江苏省扬州市广陵区竹西中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）一、选择题1．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（
）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．a3?a4＝a12B．a3+a3＝2a6C．a3÷a3＝0D．3x2?5x3
＝15x53．下列式子可以用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+1）（x﹣1）B．（a﹣b）（﹣a+b）C．（﹣x﹣1）（x+1
）D．（﹣2a﹣b）（﹣2a+b）4．一种计算机每秒可以进行4×108次运算，则它工作3×103秒运算的次数为（）A．12×1
024B．1.2×1012C．12×1012D．1.2×10135．观察下列4个命题：其中真命题是（）（1）直线a、b、c，如
果a⊥b、b⊥c，那么a⊥c；（2）三角形的三个内角中至少有两个锐角；（3）平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或共线）且相等；
（4）三角形的外角和是180°．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3
件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（）A．105元B
．210元C．170元D．不能确定7．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A
．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．若是方程组的解，则下列等式成立的是（）A．a+2b＝
0B．a+b＝0C．a﹣2b＝0D．a﹣b＝09．下列说法不一定成立的是（）A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a+c＞b+c
，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b10．关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最
小值是（）A．3B．2C．1D．11．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透
明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③
同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④12．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只
有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n
的最小值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题13．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝．14．若3n＝
2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝．15．已知a+b＝10，a﹣b＝8，则a2﹣b2＝．16．如图，在△ABC中，∠B
AC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是．17．如图，小明从A出发沿北
偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是右转°．18．已知
x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是．19．若3x﹣y﹣7＝
2x+3y﹣1＝y﹣kx+9＝0，则k的值为．20．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF
，则四边形ABFD的周长为个单位．21．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（101）2表示二进
制数，将它转换成十进制的形式是：1×22+0×21+1×20＝5，那么将二进制数（10101）2转换成十进制数是．22．观
察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当
（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2019﹣1的值为．三、解答题：23．计算：（1）（x2y）3
?（﹣2xy3）2；（2）（xny3n）2+（x2y6）n；（3）（x2y3）4+（﹣x）8?（y6）2；（4）a?a2?a3+（
﹣2a3）2﹣（﹣a）6．24．因式分解（1）a2（x+y）﹣b2（x+y）（2）x4﹣8x2+16．25．已知关于x的不等式组恰
好有两个整数解，求实数a的取值范围．26．（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．理由如下：∵AB∥C
D（已知），∴∠ABE＝∠（）．∵∠A＝∠C（已知），∴（）．∴BC∥AD（）．（2）请写出问
题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．27．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的
生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间
的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小丽与小明出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽
和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．28．如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCE
D内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A＝∠1+∠2．请你继续探索：（1）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCE
D的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．（2）如果把四边形ABCD沿EF折叠，
使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）参考
答案与试题解析一、选择题1．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的定义进行判断．
【解答】解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选：A．【点评】本题考查了三角形的角平
分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直
角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条
高所在直线相交于三角形外一点．2．下列运算正确的是（）A．a3?a4＝a12B．a3+a3＝2a6C．a3÷a3＝0D．3x2
?5x3＝15x5【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；单项式的乘法法则，合并同类项的法则，
对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a3?a4＝a7，故本选项错误；B、应为a3+a3＝2a3，故本选项错误；C、应
为a3÷a3＝a0＝1，错误；D、3x2?5x3＝15x5，正确．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法，单
项式的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．3．下列式子可以用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+1）（x﹣1）B．（a﹣b
）（﹣a+b）C．（﹣x﹣1）（x+1）D．（﹣2a﹣b）（﹣2a+b）【分析】根据利用平方差公式计算必须满足两项的和与两项的差的
积，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（﹣x+1）（x﹣1）两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；B、（a﹣b）
（﹣a+b）两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；C、（﹣x﹣1）（x+1）两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；D、（﹣2a
﹣b）（﹣2a+b）相同项是﹣2a，相反项是﹣b和b，能用平方差公式计算．故选：D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解
题的关键．4．一种计算机每秒可以进行4×108次运算，则它工作3×103秒运算的次数为（）A．12×1024B．1.2×101
2C．12×1012D．1.2×1013【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可．【
解答】解：它工作3×103秒运算的次数为：（4×108）×（3×103）＝（4×3）×（108×103）＝12×1011＝1.2×
1012．故选：B．【点评】本题主要利用单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质求解，科学记数法表示的数在运算中通常可以看作单项式
参与的运算．5．观察下列4个命题：其中真命题是（）（1）直线a、b、c，如果a⊥b、b⊥c，那么a⊥c；（2）三角形的三个内角
中至少有两个锐角；（3）平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或共线）且相等；（4）三角形的外角和是180°．A．（1）（2）B．
（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）【分析】根据平行线的性质对（1）进行判断；根据三角形内角和定理对（2）进行判断；根据平
移的性质对（3）进行判断；根据三角形外角和定理对（4）进行判断．【解答】解：直线a、b、c，如果a⊥b、b⊥c，那么a∥c，（1）
