定理一、内容提要n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.定理
设l是n阶矩阵A的k重特征值,则定理方阵A可相似对角化的充分必要条件是A的
每一特征值的几何重数等于代数重数.称k为特征值l的代数重数.称n-R(lE-A)为特征值l的几何重
数.(1)求出n阶方阵A的所有特征值li.一、内容提要(2)求(liE-A)x=0的一
个基础解系.(3)将求出的n个特征向量排成矩阵则可对角化矩阵的多项式计算当P-1AP=L=
diag(l1,…,ln)时,方阵相似对角化的算法二、典型例题例1设a1,a2,a3,b均为3
维列向量,矩阵A=(a1,a2,a3),解B=(3a1,2a2,b),且已知行列式detA=2,
detB=?6.计算det(3A-B)和det(3A+B).解例2设计算知识点例3计算矩
阵A2n的行列式,其中解例4设且A2+AB-A=E,求A9和B.解证明例5设
A满足方程A2+2A-E=O,证明A与A+3E都可逆,并求它们的逆阵.由A2+2A-E=O,得
因此A可逆,且有因此A+3E可逆,且有且AB=B+A,求B.已知解例6由AB=
B+A,得例7设求An.解则有令知识点问a取什么值时,(1)b可由a1,a2,a3
线性表示,且表示式唯一;(2)b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一;(3)b不可由a1,a2
,a3线性表示.解对(A,b)?(a1,a2,a3,b)施行初等行变换(1)当a??2时,R(A,b)=R
(A)=3,b可由a1,a2,a3线性表示,且表示式唯一(因a1,a2,a3线性无关);(2)当a=2时,R(A
,b)=R(A)=2,b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一(因a1,a2,a3线性相关);(3)当a=-2
时,R(A,b)?R(A),b不可由a1,a2,a3线性表示.例8设例9设矩阵A=(a1,a2,
a3,a4),其中a3,a4线性无关,a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程组
Ax=b的通解.解知识点由a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2知x1=(2,1,-1,0)T,x2=(3
,2,0,-1)T为方程组Ax=0的两个解,又因a3,a4线性无关,所以a3,a4为a1,a2,a3,a4的一个最大
无关组,秩R(A)=2.易知R(x1,x2)=2=4-R(A),因此x1,x2为方程组Ax=
0的一个基础解系.由b=a1+a2+a3+a4知h=(1,1,1,1)T为方程组Ax=b的一个特解.因此,方程组
Ax=b的通解为且有解且有例10设(1)求A的列向量组a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组,并把
其余向量用此最大无关组线性表示;(2)求Ax=0的通解.(1)化A为行最简形:a1,a2,a3,
a4的秩为2,一个最大无关组为a1,a2,知识点(2)Ax=0的同解方程组为其中k1,k2为任意数.令
自由未知元x3=k1,x4=k2,得Ax=0的通解为证1因Axi=0(i=1,…,n-r
),上式两边左乘A得设存在一组数x,x1,…,xn-r,使即(1)而x1,…,xn-r线性无
关,因Ah?0,所以代入(1)得所以所以h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.(2
)由(2)得x=0,例11设x1,…,xn-r是Ax=0的一个基础解系,而h不是Ax=0
的解,证明h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.知识点若s>r,则向量组b1,…,bs线性相关.
设向量b1,…,bs可由向量组a1,…,ar线性表示,定理设向量组
线性无关,若线性相关,则向量b可由线性表示.而x1,…,xn-r线性无关
,所以h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.因x1,…,xn-r的线性组合也是Ax=0的解,
h不可由x1,…,xn-r线性表示,证2由定理知h,x1,…,xn-r线性无关,从而易知h,h
+x1,…,h+xn-r与h,x1,…,xn-r等价,因此所以例11设x1,…,xn-r是
Ax=0的一个基础解系,而h不是Ax=0的解,证明h,h+x1,…,h+xn-r线性无关.知识点
证1例12设m?n矩阵A的秩R(A)=n,证明于是存在m阶可逆矩阵P,使A=PF.因
此因R(A)=n,可知A的等价标准形为(也是行最简形)知识点证2若x满足Bx=0,则有A
(Bx)=0,即(AB)x=0;若x满足(AB)x=0,则有A(Bx)=0,因为R(A)=
n,综上可知(AB)x=0与Bx=0同解,所以Bx=0.设解空间为S,则有
n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)的一个基,dimS=n-R(A).例12设m?n矩阵A的秩R(A)=n,证明解例13
设(1)求(2)说明a1,a2和a3,a4为V的两个基,并求从基a1,a2到基a3,a4的
过渡矩阵.易知故a1,a2和a3,a4都是V的基.从基a1,a2到基a3,a4的过渡矩阵为知识点证明
例14设a,b为n维(列)向量,证明并说明其几何意义.以-b代换b,得因此其几何意义是:
平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和.解方阵A的特征多项式为例15求方阵的特征值和特征向
量.方阵A的特征值为解例15求方阵的特征值和特征向量.当l1=-3时,解方程组由得基础解系方
阵A对应于l1=-3的全部特征向量为解例15求方阵的特征值和特征向量.当l2=l3=l4=1
时,解方程组由得基础解系方阵A对应于l2=l3=l4=1的全部特征向量为(k2,k3,k
4不同时为零)解例16设矩阵A与B相似,其中(1)因A与对角阵B相似,知A的特征值为2,
2,b.由特征值的性质得求得知识点(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.(3
