2021-2022学年安徽省芜湖市无为实验中学八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）在一些汉字的美术字中，
有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如图，∠AOB是直角，OPi（i＝1，
2，3，4，5，6）是射线，则图中共有锐角（）A．28个B．27个C．24个D．22个3．（4分）观察图形…并判断照此规律从左
到右第四个图形是（）A．B．C．D．4．（4分）给出两列数：（1）1，3，5，7，…，2007；（2）1，6，11，16，…，
2006，则同时出现在两列数中的数的个数为（）A．201B．200C．199D．1985．（4分）设，则代数式x（x+1）（x
+2）（x+3）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．26．（4分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点
在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2B．3C．4D．57．
（4分）方程|xy|﹣2|x|+|y|＝4的整数解有（）组．A．2B．4C．6D．88．（4分）已知a+b+c＝0，则（a+b
）（b+c）（c+a）+abc的结果是（）A．ab+bc+caB．a2b2c2C．2abcD．09．（4分）已知x+y＝1，x
2+y2＝2，那么x4+y4的值是（）A．4B．3C．D．10．（4分）某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘
船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（）A．
48人B．45人C．44人D．42人二、填空题（每小题5分，满分40分）11．（5分）等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的
度数是．12．（5分）已知，x+5y﹣6＝0，则42x+y?8y﹣x＝．13．（5分）一个多边形除一个内角外，其余各内
角之和是2570°，则这个内角是度．14．（5分）与是相反数，计算＝．15．（5分）6（7+1）（72+1）（74+1
）（78+1）+1＝．16．（5分）a取任意实数，则式子a2﹣a+1的最小值是．17．（5分）将等腰三角形纸片ABC
的底边BC折起，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则∠A＝．18．（5分）如图，直线a∥b，△ABC是等边
三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，
再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是．三、解答题19．（8分）已知M、N两地间隔两条河流，
第一条河流的河岸为直线j、k，第二条河流的河岸为直线l、g，所有的河岸皆平行．现要在两条河上分别修两座桥AB、CD，两座桥造在何处
，才能使从M到N的路径M﹣A﹣B﹣C﹣D﹣N最短？要求河上的桥必须与河岸垂直（保留作图痕迹，不要求写画法）．20．（10分）如图所
示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是多少？21．（12分）如图，已知A（2，3）、B（1，1）、C（4，
1）是平面直角坐标系中的三点．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A
2B2C2；（3）若△ABC中有一点P坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．22．（1
2分）如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．23．（14分）如图在△AB
C中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB＝PC．24．（14分）动手操作
，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠
ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（2），在四边形ABCD中，
DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）探究三：若将上题中的四边形AB
CD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．2021-2022学年安徽省芜
湖市无为实验中学八年级（上）竞赛数学试卷（教师解析版）一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）在一些汉字的美术字中，有的是
轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对
折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【解答】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图
形，故选：D．2．（4分）如图，∠AOB是直角，OPi（i＝1，2，3，4，5，6）是射线，则图中共有锐角（）A．28个B．2
7个C．24个D．22个【分析】分别以OP1、OP2等为一边，数出所有角，相加即可．【解答】解：以OA为一边的角有7个，以OP1为
一边的角有6个，…以OP6为一边的角1个．∴共有角1+2+3+4+5+6+7＝28个．去掉∠AOB（直角），还有27个．故选：B．
3．（4分）观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是（）A．B．C．D．【分析】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排
除法判定正确选项．【解答】解：观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D符合．故选：D．4．（4分）给出两列数：（1）1，3，5
，7，…，2007；（2）1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数为（）A．201B．200C．199
D．198【分析】第一列数为连续的奇数，第二列中的奇数都在第一列的数中，找出有多少个奇数即可解答．【解答】解：第二列数排列的规律是
一奇一偶，1＝5×1﹣4，6＝5×2﹣4，11＝5×3﹣4，16＝5×4﹣4，第n个数为（5n﹣4），由5n﹣4＝2006，解得n
＝402，其中奇数由201个；故选：A．5．（4分）设，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（）A．0B．1C．﹣1
D．2【分析】根据已知条件得出x+1、x+2和x+3的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x＝，∴x+1＝，x