是假命题三角形的三个内角中至少有两个锐角；（2）是真命题；平移变换中，各组对应点连成两线段平行且（或共线）相等，（3）是真命题；三
角形的外角和为360°，（4）是假命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的
命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙1
0件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（）A．105元B．210元C．170元D．不能确定【分析】等量关系
为：甲3件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝315，4件的总价+乙10件的总价+丙1件的总价＝420，把相关数值代入，都整理为等
式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要
x，y，z元，则依题意，由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元．故选：A．【点评】本题考
查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含（x+y+z）的等式．7．已知a、b
、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三
角形D．等腰直角三角形【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．【解答】解：移项得，
a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点评】本
题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．8．若是方程组的解，则下列等式成立的
是（）A．a+2b＝0B．a+b＝0C．a﹣2b＝0D．a﹣b＝0【分析】把方程组的解代入方程组得出关于a、b的方程组，求出方
程组的解，再逐个判断即可．【解答】解：把代入方程组得：①×2+②得：﹣5a＝2，解得：a＝﹣，把a＝﹣代入①得：+2b＝0，解得：
b＝﹣，A、a+2b＝﹣，故本选项错误；B、a+b＝﹣，故本选项错误；C、a﹣2b＝0，故本选项正确；D、a﹣b＝﹣，故本选项错误
；故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．9．下列说法不一
定成立的是（）A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，
则a＞b【分析】根据不等式的性质进行判断．【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题
意；B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；C、当c＝0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc
2不成立，符合题意；D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．故选：C．【点评】
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等
式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．10．关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值是
（）A．3B．2C．1D．【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最
小值．【解答】解：不等式组至少有5个整数解，∴不等式组解为：﹣3a＜x＜a．设5个整数解分别为m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，
则，解得，∴，解得﹣＜m＜﹣，∴整数m的最小值为1．∴整数a的最小值是2．故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定
a的范围是本题的关键．11．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（
如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两
直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂
直，故过点P所折折痕与虚线垂直．【解答】解：由作图过程可知，∠1＝∠2，为内错角相等；∠1＝∠4，为同位角相等；可知小敏画平行线的
依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，用到的知识点为：平行线的
判定定理等知识．理解折叠的过程是解决问题的关键．12．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形
，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A．3B．4C．
5D．6【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：设
①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和
④中都有一条边为a，则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a＝b+x，y﹣a+x+a＝y+
x，故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，故n的最小值是3．故选：A．【点评】此题主要考查了推理与论证
，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．二、填空题13．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝200°．【
分析】过∠2的顶点作l2的平行线l，则l∥l1∥l2，由平行线的性质得出∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝180°，即可得出∠2
+∠3＝200°．【解答】解：过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：则l∥l1∥l2，∴∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝18
0°，∴∠2+∠3＝180°+20°＝200°；故答案为：200°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平
行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．14．若3n＝2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝．【分析】所求式子利用同底数幂的乘除
法则变形，再利用幂的乘方法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵3n＝2，3m＝5，∴32m+3n﹣1＝（3m）2×
（3n）3÷3＝25×8÷3＝．故答案为：【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．已知a+b＝10，a﹣b＝8，则a2﹣b2＝80．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝10×8＝80，故答案为：80【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础
题型．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是
120°．【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠A
CB，可知∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，即∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，从而求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠BAC＝60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠AC
B，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，故答案为：120°．【点评】此题考查了
三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．17．如图，小明从A出发沿北偏东60°方向行走
至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是右转80°．【分析】根据平行线的性质得
出∠A+∠ABH＝180°，∠ECB＝∠ABC，求出∠ABH＝120°，∠ABC＝100°，即可求出∠ECB＝100°，得出答案即
可．【解答】解：∵根据题意可知：AF∥BH，AB∥CE，∴∠A+∠ABH＝180°，∠ECB＝∠ABC，∵根据题意知：∠FAB＝6
0°，∠HBC＝20°，∴∠ABH＝180°﹣60°＝120°，∠ABC＝120°﹣20°＝100°，∴∠ECB＝100°，∴∠D
CE＝180°﹣100°＝80°，即方向的调整应是右转80°，故答案为：80．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，方向角等知识点
，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．18．已知x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这
个不等式的解，则实数a的取值范围是1＜a≤2．【分析】根据x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个
不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【解答】解：∵x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，∴（2﹣5）（2a﹣
3a+2）≤0，解得：a≤2，∵x＝1不是这个不等式的解，∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0，解得：a＞1，∴1＜a≤2，故答案为：
1＜a≤2．【点评】本题考查了不等式的解集．注意解决本题的关键是求不等式的解集．19．若3x﹣y﹣7＝2x+3y﹣1＝y﹣kx+9