)求An.解例16设矩阵A与B相似,其中(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P-1
AP=B.(3)求An.(2)当l=2时,解方程组(2E-A)x=0,得基础解系当l=6
时,解方程组(6E-A)x=0,得基础解系取可逆矩阵则有P-1AP=B.知识点解例16设矩阵A
与B相似,其中(1)求常数a,b;(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.(3)求An.(3)
A=PBP-1,An=PBnP-1.解例16设矩阵A与B相似,其中(1)求常数a,
b;(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.(3)求An.(3)A=PBP-1,An=
PBnP-1.证明例17设A,B为n阶矩阵,l为AB的非零特征值,证明l也为BA的特征值.存在非零
向量p,使ABp=lp.于是由l?0,p?0,可知Bp?0.(而Bp为对应的特征向
量)因此l为BA的特征值.例18设矩阵求a的值,并讨论A可否相似对角化.有一个二重特征值,解方
阵A的特征多项式为解求a的值,并讨论A可否相似对角化.若l=2是二重特征值,则l=2是的
根,求得a=-2.例18设矩阵有一个二重特征值,R(2E-A)=1,从而A可相似对角化.l=
2的几何重数为2,等于代数重数,知识点解求a的值,并讨论A可否相似对角化.若l=2不是二重特征值
,则有重根l=4,求得R(4E-A)=2,从而A不可相似对角化.例18设矩阵有一个二重特征值
,l=4的几何重数为1,小于代数重数2,上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页线性代
数复习课课件一、内容提要二、典型例题>>>一、内容提要行列式
的性质性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质1行列式与它的转置行列式相等.性质4对
换两行,行列式值反号.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.
性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质5若有两行元素对应成比例,则行
列式值为零.设A,B为n阶矩阵,则有|AB|=|A|?|B|.一、内容提要
Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即设A
=(aij)为n阶方阵,则有一、内容提要伴随阵设A为n阶方阵,Aij为(i,
j)元的代数余子式,记称A?为方阵A的[转置]伴随阵.伴随阵的性质设A?为n阶方阵A
的伴随阵,则有如果|A|?0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.逆阵计算公式非奇异矩阵A
的逆阵为逆矩阵如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么,称方阵A为可逆的,并称B为
A的逆矩阵.定理设A,B为n阶方阵,若AB=E,则A,B可逆,且有一、内容提要
逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆矩阵,则有一、内容提要分块对角阵的性质(3)A可逆
的充分必要条件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、内容提要设Ai(i=1,…,s)都是方阵
,设A,B都是方阵,则有矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,使B=PA.矩阵
A与B列等价的充要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=AQ.具体地有一、内容提要等价矩阵
如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为A～B
.行最简形矩阵行阶梯形矩阵一、内容提要矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A的
等价标准形为那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质1等价矩阵有相等的秩.性质2
性质4性质3n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5
矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称F中单位阵的阶数r为矩阵
A的秩,记为R(A).性质7性质8性质9若则性质6逆矩阵的初等变换求法矩阵初等变换的应
用线性方程组的最简形解法将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.矩阵方程
AX=B,XA=B的初等变换解法一、内容提要(1)当R(A,b)>R(A)时,方程组无解
;(2)当R(A,b)=R(A)=n时,方程组有唯一解;(3)当R(A,b)=R(A)方程组有无穷多解.设n元线性方程组Ax=b.n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是
R(A)?n.AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B).线性方程组的可解性定理当A为方阵时,
Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.一、内容提要齐次通解结构定理设n元齐次
线性方程组Ax=0的一个基础解系为x1,…,xn-r,其中r=R(A),则Ax=0的通解为(k
1,…,kn-r为任意数)非齐次通解结构定理(k1,…,kn-r为任意数)设x=h?是
n元非齐次线性方程组Ax=b的一个解(称特解),x1,…,xn-r是导出组Ax=0的一个基础解系,则
Ax=b的通解为一、内容提要一、内容提要线性组合设有向量组及向量如果存
在一组数使那么,称向量b为向量组的一个线性组合,称向量b可由向量组并线性表示.设