+2＝，x+3＝，∴原式＝×××＝×＝﹣1×1＝﹣1．故选：C．6．（4分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A
、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2B．3C．4D
．5【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在长方形网格中画图得出结果．【
解答】解：C点所有的情况如图所示：故选：C．7．（4分）方程|xy|﹣2|x|+|y|＝4的整数解有（）组．A．2B．4C．6
D．8【分析】首先将|xy|﹣2|x|+|y|＝4中4分为2+2、通过移项、提取公因式转化为（|x|+1）（|y|﹣2）＝2．根据
2只能分解为2×1，讨论x、y的取值．【解答】解：∵|xy|﹣2|x|+|y|＝4?|x|（|y|﹣2）+（|y|﹣2）＝2?（|
x|+1）（|y|﹣2）＝2∵x、y均为整数，|x|+1＞0，2＝1×2∴只能是|x|+1＝1或|x|+1＝2①当|x|+1＝1时
，|y|﹣2＝2，即x＝0、y＝4或x＝0、﹣4②当|x|+1＝2时，|y|﹣2＝1，即x＝1、y＝3，x＝1、y＝﹣3，x＝﹣1
、y＝3，x＝﹣1、y＝﹣3故选：C．8．（4分）已知a+b+c＝0，则（a+b）（b+c）（c+a）+abc的结果是（）A．
ab+bc+caB．a2b2c2C．2abcD．0【分析】直接利用已知得出a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，进而代入求出答
案．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，∴（a+b）（b+c）（c+a）+abc＝﹣acb+
abc＝0．故选：D．9．（4分）已知x+y＝1，x2+y2＝2，那么x4+y4的值是（）A．4B．3C．D．【分析】先把等式
x+y＝1的两边平方，再变形，得到xy的值，再把x4+y4利用完全公式变形，最后整体代入求值．【解答】解：∵x+y＝1，x2+y
2＝2，∴（x+y）2＝12，∴x2+2xy+y2＝1，∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣2＝﹣1，即xy＝﹣，x4+y4＝（x2
+у2）2﹣2x2у2＝22﹣2x（一）2＝4﹣＝．故选：C．10．（4分）某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘
船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（）A．
48人B．45人C．44人D．42人【分析】假设共安排x艘船．根据报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人
无船可乘，则可知划船报名人数是6x+18且6x+18＜50；若每只船坐10人，那么其余的船坐满后有一只船不空也不满，则10（x﹣1
）+1≤6x+18＜10x解得x代入6x+18即是划船的员工数．【解答】解：设共安排x艘船．根据题意得6x+18＜50①10（x﹣
1）+1≤6x+18＜10x②由①得x＜③由②得④由③④得x＝5划船人数为48故选：A．二、填空题（每小题5分，满分40分）11．
（5分）等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数是70°或40°．【分析】根据外角与相邻的内角的和为180°求这个内角
的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：∵一个外角是110°，∴与这个外角相邻的内角是180°﹣110°＝70
°，①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°，②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°﹣70°×2＝40°，综上所述，它的顶
角度数是70°或40°．故答案为：70°或40°．12．（5分）已知，x+5y﹣6＝0，则42x+y?8y﹣x＝64．【分析】
先根据已知，可求x+5y＝6，再把所求式子，化为底数是2的乘方形式，最后把x+5y的值代入计算即可．【解答】解：∵x+5y﹣6＝0
，∴x+5y＝6，∴42x+y?8y﹣x＝24x+2y?23y﹣3x＝2x+5y＝26＝64．故答案是64．13．（5分）一个多边
形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是130度．【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列
出相应等式，根据边数为整数求解即可．【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则（n﹣2）×180﹣x＝2570，180?n＝2
930+x，∴n＝，∵n为正整数，0°＜x＜180°，∴n＝17，∴这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．故
答案为：130．14．（5分）与是相反数，计算＝．【分析】根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a+的值，再
配方开平方即可得解．【解答】解：∵与|3﹣a﹣|互为相反数，∴+|3﹣a﹣|＝0，∴3﹣a﹣＝0，解得a+＝3，∴a+2+＝3+2
，根据题意，a＞0，∴（+）2＝5，∴+＝．故答案为：．15．（5分）6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1＝71
6．【分析】将6变形为7﹣1，连续使用平方差公式即可得出答案．【解答】解：原式＝（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（7
8+1）+1＝（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）+1＝（74﹣1）（74+1）（78+1）+1＝（78﹣1）（78+
1）+1＝716﹣1+1＝716．故答案为：716．16．（5分）a取任意实数，则式子a2﹣a+1的最小值是．【分析】将a2
﹣a+1配方成，根据完全平方式的非负性即可求出最小值．【解答】解：a2﹣a+1＝a2﹣a+﹣+1＝，∵≥0，∴≥，∴a2﹣a+1的
最小值是，故答案为：．17．（5分）将等腰三角形纸片ABC的底边BC折起，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则∠
A＝36°．【分析】设∠A＝x，用等腰三角形的性质表示∠C，由折叠的性质得∠BC′D＝∠C，根据△AC′D为等腰三角形，三角形
外角定理，列方程求解．【解答】解：如图，设∠A＝x，则∠C＝，由折叠的性质可知∠BC′D＝∠C＝，∵△AC′D为等腰三角形，即∠A
DC′＝∠A＝x，∴根据三角形外角定理，得∠BC′D＝∠ADC′+∠A＝2x，∴＝2x，解得x＝36°，即∠A＝36°．故本题答案
