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?由
此你能概括出函数概念的本质特征吗?上述问题的共同特征有:(1)都包含两个非空数集,用A,B来表示;(2)都有一个对应关系
；(3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数
y和它对应．事实上,除解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便,我们引进符号f统一表示对应
关系.3.1.1函数的概念一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对
应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称?:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).记作:y=
f(x),x?A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数
值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).3.1.1函数的概念函数符号y＝f(x)是由德国数学家莱
布尼兹在18世纪引入的．显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数
集B3的真子集;在问题4中,值域B4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,
0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集B4={r｜0＜r≤1}的真子集．3.1.1函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系f把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的
数ax+b(a≠0)．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域是B.当a＞0时,
;当a<0时,
.对应关系f把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数ax2+bx+c(a≠0)．3.1
.1函数的概念思考反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么?请用函数
定义描述这个函数．3.1.1函数的概念例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,
可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的
物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.3
.1.1函数的概念解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是R,值域是B={y|y≤25}.对应关系f把R中的
任意一个数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x).如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x|0下情境:长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).探究构建其他可用解析
式y=x(10-x)描述其中变量关系的问题情境．3.1.1函数的概念(1)定义域(2)对应法则(3)值域3
.1.1函数的概念(1)A,B都是非空数集；(2)f:A→B确定了集合A到集合B上的函数;(3)函数的定义
域为A,值域{f(x)|x∈A}?B,而值域{f(x)|x∈A}由定义域、对应关系确定;(4)符号y=f(x)的理解
①x是自变量,它是对应关系所施加的对象；②f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格,也可以是文
字描述;③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式.(5)常用函数符号:?(x),g(x),h(x),F(x),G(x)等.3.1.1函数的概念1、下列说法中,不正确的是()A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素B |
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