矩阵则线性方程组Ax=b有一组解等价于线性相关性设有向量组如果存在一组不全为0的数
使那么,称线性相关.否则,称线性无关.基本性质一、
内容提要(1)若向量b可由向量组a1,…,am线性表示,则向量组b,a1,…,am线性相关.(
2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.定理线性相关性
设有向量组如果存在一组不全为0的数使那么,称线性相关.否则,称
线性无关.一、内容提要向量组线性无关的充
分必要条件是a1,…,am线性无关,也即向量方程只有零解.向量组的秩设A为一向量组,A
中线性无关向量组所含向量个数的最大值r,称为向量组A的秩,记为R(A).向量组的最大无关组设
向量组A的秩为r,如果a1,…,ar为A中一个线性无关向量组,那么称a1,…,ar为A的一个最大无
关组.最大无关组的性质设A为一向量组,则部分组a1,…,ar为A的一个最大无关组的充分必
要条件是(2)A中任一向量可由a1,…,ar线性表示.(1)a1,…,ar线性无关;一、内容提要
化矩阵A为行最简形A0,通过观察A0,便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及A的其
余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内容提要秩与最大无关组的一个算法例设的秩为3,一个最大
无关组为则且有初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.向量组的线性表示若向量组B中的任一向量都
可由向量组A中的向量线性表示,就称向量组B可由向量组A线性表示.一、内容提要向量组B可由向量组
A线性表示的充要条件是若向量组B可由向量组A线性表示,则R(B)?R(A).等价向量组
可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组.向量组A与向量组B等价的充分必要条件是向量空间
设Rn的非空集V满足条件：那么,称V为一个向量空间.当非空集V满足条件(1),(2)时,称V对线
性运算封闭.(1)若a?V,b?V,则a+b?V;(2)若a?V,k?R,则ka?V,齐次线性方程
组Ax=0的解集S是一个向量空间.子空间设有向量空间V1及V2,若V1?V2,就称
V1是V2的子空间.当V1?V2时,称V1是V2的真子空间.一、内容提要向量空间的基和维数
称向量空间V的秩为V的维数,记为dimV.称向量空间V的任一最大无关组为V
的一个基.基的性质设V为一个向量空间,则V中向量组a1,…,ar为V的一个基的充分必
要条件是(2)V中任一向量可由a1,…,ar线性表示.(1)a1,…,ar线性无关;n元齐次线性方程组
Ax=0的基础解系为解空间S的一个基,dimS=n-R(A).一、内容提要生成空间
设有向量组A:a1,…,am,记称L(A)为由向量组A生成的向量空间,简称生成空间.称a1,…,am
为生成元.向量组线性表示的等价说法设有向量组A:a1,…,as,B:b1,…,bt.则有
(1)L(A)为L(B)的子空间的充分必要条件是A组可由B组线性表示；(2)L(A)=L(B)的充分必要
条件是A组与B组等价.一、内容提要向量在基下的坐标设V为一个r维向量空间,则V
中任意r个线性无关向量a1,…,ar为V的一个基,且有V中任一向量a可唯一地表示为称(k1,…,
kr)为a在基a1,…,ar下的坐标.一、内容提要过度矩阵一、内容提要
设a1,…,ar及b1,…,br是向量空间V的两个基,称此关系式为基变换公式.称矩阵P为从基a1,…
,ar到基b1,…,br的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆矩阵.则存在r阶矩阵P,使向量的内积一、内容
提要设有n维向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),称[a,b]
为向量a与b的内积.记向量的范数称为向量a的范数(或长度),记为||a||.若
[a,b]=0,则称向量a与b正交.向量的夹角非零向量a与b的夹角为规范正交基一
、内容提要r维向量空间V中,任一正交单位向量组e1,…,er,称为V的一个规范正交
基.正交矩阵如果PTP=E(P-1=PT),则称方阵P为正交矩阵.P为n阶正交阵
的充分必要条件是P的列(行)向量组为Rn的一个规范正交基.正交变换若P为正交阵,则称线性变换
y=Px为正交变换.正交变换保持向量的内积不变.方阵的特征值一、内容提要称n次多项式|lE-
A|为A的特征多项式.称n次方程|lE-A|=0的根为方阵A的特征值.设l1,…,ln为
A的所有特征值,则有特征值的性质(2)(1)A的迹,记为tr(A).设f是一个多项式,若l为方阵A的一个特征值,则f(l)为f(A)的一个特征值.方阵的特征向量一、内容提要设l为方阵A的特征值,称方程组(lE-A)x=0的任一非零解为方阵A对应于特征值l的特征向量.对应于n阶矩阵A的特征值l有n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,定理设l1,…,lm是方阵A的m个不相同的特征值,A1,…,Am分别为属于l1,…,lm的线性无关特征向量组,则由A1,…,Am的并集构成的向量组线性无关.称属于l的线性无关特征向量组.定理设l1,…,lm是方阵A的m个不相同的特征值,p1,…,pm为对应的特征向量,则p1,…,pm线性无关.相似矩阵一、内容提要设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使那么,称B是A的相似矩阵.称P为相似变换矩阵.矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.定理相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).推论若对角阵L是A的相似矩阵,则L以A的特征值为对角元素.上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页 |
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