＝0，则k的值为4．【分析】根据题意得出，解方程组得x、y的值，再代入y﹣kx+9＝0即可求得k的值．【解答】解：根据题意可得
：，解得：，将x＝2、y＝﹣1代入y﹣kx+9＝0，得：﹣1﹣2k+9＝0，解得：k＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查解方程
组和方程的能力，根据已知条件得出关于x、y的方程组并求解是解题的关键．20．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1
个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位．【分析】根据平移的基本性质作答．【解答】解：根据题意，将边长为2个单位的
等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD＝1个单位，BF＝3个单位，AB＝DF＝2个单位
；故其周长为8个单位．故答案为：8．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行
且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．21．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（101）2表示二进
制数，将它转换成十进制的形式是：1×22+0×21+1×20＝5，那么将二进制数（10101）2转换成十进制数是21．【分析
】根据题意中的例子，可以将二进制数（10101）2转换成十进制数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，二进制数（10101）2转
换成十进制数是：1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝21，故答案为：21．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题
的关键是明确二进制转化为十进制的计算方法．22．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣
1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2019﹣1的值为
0或﹣2．【分析】由已知等式为0确定出x的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+
1）＝0，且（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1∴x6﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣1，则原式＝0或﹣2，故答案
为：0或﹣2．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，平方差公式以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题：2
3．计算：（1）（x2y）3?（﹣2xy3）2；（2）（xny3n）2+（x2y6）n；（3）（x2y3）4+（﹣x）8?（y6）
2；（4）a?a2?a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．【分析】（1）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则化简，再合并同类项得出答案；（3）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则化简，再合并同类项得出
答案；（4）直接利用积的乘方与幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，再合并同类项得出答案；【解答】解：（1）原式＝x6
y3?4x2y6＝4x8y9；（2）原式＝x2ny6n+x2ny6n＝2x2ny6n；（3）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y
12；（4）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6．【点评】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，正确运用相关运
算法则是解题关键．24．因式分解（1）a2（x+y）﹣b2（x+y）（2）x4﹣8x2+16．【分析】（1）原式提取公因式，再利用
平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（a2﹣b2）（x+y）＝（a+b
）（a﹣b）（x+y）；（2）原式＝（x2﹣4）2＝[（x+2）（x﹣2）]2＝（x+2）2（x﹣2）2．【点评】此题考查了提公因
式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．【分
析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．【解答】解：解
5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2，解x≤8﹣x+2a得：x≤4+a．则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a．不等式组只有两个整数解
，是﹣1和0．根据题意得：0≤4+a＜1．解得：﹣4≤a＜﹣3．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应
遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．26．（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD
．请说明理由．理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等）．∵∠A＝∠C（已知），∴∠A
BE＝∠A（等量代换）．∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行）．（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是
假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明即可；（2）根据逆命题的概念写出原命
题的逆命题，根据平行线的判定定理和性质定理证明即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角
相等），∵∠A＝∠C（已知），∴∠ABE＝∠A（等量代换），∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行）；（2）问题（1）的逆命题，已
知∠A＝∠C，若BC∥AD，则AB∥CD，它是真命题，证明：∵BC∥AD，（已知），∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等），∵
∠A＝∠C（已知），∴∠ABE＝∠C（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．【点评】本题考查的是平行的性质和判定，掌
握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．27．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时
，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所
示．（1）小丽与小明出发30min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的
坐标，并解释点C的实际意义．【分析】（1）直接从图象获取信息即可；（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m
/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；②解法一：设点C的坐标为（x，y），根据题意列出方程解出x，再根据图象
求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．解法二：由图可知：点C的位置是小明到达甲地，直接用总路程÷时间可得小明的时间，
即54min，二人的距离即C的纵坐标，就是小丽的距离．【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，故答案为：30；（
2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，则，解得：，答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②解法一：设点C的坐标为（x，y），则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，解法二：5400÷100＝54，54×80＝4320，∴点C（54，4320），点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．28．如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A＝∠1+∠2．请你继续探索：（1）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．（2）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）【分析】（1）连接AA′，根据三角形的外角的性质以及轴对称的性质进行分析；（2）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可．【解答】解：（1）连接AA′，∵∠2＝∠A′AE+∠AA′E，∠1＝∠A′AD+∠AA′D；∴∠1﹣∠2＝2∠A；（2）由图形折叠的性质可知∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠DFE，两式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2（∠AEF+∠DFE）即∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠D），所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，即：∠A+∠D＝180°+（∠1+∠2）．【点评】本题主要是运用了三角形的外角的性质．注意一题多变的思路是类似的． |
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