【原】2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）

学科培优 2022-06-29 发布于山东

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足∁_UM={1，3}，则（　　）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
组卷：269真题：1难度：0.9
2．（5分）已知z=1-2i，且z+a

z
+b=0，其中a，b为实数，则（　　）
A．a=1，b=-2 B．a=-1，b=2 C．a=1，b=2 D．a=-1，b=-2
组卷：259真题：1难度：0.9
3．（5分）已知向量
→
a
，
→
b
满足|
→
a
|=1，|
→
b
|=
√
3
，|
→
a
-2
→
b
|=3，则
→
a
·
→
b
=（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
组卷：346真题：2难度：0.7
4．（5分）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b_n}：b₁=1+
1
α1
，b₂=1+
1
α1+
1
α2
，b₃=1+
1
α1+
1
α2+
1
α3
，…，依此类推，其中α_k∈N^*（k=1，2，…）．则（　　）
A．b₁＜b₅ B．b₃＜b₈ C．b₆＜b₂ D．b₄＜b₇
组卷：130真题：1难度：0.7
5．（5分）设F为抛物线C：y²=4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|=|BF|，则|AB|=（　　）
A．2 B．2
√
2
C．3 D．3
√
2
组卷：195真题：2难度：0.7
6．（5分）执行如图的程序框图，输出的n=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
组卷：94真题：2难度：0.7
7．（5分）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，BC的中点，则（　　）
A．平面B₁EF⊥平面BDD₁ B．平面B₁EF⊥平面A₁BD
C．平面B₁EF∥平面A₁AC D．平面B₁EF∥平面A₁C₁D
组卷：434真题：2难度：0.6
8．（5分）已知等比数列{a_n}的前3项和为168，a₂-a₅=42，则a₆=（　　）
A．14 B．12 C．6 D．3
组卷：262真题：2难度：0.7
9．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
√
3
3
D．
√
2
2
组卷：385真题：2难度：0.6
10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p₁，p₂，p₃，且p₃＞p₂＞p₁＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
组卷：278真题：1难度：0.7
11．（5分）双曲线C的两个焦点为F₁，F₂，以C的实轴为直径的圆记为D，过F₁作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F₁NF₂=
3
5
，则C的离心率为（　　）
A．
√
5
2
B．
3
2
C．
√
13
2
D．
√
17
2
组卷：195真题：1难度：0.5
12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7．若y=g（x）的图像关于直线x=2对称，g（2）=4，则
22
k＝1
f（k）=（　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
组卷：314真题：1难度：0.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
．
组卷：298真题：2难度：0.8
14．（5分）过四点（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为
．
组卷：146真题：2难度：0.7
15．（5分）记函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）=
√
3
2
，x=
π
9
为f（x）的零点，则ω的最小值为
．
组卷：282真题：1难度：0.6
16．（5分）已知x=x₁和x=x₂分别是函数f（x）=2a^x-ex²（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x₁＜x₂，则a的取值范围是
．
组卷：217真题：1难度：0.5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）．
（1）证明：2a²=b²+c²；
（2）若a=5，cosA=
25
31
，求△ABC的周长．
组卷：429真题：1难度：0.6
18．（12分）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
组卷：370真题：1难度：0.5
19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m²）和材积量（单位：m³），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积x_i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量y_i 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得
10
i＝1
x_i²=0.038，
10
i＝1
y_i²=1.6158，
10
i＝1
x_iy_i=0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m²．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r=
n
i＝1
(xi−

x
)(yi−

y
)
√
n
i＝1
(xi−

x
)2
n
i＝1
(yi−

y
)2
，
√
1.896
≈1.377．
组卷：292真题：2难度：0.4
20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，-2），B（
3
2
，-1）两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
→
MT
=
→
TH
．证明：直线HN过定点．
组卷：219真题：2难度：0.4
21．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）+axe^-x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
组卷：194真题：1难度：0.2

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x＝
√
3
cos2t，
y＝2sint

（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+
π
3
）+m=0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
组卷：144真题：2难度：0.6

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

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