为：36°．18．（5分）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的
一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是
400．【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第
100个图形中等边三角形的个数．【解答】解：如图①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝B
C，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有
2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，
…依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝4
00．故答案为：400．三、解答题19．（8分）已知M、N两地间隔两条河流，第一条河流的河岸为直线j、k，第二条河流的河岸为直线l
、g，所有的河岸皆平行．现要在两条河上分别修两座桥AB、CD，两座桥造在何处，才能使从M到N的路径M﹣A﹣B﹣C﹣D﹣N最短？要求
河上的桥必须与河岸垂直（保留作图痕迹，不要求写画法）．【分析】利用两点之间线段最短及轴对称的知识即可完成作图．【解答】解：如图所示
，两座桥AB、CD即为所求．理由如下：作MM′⊥j，且MM′＝AB，作NN′⊥g，且NN′＝CD，连接M′N′交k，i于点B、C，
过点B作BA⊥j，垂足为点A；过点D作DC⊥g，垂足为点C，连接AM，DN．得四边形MM′BA是平行四边形，∴AM＝M′B．同理可
得，DN＝C′N，∴AM+AB+BC+CD+DN＝M′B+AB+BC+CD+CN′．∴从M到N的路径M﹣A﹣B﹣C﹣D﹣N最短．2
0．（10分）如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是多少？【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD
，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解
：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥C
D，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN
+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．21．（12分）如图，已知A（2，3）、B（1，1
）、C（4，1）是平面直角坐标系中的三点．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移3个单
位得到的△A2B2C2；（3）若△ABC中有一点P坐标为（x，y），请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标
．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的对称点位置，再连接即可；（2）首先确定A1、B1、C1三点向下平移3个单位对应
点位置，再连接即可；（3）根据图形可得点的坐标的变化规律，进而确定点P2的坐标．【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；（
2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）根据题意可得点P2的坐标为（﹣x，y﹣3）．22．（12分）如图，△ABC中，D是BC的中
点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【分析】可延长ED至P，使DP＝DE，连接FP，连接CP，将BE
转化为PC，EF转化为FP，进而在△PCF中即可得出结论．【解答】答：BE+CF＞FP＝EF．证明：延长ED至P，使DP＝DE，连
接FP，CP，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDP中，∴△BDE≌△CDP（SAS），∴BE＝CP，∵DE⊥DF，
DE＝DP，∴EF＝FP，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在△CFP中，CP+CF＝BE+CF＞FP＝EF．23．（14分
）如图在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB＝PC．【分析】连
接AP并延长交BC于点D，作∠CAD的平分线AE，交BC于点E，得出△ABE为等边三角形，证明△ADE和△PCD全等，得出PC＝A
E，从而得出AB＝PC．【解答】证明：连接AP并延长交BC于点D，作∠CAD的平分线AE，交BC于点E，∴∠PAE＝∠EAC，∵P
为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠A
BC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80．∴∠BAD＝×80°＝40°，∠EAD＝20°，∴∠BAE＝60°，∴△ABE为等
边三角形，∴AE＝AB，在△ADE和△CDP中，∴AE＝PC，∴AB＝PC．24．（14分）动手操作，探究：探究一：三角形的一个内
角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与
∠A的数量关系．探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠
BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图
（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．【分析】探究一：根据
角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【解答】解：探究一：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD，＝180°﹣（∠ADC+∠ACD），＝180°﹣（180°﹣∠A），＝90°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD，＝180°﹣（∠ADC+∠BCD），＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），＝（∠A+∠B）；探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）?180°＝720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD，＝180°﹣∠EDC﹣∠BCD，＝180°﹣（∠EDC+∠ACD），＝180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°． |
|
